{
  "criterio-segunda-derivada": [
    {
      "id": "csd-001",
      "topic": "introduccion-criterio",
      "question": "¿Qué nos dice el **criterio de la segunda derivada** sobre un punto crítico $x = c$ si $f''(c) > 0$?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$f$ tiene un **mínimo relativo** en $x = c$",
        "$f$ tiene un **máximo relativo** en $x = c$",
        "$f$ tiene un **punto de inflexión** en $x = c$",
        "No se puede concluir nada"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "$f''(c) > 0$ significa que la función es **cóncava hacia arriba**",
        "Una parábola que abre hacia arriba tiene un **mínimo**",
        "Segunda derivada positiva → mínimo relativo"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 📚 **Criterio de la Segunda Derivada**",
        "",
        "**Teorema:** Si $f'(c) = 0$ y $f''(c)$ existe:",
        "",
        "**Caso 1:** $f''(c) > 0$",
        "- La función es **cóncava hacia arriba** en $x = c$",
        "- Por lo tanto, $x = c$ es un **mínimo relativo** ✅",
        "",
        "**Caso 2:** $f''(c) < 0$",
        "- La función es **cóncava hacia abajo** en $x = c$",
        "- Por lo tanto, $x = c$ es un **máximo relativo**",
        "",
        "**Caso 3:** $f''(c) = 0$",
        "- El criterio **NO es concluyente**",
        "- Se debe usar otro método (primera derivada)",
        "",
        "### ✅ **Respuesta**",
        "Si $f''(c) > 0$ → **mínimo relativo**"
      ],
      "explanation": "f''(c) > 0 indica concavidad hacia arriba → mínimo relativo"
    },
    {
      "id": "csd-002",
      "topic": "introduccion-criterio",
      "question": "Para usar el criterio de la segunda derivada en $x = c$, ¿qué condición debe cumplirse PRIMERO?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$f'(c) = 0$ (punto crítico)",
        "$f''(c) = 0$",
        "$f(c) = 0$",
        "$f''(c) > 0$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "El criterio se aplica a **puntos críticos**",
        "¿Dónde puede haber un máximo o mínimo?",
        "Primero encuentra dónde $f'(x) = 0$"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🔍 **Procedimiento del Criterio**",
        "",
        "**Paso 1:** Encontrar puntos críticos",
        "- Resolver $f'(x) = 0$ ✅",
        "- Estos son los candidatos a extremos",
        "",
        "**Paso 2:** Calcular $f''(c)$ en cada punto crítico",
        "",
        "**Paso 3:** Clasificar según el signo:",
        "- $f''(c) > 0$ → mínimo",
        "- $f''(c) < 0$ → máximo",
        "- $f''(c) = 0$ → no concluyente",
        "",
        "### ✅ **Condición previa**",
        "**Debe cumplirse:** $f'(c) = 0$ (punto crítico)"
      ],
      "explanation": "El criterio SOLO se aplica en puntos críticos donde f'(c) = 0"
    },
    {
      "id": "csd-003",
      "topic": "aplicacion-polinomios",
      "question": "Dada $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, encuentra los puntos críticos y clasifícalos usando el criterio de la segunda derivada.",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$x = 0$ máximo, $x = 2$ mínimo",
        "$x = 0$ mínimo, $x = 2$ máximo",
        "$x = 0$ y $x = 2$ ambos máximos",
        "$x = 0$ y $x = 2$ puntos de inflexión"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$",
        "Puntos críticos: $x = 0$ y $x = 2$",
        "$f''(x) = 6x - 6$, evalúa en cada punto"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🧮 **Paso 1: Derivada**",
        "",
        "$$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$$",
        "$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$",
