{
  "derivacion-logaritmica-avanzada": [
    {
      "id": "dla-001",
      "topic": "tecnica-logaritmica",
      "question": "¿Cuándo es útil usar derivación logarítmica?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Cuando hay productos, cocientes o exponentes variables complejos",
        "Solo para funciones polinomiales",
        "Solo cuando aparece ln(x)",
        "Nunca es necesaria, siempre se puede usar reglas directas"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Es especialmente útil para simplificar",
        "Productos largos → suma de logaritmos",
        "Exponentes variables: x^x, x^(sin(x))"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **¿Cuándo usar derivación logarítmica?**",
        "",
        "🎯 **Casos ideales:**",
        "",
        "**1. Productos complejos:**",
        "$$y = x^2(x+1)^3(x-2)^5$$",
        "* Regla del producto: muy complicada",
        "* Logaritmo: $\\ln(y) = 2\\ln(x) + 3\\ln(x+1) + 5\\ln(x-2)$",
        "",
        "**2. Cocientes complejos:**",
        "$$y = \\frac{x^3\\sqrt{x+1}}{(x-1)^2}$$",
        "* Regla del cociente: complicada",
        "* Logaritmo: suma y resta de términos simples",
        "",
        "**3. Exponentes variables:**",
        "$$y = x^x, \\quad y = x^{\\sin(x)}, \\quad y = (\\sin(x))^x$$",
        "* NO se puede usar regla de potencia directamente",
        "* Derivación logarítmica: única técnica efectiva",
        "",
        "📐 **Procedimiento general**",
        "",
        "**Paso 1:** Aplicar ln a ambos lados",
        "$$\\ln(y) = \\ln(f(x))$$",
        "",
        "**Paso 2:** Simplificar con propiedades",
        "$$\\ln(y) = \\text{expresión simplificada}$$",
        "",
        "**Paso 3:** Derivar implícitamente",
        "$$\\frac{1}{y} \\cdot \\frac{dy}{dx} = \\text{derivada del lado derecho}$$",
        "",
        "**Paso 4:** Despejar dy/dx",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y \\cdot \\text{(derivada del lado derecho)}$$",
        "",
        "💡 **Ventaja principal**",
        "",
        "Convierte productos/cocientes complejos en sumas/restas simples.",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "Útil para productos, cocientes y exponentes variables complejos"
      ],
      "explanation": "Derivación logarítmica simplifica productos, cocientes y exponentes variables"
    },
    {
      "id": "dla-002",
      "topic": "tecnica-logaritmica",
      "question": "Ordena los pasos de la derivación logarítmica",
      "type": "ordering",
      "items": [
        "Aplicar ln a ambos lados: $\\ln(y) = \\ln(f(x))$",
        "Simplificar usando propiedades de logaritmos",
        "Derivar implícitamente ambos lados respecto a x",
        "Despejar $\\frac{dy}{dx}$ multiplicando por y"
      ],
      "correctOrder": [0, 1, 2, 3],
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Primero: tomar logaritmo",
        "Segundo: simplificar",
        "Tercero: derivar",
        "Cuarto: despejar"
      ],
      "stepByStep": [
        "🔗 **Procedimiento: Derivación Logarítmica**",
        "",
        "**Paso 1: Aplicar logaritmo natural**",
        "$$y = f(x)$$",
        "$$\\ln(y) = \\ln(f(x))$$",
        "",
        "**Paso 2: Simplificar con propiedades**",
        "- $\\ln(ab) = \\ln(a) + \\ln(b)$",
        "- $\\ln(a/b) = \\ln(a) - \\ln(b)$",
