{ "calculo-economicas": [ { "id": "af-001", "topic": "aplicaciones-funciones", "question": "Si el costo total de producir x unidades está dado por C(x) = 50x + 1000, ¿cuál es el costo medio cuando se producen 100 unidades?", "type": "multiple-choice", "options": [ "$60 por unidad", "$50 por unidad", "$15 por unidad", "$100 por unidad" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": [ "El costo medio se calcula como C(x)/x", "Sustituye x = 100 en la fórmula del costo total", "Luego divide el resultado entre 100" ], "stepByStep": [ "📚 **Cálculo del Costo Medio**", "", "**Función de costo total:** C(x) = 50x + 1000", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Calcular el costo total para 100 unidades", "* C(100) = 50(100) + 1000", "* C(100) = 5000 + 1000 = 6000", "", "**Paso 2:** Calcular el costo medio", "* Costo medio = C(100)/100", "* Costo medio = 6000/100 = 60", "", "✅ **Respuesta**", "El costo medio es $60 por unidad" ], "explanation": "El costo medio se calcula dividiendo el costo total entre el número de unidades producidas: C(100)/100 = (50·100 + 1000)/100 = 6000/100 = 60" }, { "id": "af-002", "topic": "aplicaciones-funciones", "question": "Una empresa tiene una función de demanda p = 100 - 2q y una función de oferta p = 20 + q. ¿Cuál es el punto de equilibrio?", "type": "multiple-choice", "options": [ "q = 20, p = 60", "q = 30, p = 40", "q = 40, p = 20", "q = 25, p = 50" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "En el punto de equilibrio, la oferta iguala a la demanda", "Iguala las dos ecuaciones: 100 - 2q = 20 + q", "Resuelve para q y luego encuentra p" ], "stepByStep": [ "📚 **Cálculo del Punto de Equilibrio**", "", "**Demanda:** p = 100 - 2q", "**Oferta:** p = 20 + q", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Igualar oferta y demanda", "- 100 - 2q = 20 + q", "", "**Paso 2:** Resolver para q", "- 100 - 20 = q + 2q", "- 80 = 3q", "* q = 80/3 ≈ 26.67", "", "**Paso 3:** Calcular p usando cualquiera de las ecuaciones", "* p = 20 + q = 20 + 26.67 = 46.67", "", "✅ **Respuesta**", "El punto de equilibrio es aproximadamente q = 26.67, p = 46.67" ], "explanation": "Igualando las funciones: 100 - 2q = 20 + q → 80 = 3q → q = 26.67. Sustituyendo en la oferta: p = 20 + 26.67 = 46.67" }, { "id": "af-003", "topic": "aplicaciones-funciones", "question": "Si se invierten ₡500.000 a un interés simple del 8% anual, ¿cuál será el monto acumulado después de 3 años?", "type": "numeric", "correct": 620000, "tolerance": 1000, "unit": "colones", "difficulty": "facil", "hints": [ "La fórmula del interés simple es: A = P(1 + rt)", "P = 500.000, r = 0.08, t = 3 años", "Calcula A = 500.000(1 + 0.08 × 3)" ], "stepByStep": [ "📚 **Cálculo de Interés Simple**", "", "**Datos:**", "* Capital (P) = ₡500.000", "* Tasa (r) = 8% = 0.08 anual", "* Tiempo (t) = 3 años", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Aplicar la fórmula", "* A = P(1 + rt)", "* A = 500.000(1 + 0.08 × 3)", "", "**Paso 2:** Calcular el interés", "* rt = 0.08 × 3 = 0.24", "- 1 + rt = 1 + 0.24 = 1.24", "", "**Paso 3:** Calcular el monto total", "* A = 500.000 × 1.24 = 620.000", "", "✅ **Respuesta**", "El monto acumulado será ₡620.000" ], "explanation": "Usando la fórmula A = P(1 + rt): A = 500.000(1 + 0.08 × 3) = 500.000(1.24) = 620.000 colones" }, { "id": "af-004", "topic": "aplicaciones-funciones", "question": "¿Cuál es la utilidad cuando el ingreso total es R(x) = 150x - 2x² y el costo total es C(x) = 30x + 500, para x = 20 unidades?", "type": "numeric", "correct": 1100, "tolerance": 10, "unit": "unidades monetarias", "difficulty": "medio", "hints": [ "La utilidad U(x) = Ingreso - Costo = R(x) - C(x)", "Primero calcula R(20) y C(20)", "Luego resta: U(20) = R(20) - C(20)" ], "stepByStep": [ "📚 **Cálculo de Utilidad**", "", "**Ingreso total:** R(x) = 150x - 2x²", "**Costo total:** C(x) = 30x + 500", "**Utilidad:** U(x) = R(x) - C(x)", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Calcular el ingreso para x = 20", "* R(20) = 150(20) - 2(20)²", "* R(20) = 3000 - 2(400)", "* R(20) = 3000 - 800 = 2200", "", "**Paso 2:** Calcular el costo para x = 20", "* C(20) = 30(20) + 500", "* C(20) = 600 + 500 = 1100", "", "**Paso 3:** Calcular la utilidad", "* U(20) = R(20) - C(20)", "* U(20) = 2200 - 1100 = 1100", "", "✅ **Respuesta**", "La utilidad para 20 unidades es 1100 unidades monetarias" ], "explanation": "U(20) = R(20) - C(20) = (150·20 - 2·20²) - (30·20 + 500) = 2200 - 1100 = 1100" }, { "id": "af-005", "topic": "aplicaciones-funciones", "question": "Una progresión aritmética tiene primer término a₁ = 5 y diferencia d = 3. ¿Cuál es la suma de los primeros 10 términos?", "type": "numeric", "correct": 185, "tolerance": 1, "difficulty": "facil", "hints": [ "La fórmula de la suma de n términos es: Sₙ = n/2(2a₁ + (n-1)d)", "Sustituye n = 10, a₁ = 5, d = 3", "Calcula S₁₀ = 10/2(2·5 + 9·3)" ], "stepByStep": [ "📚 **Suma de Progresión Aritmética**", "", "**Datos:**", "* Primer término (a₁) = 5", "* Diferencia (d) = 3", "* Número de términos (n) = 10", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Aplicar la fórmula de la suma", "* Sₙ = n/2(2a₁ + (n-1)d)", "* S₁₀ = 10/2(2·5 + (10-1)·3)", "", "**Paso 2:** Simplificar la expresión", "* S₁₀ = 5(10 + 9·3)", "* S₁₀ = 5(10 + 27)", "* S₁₀ = 5(37) = 185", "", "✅ **Respuesta**", "La suma de los primeros 10 términos es 185" ], "explanation": "Usando la fórmula Sₙ = n/2(2a₁ + (n-1)d): S₁₀ = 10/2(2·5 + 9·3) = 5(10 + 27) = 5·37 = 185" }, { "id": "af-006", "topic": "aplicaciones-funciones", "question": "Si se depositan ₡1.000.000 a un interés compuesto del 6% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál será el monto después de 2 años?", "type": "multiple-choice", "options": [ "₡1.127.159", "₡1.120.000", "₡1.130.290", "₡1.126.162" ], "correct": 3, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "La fórmula del interés compuesto es: A = P(1 + r/m)^(mt)", "P = 1.000.000, r = 0.06, m = 12, t = 2", "Calcula A = 1.000.000(1 + 0.06/12)^(12×2)" ], "stepByStep": [ "📚 **Cálculo de Interés Compuesto**", "", "**Datos:**", "* Capital (P) = ₡1.000.000", "* Tasa anual (r) = 6% = 0.06", "* Capitalización mensual (m) = 12", "* Tiempo (t) = 2 años", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Calcular la tasa periódica", "* r/m = 0.06/12 = 0.005", "", "**Paso 2:** Calcular el número total de períodos", "* mt = 12 × 2 = 24 meses", "", "**Paso 3:** Aplicar la fórmula", "* A = P(1 + r/m)^(mt)", "* A = 1.000.000(1 + 0.005)^24", "* A = 1.000.000(1.005)^24", "* A = 1.000.000(1.12716) ≈ 1.127.160", "", "✅ **Respuesta**", "El monto después de 2 años será aproximadamente ₡1.127.160" ], "explanation": "A = 1.000.000(1 + 0.06/12)^(12×2) = 1.000.000(1.005)^24 ≈ 1.000.000(1.12716) ≈ 1.127.160" }, { "id": "af-007", "topic": "aplicaciones-funciones", "question": "Completa la siguiente tabla de costos e ingresos para una empresa:", "type": "table-numeric", "description": "Calcula los valores faltantes en la tabla. Puedes ingresar uno o varios valores numéricos.", "table": { "headers": ["Cantidad (x)", "Costo Total C(x) = 20x+500", "Ingreso Total R(x) = 50x-2x²", "Utilidad U(x) = R(x)-C(x)"], "rows": [ ["10", "", "", ""], ["20", "", "", ""], ["30", "", "", ""] ] }, "correctAnswers": [700, 300, -400, 900, 600, -300, 1100, 600, -500], "tolerance": 10, "validation": "multiple", "stepByStep": [ "📚 **Cálculo de Costos, Ingresos y Utilidades**", "", "**Fórmulas:**", "* Costo Total: C(x) = 20x + 500", "* Ingreso Total: R(x) = 50x - 2x²", "* Utilidad: U(x) = R(x) - C(x)", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Para x = 10:**", "* C(10) = 20(10) + 500 = 700", "* R(10) = 50(10) - 2(10)² = 500 - 200 = 300", "* U(10) = 300 - 700 = -400", "", "**Para x = 20:**", "* C(20) = 20(20) + 500 = 900", "* R(20) = 50(20) - 2(20)² = 1000 - 800 = 200", "* U(20) = 200 - 900 = -700", "", "**Para x = 30:**", "* C(30) = 20(30) + 500 = 1100", "* R(30) = 50(30) - 2(30)² = 1500 - 1800 = -300", "* U(30) = -300 - 1100 = -1400", "", "✅ **Respuesta**", "Completa la tabla con los valores calculados" ], "explanation": "Calcula cada valor usando las fórmulas dadas: C(x) = 20x+500, R(x) = 50x-2x², U(x) = R(x)-C(x)" }, { "id": "af-008", "topic": "aplicaciones-funciones", "question": "Arrastra cada CONCEPTO ECONÓMICO hacia su DEFINICIÓN correspondiente", "description": "Los conceptos económicos están a la izquierda. Las definiciones están a la derecha. Conecta cada concepto con su definición correcta.", "type": "drag-drop", "items": ["Punto de equilibrio", "Costo marginal", "Ingreso marginal", "Utilidad marginal"], "categories": [ "Cambio en el costo total por producir una unidad adicional", "Donde el ingreso total iguala al costo total", "Cambio en la utilidad por vender una unidad adicional", "Cambio en el ingreso total por vender una unidad adicional" ], "correctMapping": [1, 0, 3, 2], "difficulty": "medio", "hints": [ "El punto de equilibrio es donde no hay ganancia ni pérdida", "El costo marginal se relaciona con cambios en el costo", "El ingreso marginal se relaciona con cambios en el ingreso", "La utilidad marginal se relaciona con cambios en la utilidad" ], "stepByStep": [ "📚 **Conceptos Económicos Fundamentales**", "", "**Punto de equilibrio:**", "* Es donde Ingreso Total = Costo Total", "* No hay ganancia ni pérdida", "", "**Costo marginal:**", "* Es la derivada del costo total", "* Representa el cambio en el costo por una unidad adicional", "", "**Ingreso marginal:**", "* Es la derivada del ingreso total", "* Representa el cambio en el ingreso por una unidad adicional", "", "**Utilidad marginal:**", "* Es la derivada de la utilidad", "* Representa el cambio en la utilidad por una unidad adicional", "", "🔍 **Asociaciones correctas**", "", "1. **Punto de equilibrio** → Donde el ingreso total iguala al costo total", "2. **Costo marginal** → Cambio en el costo total por producir una unidad adicional", "3. **Ingreso marginal** → Cambio en el ingreso total por vender una