        "",
        "### 📍 **Paso 2: Puntos críticos**",
        "",
        "$$f'(x) = 0 \\Rightarrow 3x(x - 2) = 0$$",
        "$$x = 0 \\quad \\text{o} \\quad x = 2$$",
        "",
        "### 🔬 **Paso 3: Segunda derivada**",
        "",
        "$$f''(x) = 6x - 6$$",
        "",
        "**En $x = 0$:**",
        "$$f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0$$",
        "→ **Máximo relativo** 🔴",
        "",
        "**En $x = 2$:**",
        "$$f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$$",
        "→ **Mínimo relativo** 🔵",
        "",
        "### ✅ **Respuesta**",
        "- $x = 0$: máximo relativo",
        "- $x = 2$: mínimo relativo"
      ],
      "explanation": "f''(0) = -6 < 0 → máximo, f''(2) = 6 > 0 → mínimo"
    },
    {
      "id": "csd-004",
      "topic": "aplicacion-polinomios",
      "question": "Para $g(x) = x^4 - 4x^3$, ¿qué tipo de extremo tiene en $x = 3$?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Mínimo relativo",
        "Máximo relativo",
        "Punto de inflexión",
        "No es punto crítico"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "$g'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$",
        "$x = 3$ es punto crítico",
        "$g''(x) = 12x^2 - 24x$, evalúa en $x = 3$"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 📐 **Verificación de punto crítico**",
        "",
        "$$g'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$",
        "$$g'(3) = 4(3)^2(3 - 3) = 0$$ ✅",
        "",
        "### 🔬 **Segunda derivada**",
        "",
        "$$g''(x) = 12x^2 - 24x$$",
        "",
        "**En $x = 3$:**",
        "$$g''(3) = 12(3)^2 - 24(3)$$",
        "$$g''(3) = 12(9) - 72$$",
        "$$g''(3) = 108 - 72 = 36 > 0$$",
        "",
        "### ✅ **Conclusión**",
        "$$f''(3) = 36 > 0 \\Rightarrow \\text{Mínimo relativo}$$"
      ],
      "explanation": "g''(3) = 36 > 0 → concavidad hacia arriba → mínimo relativo"
    },
    {
      "id": "csd-005",
      "topic": "casos-no-concluyentes",
      "question": "Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) = 0$, ¿qué podemos concluir usando el criterio de la segunda derivada?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "El criterio **no es concluyente**, se debe usar otro método",
        "Es definitivamente un punto de inflexión",
        "Es definitivamente un máximo",
        "Es definitivamente un mínimo"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Cuando $f''(c) = 0$, el criterio **falla**",
        "Puede ser máximo, mínimo o punto de inflexión",
        "Se debe usar el criterio de la primera derivada"
      ],
      "stepByStep": [
        "### ⚠️ **Caso no concluyente**",
        "",
        "**Situación:** $f'(c) = 0$ y $f''(c) = 0$",
        "",
        "**El criterio de la segunda derivada NO puede determinar:**",
        "- Si es máximo relativo",
        "- Si es mínimo relativo",
        "- Si es punto de inflexión",
        "",
        "### 🔄 **Alternativas:**",
        "",
        "**1. Criterio de la primera derivada:**",
        "- Analiza el signo de $f'(x)$ a ambos lados de $c$",
        "",
        "**2. Derivadas de orden superior:**",
        "- Calcular $f'''(c)$, $f^{(4)}(c)$, etc.",
        "",
        "### 📚 **Ejemplos:**",
        "",
        "- $f(x) = x^4$: $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$ → **mínimo**",
        "- $f(x) = -x^4$: $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$ → **máximo**",
        "- $f(x) = x^3$: $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$ → **punto de inflexión**",
        "",