        "- $\\ln(a^n) = n\\ln(a)$",
        "",
        "**Paso 3: Derivar implícitamente**",
        "",
        "Lado izquierdo:",
        "$$\\frac{d}{dx}[\\ln(y)] = \\frac{1}{y} \\cdot \\frac{dy}{dx}$$",
        "",
        "Lado derecho:",
        "$$\\frac{d}{dx}[\\text{expresión simplificada}]$$",
        "",
        "**Paso 4: Despejar dy/dx**",
        "$$\\frac{1}{y} \\cdot \\frac{dy}{dx} = \\text{resultado}$$",
        "",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y \\cdot \\text{resultado}$$",
        "",
        "💡 **Nota importante**",
        "",
        "Al final, sustituir $y = f(x)$ para expresar la derivada en términos de x.",
        "",
        "✅ **Orden correcto**",
        "ln → simplificar → derivar → despejar"
      ],
      "explanation": "ln → simplificar → derivar implícitamente → despejar dy/dx"
    },
    {
      "id": "dla-003",
      "topic": "exponentes-variables",
      "question": "Para derivar $y = x^x$, ¿cuál es el primer paso?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Aplicar ln: $\\ln(y) = \\ln(x^x) = x\\ln(x)$",
        "Usar regla de la potencia: $y' = x \\cdot x^{x-1}$",
        "Usar regla de la cadena directamente",
        "No se puede derivar"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "x^x tiene exponente variable",
        "No se puede usar regla de potencia",
        "Aplicar ln primero"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar: $y = x^x$**",
        "",
        "❌ **¿Por qué NO regla de potencia?**",
        "",
        "$$\\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$$ solo funciona cuando **n es constante**.",
        "",
        "En $x^x$, el exponente **también es x** (variable).",
        "",
        "✅ **Técnica correcta: Derivación logarítmica**",
        "",
        "**Paso 1: Aplicar ln**",
        "$$y = x^x$$",
        "$$\\ln(y) = \\ln(x^x)$$",
        "",
        "**Paso 2: Simplificar**",
        "$$\\ln(y) = x \\ln(x)$$",
        "",
        "**Paso 3: Derivar implícitamente**",
        "$$\\frac{1}{y} \\cdot \\frac{dy}{dx} = \\frac{d}{dx}[x\\ln(x)]$$",
        "",
        "Producto:",
        "$$= (1)(\\ln(x)) + (x)\\left(\\frac{1}{x}\\right)$$",
        "$$= \\ln(x) + 1$$",
        "",
        "**Paso 4: Despejar**",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y(\\ln(x) + 1)$$",
        "",
        "$$= x^x(\\ln(x) + 1)$$",
        "",
        "$$= x^x(1 + \\ln(x))$$",
        "",
        "💡 **Resultado final**",
        "$$\\frac{d}{dx}[x^x] = x^x(1 + \\ln(x))$$",
        "",
        "✅ **Primer paso**",
        "Aplicar ln: $\\ln(y) = x\\ln(x)$"
      ],
      "explanation": "Primer paso: aplicar ln para convertir x^x en x·ln(x)"
    },
    {
      "id": "dla-004",
      "topic": "exponentes-variables",
      "question": "¿Cuál es $\\frac{d}{dx}[x^x]$?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$x^x(1 + \\ln(x))$",
        "$x \\cdot x^{x-1}$",
        "$x^x \\ln(x)$",
        "$x^{x-1}$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Derivación logarítmica",
        "ln(y) = x·ln(x)",
        "y' = y·(ln(x) + 1)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar: $y = x^x$**",
        "",
        "**Paso 1: Aplicar ln**",
        "$$\\ln(y) = \\ln(x^x) = x\\ln(x)$$",
        "",