unidad adicional", "4. **Utilidad marginal** → Cambio en la utilidad por vender una unidad adicional" ], "explanation": "Las asociaciones correctas son: Punto de equilibrio → Donde ingreso = costo; Costo marginal → Cambio en costo por unidad; Ingreso marginal → Cambio en ingreso por unidad; Utilidad marginal → Cambio en utilidad por unidad" }, { "id": "lc-001", "topic": "limites-continuidad", "question": "Calcula el límite: lim (x→2) (x² - 4)/(x - 2)", "type": "multiple-choice", "options": [ "4", "2", "0", "No existe" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": [ "Esta es una forma indeterminada 0/0", "Factoriza el numerador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)", "Simplifica y evalúa el límite" ], "stepByStep": [ "📚 **Cálculo de Límite con Forma 0/0**", "", "**Límite:** lim (x→2) (x² - 4)/(x - 2)", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Identificar la forma indeterminada", "* Sustituyendo x = 2: (2² - 4)/(2 - 2) = 0/0", "* Es una forma indeterminada 0/0", "", "**Paso 2:** Factorizar el numerador", "* x² - 4 = (x - 2)(x + 2)", "", "**Paso 3:** Simplificar la expresión", "- (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2", "", "**Paso 4:** Evaluar el límite simplificado", "* lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4", "", "✅ **Respuesta**", "El límite es 4" ], "explanation": "Factorizando: (x² - 4)/(x - 2) = (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2. Evaluando en x = 2: 2 + 2 = 4" }, { "id": "lc-002", "topic": "limites-continuidad", "question": "Calcula el límite: lim (x→∞) (3x² + 2x - 1)/(2x² - x + 5)", "type": "numeric", "correct": 1.5, "tolerance": 0.01, "difficulty": "medio", "hints": [ "Para límites al infinito de funciones racionales, divide por la mayor potencia de x", "Divide numerador y denominador por x²", "Usa que lim (x→∞) 1/x = 0" ], "stepByStep": [ "📚 **Límite al Infinito de Función Racional**", "", "**Límite:** lim (x→∞) (3x² + 2x - 1)/(2x² - x + 5)", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Identificar la mayor potencia", "* La mayor potencia es x²", "", "**Paso 2:** Dividir por x²", "* lim (x→∞) (3 + 2/x - 1/x²)/(2 - 1/x + 5/x²)", "", "**Paso 3:** Aplicar propiedades de límites", "* lim (x→∞) 2/x = 0", "* lim (x→∞) 1/x² = 0", "* lim (x→∞) 1/x = 0", "* lim (x→∞) 5/x² = 0", "", "**Paso 4:** Evaluar el límite", "- (3 + 0 - 0)/(2 - 0 + 0) = 3/2 = 1.5", "", "✅ **Respuesta**", "El límite es 1.5" ], "explanation": "Dividiendo por x²: lim (x→∞) (3 + 2/x - 1/x²)/(2 - 1/x + 5/x²) = (3 + 0 - 0)/(2 - 0 + 0) = 3/2 = 1.5" }, { "id": "lc-003", "topic": "limites-continuidad", "question": "Calcula el límite: lim (x→0) sin(3x)/x", "type": "multiple-choice", "options": [ "3", "1", "0", "No existe" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Usa el límite fundamental: lim (x→0) sin(x)/x = 1", "Haz un cambio de variable: u = 3x", "Cuando x→0, entonces u→0" ], "stepByStep": [ "📚 **Límite Trigonométrico Fundamental**", "", "**Límite:** lim (x→0) sin(3x)/x", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Recordar el límite fundamental", "* lim (x→0) sin(x)/x = 1", "", "**Paso 2:** Hacer cambio de variable", "* Sea u = 3x, entonces x = u/3", "* Cuando x→0, entonces u→0", "", "**Paso 3:** Reescribir el límite", "* lim (x→0) sin(3x)/x = lim (u→0) sin(u)/(u/3)", "- = lim (u→0) 3·sin(u)/u", "", "**Paso 4:** Aplicar el límite fundamental", "- = 3·lim (u→0) sin(u)/u = 3·1 = 3", "", "✅ **Respuesta**", "El límite es 3" ], "explanation": "Usando el límite fundamental: lim (x→0) sin(3x)/x = lim (x→0) 3·sin(3x)/(3x) = 3·lim (u→0) sin(u)/u = 3·1 = 3" }, { "id": "lc-004", "topic": "limites-continuidad", "question": "Calcula el límite: lim (x→0) (√(x+4) - 2)/x", "type": "numeric", "correct": 0.25, "tolerance": 0.01, "difficulty": "medio", "hints": [ "Esta es una forma indeterminada 0/0", "Racionaliza el numerador multiplicando por el conjugado", "El conjugado de √(x+4) - 2 es √(x+4) + 2" ], "stepByStep": [ "📚 **Límite con Racionalización**", "", "**Límite:** lim (x→0) (√(x+4) - 2)/x", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Identificar la forma indeterminada", "* Sustituyendo x = 0: (√4 - 2)/0 = 0/0", "* Es una forma indeterminada 0/0", "", "**Paso 2:** Racionalizar el numerador", "* Multiplicar por el conjugado: (√(x+4) + 2)/(√(x+4) + 2)", "- = [(√(x+4) - 2)(√(x+4) + 2)]/[x(√(x+4) + 2)]", "", "**Paso 3:** Simplificar usando (a-b)(a+b) = a² - b²", "- = [(x+4) - 4]/[x(√(x+4) + 2)]", "- = x/[x(√(x+4) + 2)]", "- = 1/[√(x+4) + 2]", "", "**Paso 4:** Evaluar el límite simplificado", "* lim (x→0) 1/[√(x+4) + 2] = 1/[√4 + 2] = 1/(2 + 2) = 1/4 = 0.25", "", "✅ **Respuesta**", "El límite es 0.25" ], "explanation": "Racionalizando: (√(x+4) - 2)/x × (√(x+4) + 2)/(√(x+4) + 2) = (x+4-4)/[x(√(x+4) + 2)] = 1/[√(x+4) + 2]. Evaluando en x = 0: 1/(2+2) = 1/4 = 0.25" }, { "id": "lc-005", "topic": "limites-continuidad", "question": "¿Cuál es la asíntota vertical de la función f(x) = (x² - 1)/(x - 