        "### ✅ **Conclusión**",
        "El criterio **no es concluyente** cuando $f''(c) = 0$"
      ],
      "explanation": "f''(c) = 0 → el criterio falla, se necesita otro método"
    },
    {
      "id": "csd-006",
      "topic": "casos-no-concluyentes",
      "question": "Para $h(x) = x^4$, ¿qué sucede en $x = 0$ usando el criterio de la segunda derivada?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$h''(0) = 0$, no concluyente, pero es mínimo (por primera derivada)",
        "$h''(0) > 0$, mínimo relativo",
        "$h''(0) < 0$, máximo relativo",
        "No es punto crítico"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "$h'(x) = 4x^3$, entonces $h'(0) = 0$ ✓",
        "$h''(x) = 12x^2$, entonces $h''(0) = 0$",
        "Criterio no concluyente, pero gráficamente es mínimo"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🧮 **Análisis de $h(x) = x^4$**",
        "",
        "**Primera derivada:**",
        "$$h'(x) = 4x^3$$",
        "$$h'(0) = 0$$ ✅ (punto crítico)",
        "",
        "**Segunda derivada:**",
        "$$h''(x) = 12x^2$$",
        "$$h''(0) = 12(0)^2 = 0$$",
        "",
        "### ⚠️ **Criterio no concluyente**",
        "",
        "Como $h''(0) = 0$, el criterio de la segunda derivada **no puede determinar** el tipo de extremo.",
        "",
        "### 🔍 **Criterio de la primera derivada**",
        "",
        "**Análisis del signo de $h'(x) = 4x^3$:**",
        "",
        "| Intervalo | $x < 0$ | $x = 0$ | $x > 0$ |",
        "|-----------|---------|---------|---------|",
        "| $h'(x)$   | $-$     | $0$     | $+$     |",
        "| $h(x)$    | ↓       | mín     | ↑       |",
        "",
        "**Conclusión:** $f'$ cambia de $-$ a $+$ → **Mínimo relativo** en $x = 0$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta**",
        "Criterio de 2ª derivada no concluyente, pero es **mínimo** (por 1ª derivada)"
      ],
      "explanation": "h''(0) = 0 (no concluyente), pero h'(x) cambia de - a + → mínimo"
    },
    {
      "id": "csd-007",
      "topic": "comparacion-criterios",
      "question": "¿Cuál es la **ventaja principal** del criterio de la segunda derivada sobre el de la primera?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Es más **rápido**: solo evalúas en un punto",
        "Funciona en todos los casos",
        "No requiere calcular derivadas",
        "Encuentra puntos de inflexión"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Primera derivada: analizar signos en intervalos (tedioso)",
        "Segunda derivada: solo evaluar $f''(c)$ (rápido)",
        "Pero segunda derivada no siempre funciona"
      ],
      "stepByStep": [
        "### ⚖️ **Comparación de criterios**",
        "",
        "### 🥇 **Criterio de la Primera Derivada**",
        "",
        "**Procedimiento:**",
        "1. Encontrar puntos críticos ($f'(c) = 0$)",
        "2. **Analizar el signo de $f'(x)$ en intervalos** alrededor de $c$",
        "3. Determinar si $f$ es creciente/decreciente",
        "",
        "**Ventajas:**",
        "- ✅ **Siempre funciona**",
        "- ✅ No requiere segunda derivada",
        "",
        "**Desventajas:**",
        "- ❌ Más **tedioso** (tabla de signos)",
        "- ❌ Requiere evaluar en varios puntos",
        "",
        "### 🥈 **Criterio de la Segunda Derivada**",
        "",
        "**Procedimiento:**",
        "1. Encontrar puntos críticos ($f'(c) = 0$)",
        "2. **Evaluar $f''(c)$ en un solo punto**",
        "3. Clasificar según signo",
        "",
        "**Ventajas:**",
        "- ✅ **Más rápido**: solo un cálculo",
        "- ✅ Directo y simple",