        "**Paso 2: Derivar**",
        "$$\\frac{1}{y} \\frac{dy}{dx} = \\ln(x) + 1$$",
        "",
        "**Paso 3: Despejar**",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y(\\ln(x) + 1)$$",
        "",
        "$$= x^x(1 + \\ln(x))$$",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$x^x(1 + \\ln(x))$"
      ],
      "explanation": "d/dx[x^x] = x^x(1 + ln(x))"
    },
    {
      "id": "dla-005",
      "topic": "exponentes-variables",
      "question": "Calcula $\\frac{d}{dx}[x^{\\sin(x)}]$",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$x^{\\sin(x)}\\left(\\cos(x)\\ln(x) + \\frac{\\sin(x)}{x}\\right)$",
        "$\\sin(x) \\cdot x^{\\sin(x)-1}$",
        "$x^{\\sin(x)}\\cos(x)$",
        "$x^{\\sin(x)}\\ln(x)$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "ln(y) = sin(x)·ln(x)",
        "Derivar: producto de sin(x) y ln(x)",
        "y' = y·[cos(x)·ln(x) + sin(x)/x]"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar: $y = x^{\\sin(x)}$**",
        "",
        "**Paso 1: Aplicar ln**",
        "$$\\ln(y) = \\ln(x^{\\sin(x)})$$",
        "$$\\ln(y) = \\sin(x) \\cdot \\ln(x)$$",
        "",
        "**Paso 2: Derivar (producto)**",
        "$$\\frac{1}{y} \\frac{dy}{dx} = \\frac{d}{dx}[\\sin(x) \\cdot \\ln(x)]$$",
        "",
        "Regla del producto:",
        "$$= \\cos(x) \\cdot \\ln(x) + \\sin(x) \\cdot \\frac{1}{x}$$",
        "",
        "$$= \\cos(x)\\ln(x) + \\frac{\\sin(x)}{x}$$",
        "",
        "**Paso 3: Despejar**",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y\\left(\\cos(x)\\ln(x) + \\frac{\\sin(x)}{x}\\right)$$",
        "",
        "$$= x^{\\sin(x)}\\left(\\cos(x)\\ln(x) + \\frac{\\sin(x)}{x}\\right)$$",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$x^{\\sin(x)}\\left(\\cos(x)\\ln(x) + \\frac{\\sin(x)}{x}\\right)$"
      ],
      "explanation": "Derivación logarítmica: ln(y) = sin(x)·ln(x)"
    },
    {
      "id": "dla-006",
      "topic": "exponentes-variables",
      "question": "¿Cuál es $\\frac{d}{dx}[(\\sin(x))^x]$?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$(\\sin(x))^x[\\ln(\\sin(x)) + x\\cot(x)]$",
        "$x(\\sin(x))^{x-1}\\cos(x)$",
        "$(\\sin(x))^x \\cos(x)$",
        "$(\\sin(x))^x \\ln(\\sin(x))$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "ln(y) = x·ln(sin(x))",
        "Derivar: x'·ln(sin(x)) + x·[ln(sin(x))]'",
        "= ln(sin(x)) + x·cot(x)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar: $y = (\\sin(x))^x$**",
        "",
        "**Paso 1: Aplicar ln**",
        "$$\\ln(y) = \\ln((\\sin(x))^x)$$",
        "$$\\ln(y) = x \\cdot \\ln(\\sin(x))$$",
        "",
        "**Paso 2: Derivar (producto)**",
        "$$\\frac{1}{y} \\frac{dy}{dx} = \\frac{d}{dx}[x \\cdot \\ln(\\sin(x))]$$",
        "",
        "$$= (1) \\cdot \\ln(\\sin(x)) + (x) \\cdot \\frac{d}{dx}[\\ln(\\sin(x))]$$",
        "",
        "Para $\\frac{d}{dx}[\\ln(\\sin(x))]$:",
        "$$= \\frac{1}{\\sin(x)} \\cdot \\cos(x) = \\cot(x)$$",
        "",
        "Entonces:",
        "$$\\frac{1}{y} \\frac{dy}{dx} = \\ln(\\sin(x)) + x\\cot(x)$$",
        "",
        "**Paso 3: Despejar**",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y[\\ln(\\sin(x)) + x\\cot(x)]$$",
        "",
        "$$= (\\sin(x))^x[\\ln(\\sin(x)) + x\\cot(x)]$$",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$(\\sin(x))^x[\\ln(\\sin(x)) + x\\cot(x)]$"