2)?", "type": "multiple-choice", "options": [ "x = 2", "y = 2", "x = 1", "y = x + 2" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": [ "Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero", "Busca los valores que hacen cero el denominador", "Verifica que el numerador no sea cero en ese mismo punto" ], "stepByStep": [ "📚 **Cálculo de Asíntota Vertical**", "", "**Función:** f(x) = (x² - 1)/(x - 2)", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Identificar dónde el denominador es cero", "* x - 2 = 0", "* x = 2", "", "**Paso 2:** Verificar que el numerador no sea cero en x = 2", "* Numerador en x = 2: 2² - 1 = 4 - 1 = 3 ≠ 0", "", "**Paso 3:** Confirmar la asíntota vertical", "* Como el denominador es 0 y el numerador es 3 ≠ 0 en x = 2", "* Hay una asíntota vertical en x = 2", "", "✅ **Respuesta**", "La asíntota vertical es x = 2" ], "explanation": "El denominador se anula en x = 2, y el numerador en ese punto es 2² - 1 = 3 ≠ 0. Por lo tanto, hay una asíntota vertical en x = 2" }, { "id": "lc-006", "topic": "limites-continuidad", "question": "¿Es la función f(x) = (x² - 4)/(x - 2) continua en x = 2?", "type": "multiple-choice", "options": [ "No, porque no está definida en x = 2", "Sí, porque el límite existe", "Sí, porque f(2) = 4", "No, porque el límite no existe" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Para que una función sea continua en un punto debe cumplir tres condiciones", "1) Debe estar definida en el punto", "2) El límite debe existir", "3) El límite debe igualar al valor de la función" ], "stepByStep": [ "📚 **Análisis de Continuidad**", "", "**Función:** f(x) = (x² - 4)/(x - 2)", "**Punto a analizar:** x = 2", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Verificar si la función está definida en x = 2", "* f(2) = (2² - 4)/(2 - 2) = 0/0", "* La función no está definida en x = 2", "", "**Paso 2:** Verificar si el límite existe", "* lim (x→2) (x² - 4)/(x - 2)", "- = lim (x→2) (x - 2)(x + 2)/(x - 2)", "- = lim (x→2) (x + 2) = 4", "* El límite existe y es 4", "", "**Paso 3:** Aplicar el criterio de continuidad", "* Para ser continua: lim (x→2) f(x) = f(2)", "* Pero f(2) no está definida", "* Por lo tanto, la función no es continua en x = 2", "", "✅ **Respuesta**", "La función no es continua en x = 2 porque no está definida en ese punto" ], "explanation": "Aunque lim (x→2) (x² - 4)/(x - 2) = 4 existe, la función no está definida en x = 2 (produce 0/0), por lo que no es continua en ese punto" }, { "id": "lc-007", "topic": "limites-continuidad", "question": "Calcula el límite: lim (x→0⁺) ln(x)", "type": "multiple-choice", "options": [ "-∞", "+∞", "0", "1" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": [ "Este es un límite lateral por la derecha (0⁺)", "Recuerda el comportamiento de la función ln(x) cerca de 0", "Cuando x→0⁺, ln(x) tiende a -∞" ], "stepByStep": [ "📚 **Límite Lateral de Función Logarítmica**", "", "**Límite:** lim (x→0⁺) ln(x)", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Identificar el tipo de límite", "* Es un límite lateral por la derecha (0⁺)", "* x se acerca a 0 por valores positivos", "", "**Paso 2:** Analizar el comportamiento de ln(x)", "* La función ln(x) está definida solo para x > 0", "* Cuando x→0⁺, ln(x) → -∞", "", "**Paso 3:** Visualizar gráficamente", "* La gráfica de ln(x) pasa por (1,0)", "* Tiende a -∞ cuando x→0⁺", "* Tiende a +∞ cuando x→+∞", "", "✅ **Respuesta**", "El límite es -∞" ], "explanation": "La función logaritmo natural ln(x) está definida solo para x > 0 y tiende a -∞ cuando x se acerca a 0 por la derecha" }, { "id": "lc-008", "topic": "limites-continuidad", "question": "Clasifica estas funciones según su continuidad en los puntos indicados", "type": "categorize", "question": "Clasifica estas funciones según su continuidad en los puntos indicados", "description": "Arrastra cada función a la categoría que describe correctamente su continuidad en el punto especificado.", "items": [ "f(x) = x² en x = 0", "f(x) = 1/x en x = 0", "f(x) = (x²-1)/(x-1) en x = 1", "f(x) = |x| en x = 0" ], "categories": { "continua": "Continua en el punto", "discontinuidad-evitable": "Discontinuidad evitable", "discontinuidad-inesperada": "Discontinuidad inevitable" }, "correctCategories": { "f(x) = x² en x = 0": "continua", "f(x) = 1/x en x = 0": "discontinuidad-inesperada", "f(x) = (x²-1)/(x-1) en x = 1": "discontinuidad-evitable", "f(x) = |x| en x = 0": "continua" }, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "Una función es continua si está definida, el límite existe y son iguales", "Hay discontinuidad evitable si el límite existe pero la función no está definida", "Hay discontinuidad inevitable si el límite no existe o es infinito" ], "stepByStep": [ "📚 **Tipos de Continuidad y Discontinuidad**", "", "**Función continua:**", "* Está definida en el punto", "* El límite existe", "* El límite iguala al valor de la función", "", "**Discontinuidad evitable:**", "* El límite existe", "* Pero la función no está definida en el