        "",
        "**Desventajas:**",
        "- ❌ **No funciona** si $f''(c) = 0$",
        "- ❌ Requiere calcular $f''(x)$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta**",
        "**Ventaja:** Más **rápido** - solo evalúas en un punto"
      ],
      "explanation": "Segunda derivada: solo evaluar f''(c) (rápido) vs primera: tabla de signos (tedioso)"
    },
    {
      "id": "csd-008",
      "topic": "comparacion-criterios",
      "question": "¿Cuándo es **preferible** usar el criterio de la **primera derivada** en lugar del de la segunda?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Cuando $f''(c) = 0$ o $f''(x)$ es difícil de calcular",
        "Siempre es mejor la primera derivada",
        "Solo cuando $f$ es polinomial",
        "Cuando $f'(c) \\neq 0$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Si $f''(c) = 0$, el criterio de 2ª no sirve",
        "Si $f''(x)$ es muy compleja, mejor usar 1ª",
        "Primera derivada SIEMPRE funciona"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🎯 **¿Cuándo usar cada criterio?**",
        "",
        "### 📘 **Usar Criterio de la Primera Derivada cuando:**",
        "",
        "**1. $f''(c) = 0$ (no concluyente)**",
        "- Ejemplo: $f(x) = x^4$ en $x = 0$",
        "- Segunda derivada falla, primera siempre funciona ✅",
        "",
        "**2. $f''(x)$ es muy complicada de calcular**",
        "- Ejemplo: $f(x) = \\frac{e^x}{\\ln(x^2 + 1)}$",
        "- Calcular $f''(x)$ es tedioso y propenso a errores",
        "",
        "**3. Puntos críticos donde $f'(c)$ no existe**",
        "- Ejemplo: $f(x) = |x|$ en $x = 0$",
        "- Solo primera derivada aplica",
        "",
        "### 📗 **Usar Criterio de la Segunda Derivada cuando:**",
        "",
        "**1. $f''(x)$ es fácil de calcular**",
        "- Ejemplo: polinomios, $e^x$, trigonométricas",
        "",
        "**2. $f''(c) \\neq 0$**",
        "- Garantiza que el criterio es concluyente",
        "",
        "**3. Quieres un método rápido**",
        "- Solo evaluar, no hacer tabla de signos",
        "",
        "### ✅ **Respuesta**",
        "Preferir primera derivada cuando $f''(c) = 0$ o $f''(x)$ es complicada"
      ],
      "explanation": "Primera derivada: cuando f''(c)=0 (no concluyente) o f'' muy compleja"
    },
    {
      "id": "csd-009",
      "topic": "aplicaciones-optimizacion",
      "question": "Una caja rectangular sin tapa se construye con 300 cm² de cartón. Si la base es cuadrada de lado $x$, ¿qué valor de $x$ **maximiza** el volumen?",
      "type": "numeric",
      "correct": 10,
      "tolerance": 0.5,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "Volumen: $V = x^2 h$",
        "Restricción: área = $x^2 + 4xh = 300$",
        "Despeja $h$ y sustituye en $V$, luego deriva"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 📦 **Problema de optimización**",
        "",
        "**Variables:**",
        "- Base cuadrada: lado $x$",
        "- Altura: $h$",
        "",
        "### 📐 **Volumen:**",
        "$$V = x^2 h$$",
        "",
        "### 📏 **Restricción (área total):**",
        "",
        "- Área base: $x^2$",
        "- Área 4 lados: $4xh$",
        "- Total: $x^2 + 4xh = 300$",
        "",
        "### 🔧 **Despejar $h$:**",
        "$$4xh = 300 - x^2$$",
        "$$h = \\frac{300 - x^2}{4x}$$",
        "",
        "### 📊 **Sustituir en $V$:**",
        "$$V(x) = x^2 \\cdot \\frac{300 - x^2}{4x}$$",
        "$$V(x) = \\frac{x(300 - x^2)}{4}$$",
        "$$V(x) = \\frac{300x - x^3}{4}$$",
        "",
        "### 🧮 **Derivar:**",
        "$$V'(x) = \\frac{300 - 3x^2}{4}$$",