      ],
      "explanation": "ln(y) = x·ln(sin(x)), derivar con producto"
    },
    {
      "id": "dla-007",
      "topic": "productos-complejos",
      "question": "Usa derivación logarítmica para derivar $y = x^2(x+1)^3(x-2)^4$",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$y\\left(\\frac{2}{x} + \\frac{3}{x+1} + \\frac{4}{x-2}\\right)$",
        "$2x(x+1)^3(x-2)^4 + 3x^2(x+1)^2(x-2)^4 + 4x^2(x+1)^3(x-2)^3$",
        "$y\\left(\\frac{2}{x} \\cdot \\frac{3}{x+1} \\cdot \\frac{4}{x-2}\\right)$",
        "$24x^2(x+1)^3(x-2)^4$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "ln(y) = 2ln(x) + 3ln(x+1) + 4ln(x-2)",
        "Derivar: 2/x + 3/(x+1) + 4/(x-2)",
        "y' = y·(suma de fracciones)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar: $y = x^2(x+1)^3(x-2)^4$**",
        "",
        "❌ **Regla del producto directa:**",
        "$$y' = 2x(x+1)^3(x-2)^4 + x^2 \\cdot 3(x+1)^2(x-2)^4 + x^2(x+1)^3 \\cdot 4(x-2)^3$$",
        "",
        "¡Muy complicado!",
        "",
        "✅ **Derivación logarítmica:**",
        "",
        "**Paso 1: Aplicar ln**",
        "$$\\ln(y) = \\ln[x^2(x+1)^3(x-2)^4]$$",
        "",
        "**Paso 2: Simplificar**",
        "$$\\ln(y) = \\ln(x^2) + \\ln((x+1)^3) + \\ln((x-2)^4)$$",
        "",
        "$$= 2\\ln(x) + 3\\ln(x+1) + 4\\ln(x-2)$$",
        "",
        "**Paso 3: Derivar**",
        "$$\\frac{1}{y} \\frac{dy}{dx} = \\frac{2}{x} + \\frac{3}{x+1} + \\frac{4}{x-2}$$",
        "",
        "**Paso 4: Despejar**",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y\\left(\\frac{2}{x} + \\frac{3}{x+1} + \\frac{4}{x-2}\\right)$$",
        "",
        "$$= x^2(x+1)^3(x-2)^4\\left(\\frac{2}{x} + \\frac{3}{x+1} + \\frac{4}{x-2}\\right)$$",
        "",
        "💡 **¡Mucho más simple!**",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$y\\left(\\frac{2}{x} + \\frac{3}{x+1} + \\frac{4}{x-2}\\right)$"
      ],
      "explanation": "Logaritmo convierte producto en suma: ln(y) = 2ln(x) + 3ln(x+1) + 4ln(x-2)"
    },
    {
      "id": "dla-008",
      "topic": "productos-complejos",
      "question": "Deriva $y = \\frac{x^3\\sqrt{x+1}}{(x-1)^2}$ usando logaritmos",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$y\\left(\\frac{3}{x} + \\frac{1}{2(x+1)} - \\frac{2}{x-1}\\right)$",
        "$\\frac{3x^2\\sqrt{x+1} - x^3(x-1)^2}{(x-1)^4}$",
        "$y\\left(\\frac{3}{x} \\cdot \\frac{1}{x+1} \\cdot \\frac{1}{x-1}\\right)$",
        "$3x^2(x-1)^{-2}$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "√(x+1) = (x+1)^(1/2)",
        "ln(y) = 3ln(x) + (1/2)ln(x+1) - 2ln(x-1)",
        "Derivar cada término"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar: $y = \\frac{x^3\\sqrt{x+1}}{(x-1)^2}$**",
        "",
        "**Paso 1: Aplicar ln**",
        "$$\\ln(y) = \\ln\\left(\\frac{x^3\\sqrt{x+1}}{(x-1)^2}\\right)$$",
        "",
        "**Paso 2: Simplificar**",
        "",
        "Producto en numerador:",
        "$$= \\ln(x^3) + \\ln(\\sqrt{x+1}) - \\ln((x-1)^2)$$",
        "",
        "$$= \\ln(x^3) + \\ln((x+1)^{1/2}) - \\ln((x-1)^2)$$",
        "",
        "$$= 3\\ln(x) + \\frac{1}{2}\\ln(x+1) - 2\\ln(x-1)$$",
        "",
        "**Paso 3: Derivar**",
        "$$\\frac{1}{y} \\frac{dy}{dx} = \\frac{3}{x} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{x+1} - \\frac{2}{x-1}$$",