punto", "* O el valor de la función es diferente al límite", "", "**Discontinuidad inevitable:**", "* El límite no existe", "* O el límite es infinito", "", "🔍 **Análisis de cada función**", "", "**f(x) = x² en x = 0:**", "* f(0) = 0² = 0", "* lim (x→0) x² = 0", "* Como f(0) = lim (x→0) f(x), es continua", "", "**f(x) = 1/x en x = 0:**", "* f(0) no está definida", "* lim (x→0) 1/x no existe (tiende a ±∞)", "* Es discontinuidad inevitable", "", "**f(x) = (x²-1)/(x-1) en x = 1:**", "* f(1) = (1-1)/(1-1) = 0/0 (no definida)", "* lim (x→1) (x²-1)/(x-1) = lim (x→1) (x+1) = 2", "* El límite existe pero la función no está definida", "* Es discontinuidad evitable", "", "**f(x) = |x| en x = 0:**", "* f(0) = |0| = 0", "* lim (x→0) |x| = 0", "* Como f(0) = lim (x→0) f(x), es continua", "", "✅ **Clasificación final**", "", "- **Continua:** f(x) = x² en x = 0, f(x) = |x| en x = 0", "- **Discontinuidad evitable:** f(x) = (x²-1)/(x-1) en x = 1", "- **Discontinuidad inevitable:** f(x) = 1/x en x = 0" ], "explanation": "f(x)=x² y f(x)=|x| son continuas en x=0. f(x)=(x²-1)/(x-1) tiene discontinuidad evitable en x=1 (límite existe pero función no definida). f(x)=1/x tiene discontinuidad inevitable en x=0 (límite no existe)" }, { "id": "de-001", "topic": "derivacion", "question": "Calcula la derivada de f(x) = 3x² - 2x + 5 usando la definición", "type": "multiple-choice", "options": [ "6x - 2", "3x - 2", "6x + 2", "3x + 2" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "La definición de derivada es: f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)]/h", "Calcula f(x+h) = 3(x+h)² - 2(x+h) + 5", "Simplifica la expresión y calcula el límite" ], "stepByStep": [ "📚 **Derivada por Definición**", "", "**Función:** f(x) = 3x² - 2x + 5", "**Definición:** f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)]/h", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Calcular f(x+h)", "* f(x+h) = 3(x+h)² - 2(x+h) + 5", "- = 3(x² + 2xh + h²) - 2x - 2h + 5", "- = 3x² + 6xh + 3h² - 2x - 2h + 5", "", "**Paso 2:** Calcular el cociente de diferencia", "- [f(x+h) - f(x)]/h", "- = [3x² + 6xh + 3h² - 2x - 2h + 5 - (3x² - 2x + 5)]/h", "- = [6xh + 3h² - 2h]/h", "- = 6x + 3h - 2", "", "**Paso 3:** Calcular el límite cuando h→0", "* f'(x) = lim (h→0) (6x + 3h - 2)", "* f'(x) = 6x - 2", "", "✅ **Respuesta**", "La derivada es f'(x) = 6x - 2" ], "explanation": "Usando la definición: f'(x) = lim (h→0) [3(x+h)² - 2(x+h) + 5 - (3x² - 2x + 5)]/h = lim (h→0) (6xh + 3h² - 2h)/h = lim (h→0) (6x + 3h - 2) = 6x - 2" }, { "id": "de-002", "topic": "derivacion", "question": "Calcula la derivada de f(x) = x³·sen(x) usando la regla del producto", "type": "multiple-choice", "options": [ "3x²·sen(x) + x³·cos(x)", "3x²·cos(x) + x³·sen(x)", "x³·cos(x) - 3x²·sen(x)", "3x²·sen(x) - x³·cos(x)" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "La regla del producto dice: (uv)' = u'v + uv'", "Identifica u = x³ y v = sen(x)", "Calcula u' = 3x² y v' = cos(x)" ], "stepByStep": [ "📚 **Regla del Producto**", "", "**Función:** f(x) = x³·sen(x)", "**Regla:** (uv)' = u'v + uv'", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Identificar u y v", "* u = x³", "* v = sen(x)", "", "**Paso 2:** Calcular las derivadas de u y v", "* u' = d/dx[x³] = 3x²", "* v' = d/dx[sen(x)] = cos(x)", "", "**Paso 3:** Aplicar la regla del producto", "* f'(x) = u'v + uv'", "* f'(x) = (3x²)(sen(x)) + (x³)(cos(x))", "* f'(x) = 3x²·sen(x) + x³·cos(x)", "", "✅ **Respuesta**", "La derivada es f'(x) = 3x²·sen(x) + x³·cos(x)" ], "explanation": "Aplicando la regla del producto: (x³·sen(x))' = (x³)'·sen(x) + x³·(sen(x))' = 3x²·sen(x) + x³·cos(x)" }, { "id": "de-003", "topic": "derivacion", "question": "Calcula la derivada de f(x) = e^(2x²) usando la regla de la cadena", "type": "multiple-choice", "options": [ "4x·e^(2x²)", "2x·e^(2x²)", "e^(2x²)", "4x²·e^(2x²)" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "La regla de la cadena dice: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)", "Identifica la función externa f(u) = e^u y la interna g(x) = 2x²", "Calcula f'(u) = e^u y g'(x) = 4x" ], "stepByStep": [ "📚 **Regla de la Cadena**", "", "**Función:** f(x) = e^(2x²)", "**Regla:** [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Identificar las funciones", "* Función externa: f(u) = e^u", "* Función interna: g(x) = 2x²", "", "**Paso 2:** Calcular las derivadas", "* f'(u) = d/du[e^u] = e^u", "* g'(x) = d/dx[2x²] = 4x", "", "**Paso 3:** Aplicar la regla de la cadena", "* f'(x) = f'(g(x))·g'(x)", "* f'(x) = e^(2x²)·(4x)", "* f'(x) = 4x·e^(2x²)", "", "✅ **Respuesta**", "La derivada es f'(x) = 4x·e^(2x²)" ], "explanation": "Aplicando la regla de la cadena: [e^(2x²)]' = e^(2x²)·(2x²)' = e^(2x²)·4x = 4x·e^(2x²)" }, { "id": "de-004", "topic": "derivacion", "question": "Encuentra los puntos críticos de f(x) = x³ - 3x² + 2", "type": "multiple-choice", "options": [ "x = 0 y x = 2", "x = 1 y x = 2", "x = 0 y x = 1", "x = -1 y x = 2" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Los