        "",
        "**Punto crítico:**",
        "$$V'(x) = 0 \\Rightarrow 300 - 3x^2 = 0$$",
        "$$x^2 = 100$$",
        "$$x = 10$$ (positivo)",
        "",
        "### 🔬 **Segunda derivada:**",
        "$$V''(x) = \\frac{-6x}{4} = -\\frac{3x}{2}$$",
        "$$V''(10) = -\\frac{3(10)}{2} = -15 < 0$$",
        "",
        "### ✅ **Conclusión:**",
        "$$V''(10) < 0 \\Rightarrow \\text{Máximo}$$",
        "$$x = 10 \\text{ cm}$$"
      ],
      "explanation": "V'(x) = 0 → x = 10, V''(10) < 0 → máximo → x = 10 cm"
    },
    {
      "id": "csd-010",
      "topic": "aplicaciones-optimizacion",
      "question": "Para minimizar el costo $C(x) = 2x^2 - 12x + 25$ de producción, ¿cuántas unidades ($x$) se deben producir?",
      "type": "numeric",
      "correct": 3,
      "tolerance": 0.1,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "$C'(x) = 4x - 12$",
        "Punto crítico: $4x - 12 = 0$",
        "$C''(x) = 4 > 0$ → mínimo"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 💰 **Minimización de costos**",
        "",
        "$$C(x) = 2x^2 - 12x + 25$$",
        "",
        "### 🧮 **Derivada:**",
        "$$C'(x) = 4x - 12$$",
        "",
        "### 📍 **Punto crítico:**",
        "$$C'(x) = 0$$",
        "$$4x - 12 = 0$$",
        "$$x = 3$$",
        "",
        "### 🔬 **Segunda derivada:**",
        "$$C''(x) = 4$$",
        "$$C''(3) = 4 > 0$$",
        "",
        "### ✅ **Conclusión:**",
        "$$C''(3) = 4 > 0 \\Rightarrow \\text{Mínimo}$$",
        "",
        "Se deben producir **3 unidades** para minimizar el costo."
      ],
      "explanation": "C'(3) = 0, C''(3) = 4 > 0 → mínimo → x = 3 unidades"
    },
    {
      "id": "csd-011",
      "topic": "funciones-trigonometricas",
      "question": "Para $f(x) = \\sin(x) + \\cos(x)$ en $[0, 2\\pi]$, ¿dónde está el **máximo**?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$x = \\frac{\\pi}{4}$",
        "$x = 0$",
        "$x = \\frac{\\pi}{2}$",
        "$x = \\pi$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "$f'(x) = \\cos(x) - \\sin(x) = 0$",
        "$\\cos(x) = \\sin(x)$ → $x = \\frac{\\pi}{4}, \\frac{5\\pi}{4}$",
        "$f''(x) = -\\sin(x) - \\cos(x)$, evalúa"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🌊 **Función trigonométrica**",
        "",
        "$$f(x) = \\sin(x) + \\cos(x)$$",
        "",
        "### 🧮 **Primera derivada:**",
        "$$f'(x) = \\cos(x) - \\sin(x)$$",
        "",
        "### 📍 **Puntos críticos:**",
        "$$\\cos(x) - \\sin(x) = 0$$",
        "$$\\cos(x) = \\sin(x)$$",
        "$$\\tan(x) = 1$$",
        "$$x = \\frac{\\pi}{4}, \\frac{5\\pi}{4}$$",
        "",
        "### 🔬 **Segunda derivada:**",
        "$$f''(x) = -\\sin(x) - \\cos(x)$$",
        "",
        "**En $x = \\frac{\\pi}{4}$:**",
        "$$f''\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) = -\\sin\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) - \\cos\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)$$",
        "$$= -\\frac{\\sqrt{2}}{2} - \\frac{\\sqrt{2}}{2} = -\\sqrt{2} < 0$$",
        "→ **Máximo** 🔴",
        "",
        "**En $x = \\frac{5\\pi}{4}$:**",
        "$$f''\\left(\\frac{5\\pi}{4}\\right) = -\\sin\\left(\\frac{5\\pi}{4}\\right) - \\cos\\left(\\frac{5\\pi}{4}\\right)$$",
        "$$= -\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) - \\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = \\sqrt{2} > 0$$",
        "→ **Mínimo** 🔵",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "Máximo en $x = \\frac{\\pi}{4}$"
      ],
      "explanation": "f'(π/4) = 0, f''(π/4) = -√2 < 0 → máximo en x = π/4"