        "",
        "$$= \\frac{3}{x} + \\frac{1}{2(x+1)} - \\frac{2}{x-1}$$",
        "",
        "**Paso 4: Despejar**",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y\\left(\\frac{3}{x} + \\frac{1}{2(x+1)} - \\frac{2}{x-1}\\right)$$",
        "",
        "💡 **Ventaja**",
        "Evita regla del cociente complicada.",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$y\\left(\\frac{3}{x} + \\frac{1}{2(x+1)} - \\frac{2}{x-1}\\right)$"
      ],
      "explanation": "Logaritmo convierte cociente complejo en suma/resta simple"
    },
    {
      "id": "dla-009",
      "topic": "productos-complejos",
      "question": "Completa: En derivación logarítmica de productos, $\\ln(abc) = $ _____",
      "type": "fill-blank",
      "blanks": ["ln(a) + ln(b) + ln(c)"],
      "distractors": ["ln(a)·ln(b)·ln(c)", "ln(a+b+c)", "ln(abc)", "3ln(abc)"],
      "template": "En derivación logarítmica de productos, $\\ln(abc) = $ _____",
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Propiedad del producto",
        "ln(ab) = ln(a) + ln(b)",
        "Extender a tres factores"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Propiedad del producto**",
        "",
        "**Dos factores:**",
        "$$\\ln(ab) = \\ln(a) + \\ln(b)$$",
        "",
        "**Tres factores:**",
        "$$\\ln(abc) = \\ln(a) + \\ln(b) + \\ln(c)$$",
        "",
        "**n factores:**",
        "$$\\ln(a_1 a_2 \\cdots a_n) = \\ln(a_1) + \\ln(a_2) + \\cdots + \\ln(a_n)$$",
        "",
        "💡 **Por qué es útil**",
        "",
        "Producto → Suma",
        "",
        "Derivar suma es más fácil que derivar producto.",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$\\ln(a) + \\ln(b) + \\ln(c)$"
      ],
      "explanation": "ln(abc) = ln(a) + ln(b) + ln(c)"
    },
    {
      "id": "dla-010",
      "topic": "casos-especiales",
      "question": "Calcula $\\frac{d}{dx}\\left[x^{1/x}\\right]$",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$x^{1/x}\\left(\\frac{1 - \\ln(x)}{x^2}\\right)$",
        "$\\frac{1}{x} \\cdot x^{1/x - 1}$",
        "$x^{1/x} \\cdot \\frac{1}{x}$",
        "$x^{1/x}\\ln(x)$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "ln(y) = (1/x)·ln(x) = ln(x)/x",
        "Derivar cociente: [1/x·x - ln(x)·1]/x²",
        "= (1 - ln(x))/x²"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar: $y = x^{1/x}$**",
        "",
        "**Paso 1: Aplicar ln**",
        "$$\\ln(y) = \\ln(x^{1/x})$$",
        "$$\\ln(y) = \\frac{1}{x} \\ln(x)$$",
        "",
        "O escribir como:",
        "$$\\ln(y) = \\frac{\\ln(x)}{x}$$",
        "",
        "**Paso 2: Derivar (cociente)**",
        "$$\\frac{1}{y} \\frac{dy}{dx} = \\frac{d}{dx}\\left[\\frac{\\ln(x)}{x}\\right]$$",
        "",
        "Regla del cociente:",
        "$$= \\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x - \\ln(x) \\cdot 1}{x^2}$$",
        "",
        "$$= \\frac{1 - \\ln(x)}{x^2}$$",
        "",
        "**Paso 3: Despejar**",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y \\cdot \\frac{1 - \\ln(x)}{x^2}$$",
        "",
        "$$= x^{1/x} \\cdot \\frac{1 - \\ln(x)}{x^2}$$",
        "",
        "📊 **Punto crítico**",
        "$$1 - \\ln(x) = 0 \\implies x = e$$",
        "",