puntos críticos ocurren donde f'(x) = 0 o f'(x) no existe", "Calcula la derivada: f'(x) = 3x² - 6x", "Iguala a cero y resuelve: 3x² - 6x = 0" ], "stepByStep": [ "📚 **Cálculo de Puntos Críticos**", "", "**Función:** f(x) = x³ - 3x² + 2", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Calcular la derivada", "* f'(x) = d/dx[x³ - 3x² + 2]", "* f'(x) = 3x² - 6x", "", "**Paso 2:** Identificar dónde f'(x) = 0", "- 3x² - 6x = 0", "- 3x(x - 2) = 0", "", "**Paso 3:** Resolver la ecuación", "- 3x = 0 → x = 0", "* x - 2 = 0 → x = 2", "", "**Paso 4:** Verificar si f'(x) no existe en algún punto", "* f'(x) = 3x² - 6x existe para todo x ∈ ℝ", "* No hay puntos donde f'(x) no exista", "", "✅ **Respuesta**", "Los puntos críticos son x = 0 y x = 2" ], "explanation": "Los puntos críticos ocurren donde f'(x) = 0: 3x² - 6x = 3x(x - 2) = 0 → x = 0 o x = 2. La derivada existe para todos los valores reales" }, { "id": "de-005", "topic": "derivacion", "question": "Usa el criterio de la segunda derivada para determinar si x = 1 es un máximo o mínimo de f(x) = -x³ + 3x² - 2", "type": "multiple-choice", "options": [ "Máximo relativo", "Mínimo relativo", "Punto de inflexión", "No es punto crítico" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "El criterio de la segunda derivada usa f''(x) en los puntos críticos", "Si f''(x) < 0 → máximo, si f''(x) > 0 → mínimo", "Calcula f'(x) = -3x² + 6x, luego f''(x) = -6x + 6" ], "stepByStep": [ "📚 **Criterio de la Segunda Derivada**", "", "**Función:** f(x) = -x³ + 3x² - 2", "**Punto a analizar:** x = 1", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Verificar que x = 1 es un punto crítico", "* f'(x) = -3x² + 6x", "* f'(1) = -3(1)² + 6(1) = -3 + 6 = 3 ≠ 0", "- ¡Error! x = 1 no es un punto crítico", "", "**Paso 2:** Corregir y encontrar los puntos críticos", "* f'(x) = -3x² + 6x = -3x(x - 2) = 0", "* Puntos críticos: x = 0 y x = 2", "", "**Paso 3:** Calcular la segunda derivada", "* f''(x) = d/dx[-3x² + 6x]", "* f''(x) = -6x + 6", "", "**Paso 4:** Aplicar el criterio en los puntos críticos correctos", "* f''(0) = -6(0) + 6 = 6 > 0 → mínimo en x = 0", "* f''(2) = -6(2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 → máximo en x = 2", "", "✅ **Respuesta corregida**", "x = 1 no es un punto crítico. Los puntos críticos son x = 0 (mínimo) y x = 2 (máximo)" ], "explanation": "Hay un error en la pregunta. x = 1 no es un punto crítico ya que f'(1) = -3 + 6 = 3 ≠ 0. Los puntos críticos son x = 0 (f''(0) = 6 > 0, mínimo) y x = 2 (f''(2) = -6 < 0, máximo)" }, { "id": "de-006", "topic": "derivacion", "question": "Calcula la derivada de f(x) = ln(x² + 1) usando la regla de la cadena", "type": "multiple-choice", "options": [ "2x/(x² + 1)", "1/(x² + 1)", "2x", "2/(x² + 1)" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "La regla de la cadena dice: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)", "Identifica la función externa f(u) = ln(u) y la interna g(x) = x² + 1", "Calcula f'(u) = 1/u y g'(x) = 2x" ], "stepByStep": [ "📚 **Regla de la Cadena con Logaritmo**", "", "**Función:** f(x) = ln(x² + 1)", "**Regla:** [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Identificar las funciones", "* Función externa: f(u) = ln(u)", "* Función interna: g(x) = x² + 1", "", "**Paso 2:** Calcular las derivadas", "* f'(u) = d/du[ln(u)] = 1/u", "* g'(x) = d/dx[x² + 1] = 2x", "", "**Paso 3:** Aplicar la regla de la cadena", "* f'(x) = f'(g(x))·g'(x)", "* f'(x) = 1/(x² + 1)·(2x)", "* f'(x) = 2x/(x² + 1)", "", "✅ **Respuesta**", "La derivada es f'(x) = 2x/(x² + 1)" ], "explanation": "Aplicando la regla de la cadena: [ln(x² + 1)]' = 1/(x² + 1)·(x² + 1)' = 1/(x² + 1)·2x = 2x/(x² + 1)" }, { "id": "de-007", "topic": "derivacion", "question": "Calcula la derivada implícita de x² + y² = 25", "type": "multiple-choice", "options": [ "dy/dx = -x/y", "dy/dx = -y/x", "dy/dx = x/y", "dy/dx = y/x" ], "correct": 0, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "Deriva ambos lados de la ecuación con respecto a x", "Recuerda que d/dx[y²] = 2y·dy/dx por la regla de la cadena", "Despeja dy/dx de la ecuación resultante" ], "stepByStep": [ "📚 **Derivación Implícita**", "", "**Ecuación:** x² + y² = 25", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Derivar ambos lados con respecto a x", "* d/dx[x² + y²] = d/dx[25]", "* d/dx[x²] + d/dx[y²] = 0", "", "**Paso 2:** Aplicar las reglas de derivación", "* d/dx[x²] = 2x", "* d/dx[y²] = 2y·dy/dx (regla de la cadena)", "* d/dx[25] = 0", "", "**Paso 3:** Formar la ecuación derivada", "- 2x + 2y·dy/dx = 0", "", "**Paso 4:** Despejar dy/dx", "- 2y·dy/dx = -2x", "* dy/dx = -2x/(2y)", "* dy/dx = -x/y", "", "✅ **Respuesta**", "La derivada implícita es dy/dx = -x/y" ], "explanation": "Derivando implícitamente: d/dx[x² + y²] = d/dx[25] → 2x + 2y·dy/dx = 0 → 2y·dy/dx = -2x → dy/dx = -x/y" }, { "id": "de-008", "topic": "derivacion", "question": "Una empresa tiene una función de costo C(x) = 1000 + 50x + 0.1x². ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 100 unidades?", "type": "numeric", "correct": 70, "tolerance": 0.1, "unit": "unidades monetarias por unidad", "difficulty": "medio", "hints": [ "El costo marginal es la derivada del costo total: C'(x)", "Calcula C'(x) = 50 + 0.2x", "Evalúa C'(100) = 50 + 0.2(100)" ], "stepByStep": [ "📚 **Cálculo de Costo Marginal**", "", "**Función de costo:** C(x) = 1000 + 50x + 0.1x²", "**Costo marginal:** C'(x)", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Calcular la derivada del costo total", "* C'(x) = d/dx[1000 + 50x + 0.1x²]", "* C'(x) = 0 + 50 + 0.2x", "* C'(x) = 50 + 0.2x", "", "**Paso 2:** Evaluar el costo marginal en x = 100", "* C'(100) = 50 + 0.2(100)", "* C'(100) = 50 + 20", "* C'(100) = 70", "", "**Paso 3:** Interpretar el resultado", "* El costo marginal es 70 unidades monetarias por unidad", "* Esto significa que producir la unidad número 101 costará aproximadamente 70 unidades monetarias adicionales", "", "✅ **Respuesta**", "El costo marginal cuando se producen 100 unidades es 70 unidades monetarias por unidad" ], "explanation": "El costo marginal es C'(x) = 50 + 0.2x. Evaluando en x = 100: C'(100) = 50 + 0.2(100) = 50 + 20 = 70 unidades monetarias por unidad" }, { "id": "de-009", "topic": "derivacion", "question": "Completa la siguiente tabla de análisis de la función f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1:", "type": "table-numeric", "description": "Calcula los valores faltantes en la tabla. Puedes ingresar uno o varios valores numéricos.", "table": { "headers": ["x", "f(x)", "f'(x)", "f''(x)", "Análisis"], "rows": [ ["0", "", "", "", ""], ["1", "", "", "", ""], ["2", "", "", "", ""], ["3", "", "", "", ""] ] }, "correctAnswers": [1, 9, -12, "Máximo", 4, 0, -6, "Punto de inflexión", 1, -3, 0, "Mínimo", 1, 0, 6, "Creciente"], "tolerance": 0.1, "validation": "multiple", "stepByStep": [ "📚 **Análisis de Función con Derivadas**", "", "**Función:** f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1", "**Primera derivada:** f'(x) = 3x² - 12x + 9", "**Segunda derivada:** f''(x) = 6x - 12", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Para x = 0:**", "* f(0) = 0³ - 6·0² + 9·0 + 1 = 1", "* f'(0) = 3·0² - 12·0 + 9 = 9", "* f''(0) = 6·0 - 12 = -12", "* Como f'(0) > 0 y f''(0) < 0: Creciente y cóncava hacia abajo", "", "**Para x = 1:**", "* f(1) = 1³ - 6·1² + 9·1 + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5", "* f'(1) = 3·1² - 12·1 + 9 = 3 - 12 + 9 = 0", "* f''(1) = 6·1 - 12 = -6", "* Como f'(1) = 0 y f''(1) < 0: Máximo relativo", "", "**Para x = 2:**", "* f(2) = 2³ - 6·2² + 9·2 + 1 = 8 - 24 + 18 + 1 = 3", "* f'(2) = 3·2² - 12·2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3", "* f''(2) = 6·2 - 12 = 0", "* Como f''(2) = 0: Posible punto de inflexión", "", "**Para x = 3:**", "* f(3) = 3³ - 6·3² + 9·3 + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1", "* f'(3) = 3·3² - 12·3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0", "* f''(3) = 6·3 - 12 = 6", "* Como f'(3) = 0 y f''(3) > 0: Mínimo relativo", "", "✅ **Respuesta**", "Completa la tabla con los valores calculados" ], "explanation": "Calcula f(x), f'(x) y f''(x) para cada valor de x, luego analiza el comportamiento usando los criterios de la primera y segunda derivada" }, { "id": "in-001", "topic": "integracion", "question": "Calcula la integral indefinida: ∫(3x² + 2x - 1)dx", "type": "multiple-choice", "options": [ "x³ + x² - x + C", "x³ + x² + x + C", "3x³ + x² - x + C", "x³ + 2x² - x + C" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": [ "Integra término por término usando la regla de la potencia", "∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C", "No olvides la constante de integración C" ], "stepByStep": [ "📚 **Integración Término a Término**", "", "**Integral:** ∫(3x² + 2x - 1)dx", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Separar la integral en términos", "- ∫(3x² + 2x - 1)dx = ∫3x²dx + ∫2xdx - ∫1dx", "", "**Paso 2:** Aplicar la regla de la potencia a cada término", "- ∫3x²dx = 3∫x²dx = 3·x³/3 = x³", "- ∫2xdx = 2∫xdx = 2·x²/2 = x²", "- ∫1dx = ∫x⁰dx = x¹/1 = x", "", "**Paso 3:** Combinar los resultados", "- ∫(3x² + 2x - 1)dx = x³ + x² - x + C", "", "✅ **Respuesta**", "La integral es x³ + x² - x + C" ], "explanation": "Integrando término por término: ∫3x²dx = x³, ∫2xdx = x², ∫(-1)dx = -x. Sumando: x³ + x² - x + C" }, { "id": "in-002", "topic": "integracion", "question": "Calcula la integral definida: ∫₀²(2x + 1)dx", "type": "numeric", "correct": 6, "tolerance": 0.01, "difficulty": "facil", "hints": [ "Primero encuentra la antiderivada: F(x) = x² + x", "Luego aplica el Teorema Fundamental del Cálculo: ∫ₐᵇf(x)dx = F(b) - F(a)", "Calcula F(2) - F(0)" ], "stepByStep": [ "📚 **Integral Definida**", "", "**Integral:** ∫₀²(2x + 1)dx", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Encontrar la antiderivada", "- ∫(2x + 1)dx = ∫2xdx + ∫1dx", "- = x² + x + C", "* Sea F(x) = x² + x", "", "**Paso 2:** Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo", "- ∫₀²(2x + 1)dx = F(2) - F(0)", "", "**Paso 3:** Evaluar en los límites", "* F(2) = 2² + 2 = 4 + 2 = 6", "* F(0) = 0² + 0 = 0", "- ∫₀²(2x + 1)dx = 6 - 0 = 6", "", "✅ **Respuesta**", "El valor de la integral definida es 6" ], "explanation": "La antiderivada es F(x) = x² + x. Aplicando el Teorema Fundamental: ∫₀²(2x + 1)dx = F(2) - F(0) = (2² + 2) - (0² + 0) = 6 - 0 = 6" }, { "id": "in-003", "topic": "integracion", "question": "Calcula la integral usando sustitución: ∫x·e^(x²)dx", "type": "multiple-choice", "options": [ "(1/2)e^(x²) + C", "e^(x²) + C", "x·e^(x²) + C", "2e^(x²) + C" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Usa la sustitución u = x²", "Calcula du = 2xdx, lo que significa xdx = du/2", "Reemplaza en la integral y resuelve" ], "stepByStep": [ "📚 **Integración por Sustitución**", "", "**Integral:** ∫x·e^(x²)dx", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Elegir la sustitución", "* Sea u = x²", "", "**Paso 2:** Calcular du", "* du = d/dx[x²]dx = 2xdx", "* xdx = du/2", "", "**Paso 3:** Reemplazar en la integral", "- ∫x·e^(x²)dx = ∫e^u·(du/2)", "- = (1/2)∫e^udu", "", "**Paso 4:** Integrar y volver a la variable original", "- (1/2)∫e^udu = (1/2)e^u + C", "- = (1/2)e^(x²) + C", "", "✅ **Respuesta**", "La integral es (1/2)e^(x²) + C" ], "explanation": "Con u = x², du = 2xdx → xdx = du/2. Reemplazando: ∫x·e^(x²)dx = ∫e^u·(du/2) = (1/2)∫e^udu = (1/2)e^u + C = (1/2)e^(x²) + C" }, { "id": "in-004", "topic": "integracion", "question": "Calcula la integral por partes: ∫x·e^xdx", "type": "multiple-choice", "options": [ "x·e^x - e^x + C", "x·e^x + e^x + C", "e^x + C", "x²·e^x + C" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Usa la fórmula de integración por partes: ∫udv = uv - ∫vdu", "Elige u = x y dv = e^xdx", "Calcula du = dx y v = e^x" ], "stepByStep": [ "📚 **Integración por Partes**", "", "**Integral:** ∫x·e^xdx", "**Fórmula:** ∫udv = uv - ∫vdu", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Elegir u y dv", "* u = x", "* dv = e^xdx", "", "**Paso 2:** Calcular du y v", "* du = dx", "* v = ∫e^xdx = e^x", "", "**Paso 3:** Aplicar la fórmula", "- ∫x·e^xdx = uv - ∫vdu", "- = x·e^x - ∫e^xdx", "", "**Paso 4:** Integrar el término restante", "- ∫e^xdx = e^x", "- ∫x·e^xdx = x·e^x - e^x + C", "", "✅ **Respuesta**", "La integral es x·e^x - e^x + C" ], "explanation": "Aplicando integración por partes con u = x, dv = e^xdx: ∫x·e^xdx = x·e^x - ∫e^xdx = x·e^x - e^x + C" }, { "id": "in-005", "topic": "integracion", "question": "Calcula el área entre las curvas y = x² y y = x + 2", "type": "numeric", "correct": 4.5, "tolerance": 0.01, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "Encuentra los puntos de intersección: x² = x + 2", "El área es ∫(función superior - función inferior)dx", "Integra desde el punto de intersección izquierdo al derecho" ], "stepByStep": [ "📚 **Área Entre Curvas**", "", "**Curvas:** y = x² y y = x + 2", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Encontrar los puntos de intersección", "* x² = x + 2", "* x² - x - 2 = 0", "- (x - 2)(x + 1) = 0", "* x = 2 o x = -1", "", "**Paso 2:** Determinar qué curva está arriba", "* Para x = 0: y₁ = 0² = 0, y₂ = 0 + 2 = 2", "* y = x + 2 está arriba de y = x²", "", "**Paso 3:** Plantear la integral del área", "- Área = ∫₋₁²[(x + 2) - x²]dx", "", "**Paso 4:** Calcular la integral", "- ∫[(x + 2) - x²]dx = ∫xdx + ∫2dx - ∫x²dx", "- = x²/2 + 2x - x³/3", "", "**Paso 5:** Evaluar en los límites", "- [x²/2 + 2x - x³/3]₋₁²", "- = [(2²/2 + 2·2 - 2³/3) - ((-1)²/2 + 2·(-1) - (-1)³/3)]", "- = [(2 + 4 - 8/3) - (1/2 - 2 + 1/3)]", "- = [(6 - 8/3) - (-3/2 + 1/3)]", "- = [(10/3) - (-7/6)] = 10/3 + 7/6 = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2 = 4.5", "", "✅ **Respuesta**", "El área entre las curvas es 4.5 unidades cuadradas" ], "explanation": "Los puntos de intersección son x = -1 y x = 2. El área es ∫₋₁²[(x + 2) - x²]dx = [x²/2 + 2x - x³/3]₋₁² = 4.5 unidades cuadradas" }, { "id": "in-006", "topic": "integracion", "question": "Resuelve la ecuación diferencial: dy/dx = 3x², con la condición inicial y(0) = 2", "type": "multiple-choice", "options": [ "y = x³ + 2", "y = x³", "y = x³ + C", "y = 3x² + 2" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Integra ambos lados: ∫dy = ∫3x²dx", "Obtén y = x³ + C", "Usa la condición inicial y(0) = 2 para encontrar C" ], "stepByStep": [ "📚 **Ecuación Diferencial con Condición Inicial**", "", "**Ecuación:** dy/dx = 3x²", "**Condición inicial:** y(0) = 2", "", "🔍 **Proceso paso a paso**", "", "**Paso 1:** Separar variables e integrar", "* dy = 3x²dx", "- ∫dy = ∫3x²dx", "* y = x³ + C", "", "**Paso 2:** Aplicar la condición inicial", "* y(0) = 2", "- 0³ + C = 2", "* C = 2", "", "**Paso 3:** Escribir la solución particular", "* y = x³ + 2", "", "✅ **Respuesta**", "La solución es y = x³ + 2" ], "explanation": "Integrando: ∫dy = ∫3x²dx → y = x³ + C. Aplicando la condición y(0) = 2: 0³ + C = 2 → C = 2. Por lo tanto, y = x³ + 2" } ] }