    },
    {
      "id": "csd-012",
      "topic": "funciones-exponenciales",
      "question": "Para $g(x) = xe^{-x}$, ¿dónde tiene su **máximo**?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$x = 1$",
        "$x = 0$",
        "$x = e$",
        "$x = -1$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "Usa regla del producto: $g'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x})$",
        "Simplifica: $g'(x) = e^{-x}(1 - x) = 0$",
        "$1 - x = 0$ → $x = 1$"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 📈 **Función exponencial**",
        "",
        "$$g(x) = xe^{-x}$$",
        "",
        "### 🧮 **Derivada (producto):**",
        "$$g'(x) = (x)' \\cdot e^{-x} + x \\cdot (e^{-x})'$$",
        "$$g'(x) = 1 \\cdot e^{-x} + x \\cdot (-e^{-x})$$",
        "$$g'(x) = e^{-x} - xe^{-x}$$",
        "$$g'(x) = e^{-x}(1 - x)$$",
        "",
        "### 📍 **Punto crítico:**",
        "$$g'(x) = 0$$",
        "$$e^{-x}(1 - x) = 0$$",
        "",
        "Como $e^{-x} \\neq 0$ para todo $x$:",
        "$$1 - x = 0$$",
        "$$x = 1$$",
        "",
        "### 🔬 **Segunda derivada (producto):**",
        "$$g''(x) = (e^{-x})' (1 - x) + e^{-x}(1 - x)'$$",
        "$$g''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1)$$",
        "$$g''(x) = -e^{-x}(1 - x) - e^{-x}$$",
        "$$g''(x) = -e^{-x}[(1 - x) + 1]$$",
        "$$g''(x) = -e^{-x}(2 - x)$$",
        "",
        "**En $x = 1$:**",
        "$$g''(1) = -e^{-1}(2 - 1) = -e^{-1} < 0$$",
        "",
        "### ✅ **Conclusión:**",
        "$$g''(1) < 0 \\Rightarrow \\text{Máximo en } x = 1$$"
      ],
      "explanation": "g'(1) = 0, g''(1) = -e⁻¹ < 0 → máximo en x = 1"
    },
    {
      "id": "csd-013",
      "topic": "interpretacion-geometrica",
      "question": "¿Qué representa geométricamente que $f''(c) > 0$ en un punto crítico?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "La gráfica es **cóncava hacia arriba** (como una U)",
        "La gráfica es **cóncava hacia abajo** (como una ∩)",
        "La gráfica tiene pendiente positiva",
        "La gráfica es una recta"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "$f''(x) > 0$ significa concavidad hacia arriba",
        "La gráfica parece una parábola que abre hacia arriba",
        "Como una taza: ∪"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🎨 **Interpretación geométrica**",
        "",
        "### 📊 **Segunda derivada y concavidad:**",
        "",
        "**$f''(x) > 0$ (positiva):**",
        "- La función es **cóncava hacia arriba** ∪",
        "- La pendiente $f'(x)$ está **aumentando**",
        "- Visualmente: forma de \"U\" o taza",
        "- Ejemplo: parábola $y = x^2$",
        "",
        "**$f''(x) < 0$ (negativa):**",
        "- La función es **cóncava hacia abajo** ∩",
        "- La pendiente $f'(x)$ está **disminuyendo**",
        "- Visualmente: forma de colina o arco",
        "- Ejemplo: parábola $y = -x^2$",
        "",
        "### 🔍 **En un punto crítico $c$:**",
        "",
        "**Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) > 0$:**",
        "- La gráfica es cóncava hacia arriba en $c$",
        "- Por lo tanto, $c$ es un **mínimo** (fondo de la U)",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$f''(c) > 0$ → **Cóncava hacia arriba** (forma de U)"
      ],
      "explanation": "f''(c) > 0 → concavidad hacia arriba → forma de U → mínimo"
    },
    {
      "id": "csd-014",
      "topic": "interpretacion-geometrica",
      "question": "Si la **recta tangente** a $f$ en un punto crítico $c$ está **por debajo** de la curva cerca de $c$, ¿qué tipo de extremo es?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Mínimo relativo",
        "Máximo relativo",
        "Punto de inflexión",
        "No es extremo"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Si la tangente está debajo, la curva está arriba",
        "Curva arriba de la tangente → cóncava hacia arriba",
        "Cóncava hacia arriba → mínimo"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🎨 **Interpretación visual**",
        "",
        "### 📐 **Recta tangente en punto crítico:**",
        "",
        "En $x = c$, si $f'(c) = 0$:",
        "- La recta tangente es **horizontal**: $y = f(c)$",
        "",
        "### 🔍 **Posición relativa:**",
        "",
        "**Caso 1: Tangente DEBAJO de la curva** 📉",
        "```",
        "      Curva",
        "    ∪",
        "   /   \\",
        "  /     \\",
        " ────────  ← Tangente",
        "```",
        "- La curva está **arriba** de la tangente",
        "- Curva es **cóncava hacia arriba** ($f''(c) > 0$)",
        "- Por lo tanto: **Mínimo relativo** ✅",
        "",
        "**Caso 2: Tangente ARRIBA de la curva** 📈",
        "```",
        " ────────  ← Tangente",
        "  \\     /",
        "   \\   /",
        "    ∩",
        "      Curva",
        "```",
        "- La curva está **debajo** de la tangente",
        "- Curva es **cóncava hacia abajo** ($f''(c) < 0$)",
        "- Por lo tanto: **Máximo relativo**",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "Tangente debajo → curva arriba → cóncava ∪ → **Mínimo**"
      ],
      "explanation": "Tangente debajo → curva cóncava hacia arriba → mínimo relativo"
    },
    {
      "id": "csd-015",
      "topic": "ejercicios-mixtos",
      "question": "Clasifica los puntos críticos de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ usando el criterio de la segunda derivada.",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$x = 1$ máximo, $x = 3$ mínimo",
        "$x = 1$ mínimo, $x = 3$ máximo",
        "Ambos máximos",
        "Ambos mínimos"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3)$",
        "$f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0$ → $x = 1, 3$",
        "$f''(x) = 6x - 12$, evalúa en cada punto"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🧮 **Paso 1: Primera derivada**",
        "",
        "$$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$$",
        "$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$",
        "$$f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3)$$",
        "$$f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$$",
        "",
        "### 📍 **Paso 2: Puntos críticos**",
        "",
        "$$f'(x) = 0 \\Rightarrow x = 1 \\text{ o } x = 3$$",
        "",
        "### 🔬 **Paso 3: Segunda derivada**",
        "",
        "$$f''(x) = 6x - 12$$",
        "",
        "**En $x = 1$:**",
        "$$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$$",
        "→ **Máximo relativo** 🔴",
        "",
        "**En $x = 3$:**",
        "$$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$$",
        "→ **Mínimo relativo** 🔵",
        "",
        "### 📊 **Visualización:**",
        "```",
        "      f(x)",
        "       ∧ máx (x=1)",
        "      / \\",
        "     /   \\",
        "    /     \\",
        "   /       ∨ mín (x=3)",
        "```",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "- $x = 1$: máximo relativo ($f''(1) < 0$)",
        "- $x = 3$: mínimo relativo ($f''(3) > 0$)"
      ],
      "explanation": "f''(1) = -6 < 0 → máximo, f''(3) = 6 > 0 → mínimo"
    }
  ]
}