        "Máximo en $x = e$: $e^{1/e} \\approx 1.445$",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$x^{1/x}\\left(\\frac{1 - \\ln(x)}{x^2}\\right)$"
      ],
      "explanation": "ln(y) = ln(x)/x, derivar cociente"
    },
    {
      "id": "dla-011",
      "topic": "casos-especiales",
      "question": "¿Cuál función tiene el mayor valor máximo: $x^{1/x}$ o $x^x$?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$x^{1/x}$ alcanza máximo en $x = e$",
        "$x^x$ alcanza máximo en $x = e$",
        "Ambas tienen el mismo máximo",
        "Ninguna tiene máximo"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "x^(1/x) tiene máximo en x = e",
        "x^x no tiene máximo (crece infinitamente)",
        "x^(1/x) → 1 cuando x → ∞"
      ],
      "stepByStep": [
        "📊 **Análisis de $x^{1/x}$ y $x^x$**",
        "",
        "🔍 **Función $y = x^{1/x}$**",
        "",
        "**Derivada:**",
        "$$y' = x^{1/x} \\cdot \\frac{1 - \\ln(x)}{x^2}$$",
        "",
        "**Punto crítico:**",
        "$$1 - \\ln(x) = 0 \\implies x = e$$",
        "",
        "**Evaluación:**",
        "$$e^{1/e} \\approx 1.445$$ (máximo)",
        "",
        "**Comportamiento:**",
        "* $1 \\to 0^+$: $x^{1/x} \\to 0$",
        "* $1 = 1$: $1^1 = 1$",
        "* $1 = e$: máximo ≈ 1.445",
        "* $1 \\to \\infty$: $x^{1/x} \\to 1$",
        "",
        "🔍 **Función $y = x^x$**",
        "",
        "**Derivada:**",
        "$$y' = x^x(1 + \\ln(x))$$",
        "",
        "**Punto crítico:**",
        "$$1 + \\ln(x) = 0 \\implies x = e^{-1} = 1/e \\approx 0.368$$",
        "",
        "Es un **mínimo**, no máximo.",
        "",
        "**Comportamiento:**",
        "* $1 = 1/e$: mínimo ≈ 0.692",
        "* $1 \\to \\infty$: $x^x \\to \\infty$ (sin máximo)",
        "",
        "💡 **Conclusión**",
        "",
        "* $1^{1/x}$: **tiene máximo** en $x = e$",
        "* $1^x$: **no tiene máximo** (crece sin límite)",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$x^{1/x}$ alcanza máximo en $x = e$"
      ],
      "explanation": "x^(1/x) tiene máximo en x = e; x^x crece infinitamente"
    },
    {
      "id": "dla-012",
      "topic": "casos-especiales",
      "question": "Si $y = (x^2 + 1)^x$, ¿cuál es $\\frac{dy}{dx}$?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$(x^2 + 1)^x\\left[\\ln(x^2 + 1) + \\frac{2x^2}{x^2 + 1}\\right]$",
        "$x(x^2 + 1)^{x-1} \\cdot 2x$",
        "$(x^2 + 1)^x \\ln(x^2 + 1)$",
        "$(x^2 + 1)^x \\cdot 2x$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "ln(y) = x·ln(x² + 1)",
        "Derivar producto",
        "= ln(x² + 1) + x·2x/(x² + 1)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar: $y = (x^2 + 1)^x$**",
        "",
        "**Paso 1: Aplicar ln**",
        "$$\\ln(y) = \\ln((x^2 + 1)^x)$$",
        "$$\\ln(y) = x \\ln(x^2 + 1)$$",
        "",
        "**Paso 2: Derivar (producto)**",
        "$$\\frac{1}{y} \\frac{dy}{dx} = \\frac{d}{dx}[x \\ln(x^2 + 1)]$$",
        "",
        "$$= (1) \\cdot \\ln(x^2 + 1) + (x) \\cdot \\frac{d}{dx}[\\ln(x^2 + 1)]$$",
        "",
        "Para $\\frac{d}{dx}[\\ln(x^2 + 1)]$:",
        "$$= \\frac{1}{x^2 + 1} \\cdot 2x = \\frac{2x}{x^2 + 1}$$",
        "",
        "Entonces:",
        "$$\\frac{1}{y} \\frac{dy}{dx} = \\ln(x^2 + 1) + x \\cdot \\frac{2x}{x^2 + 1}$$",
        "",
        "$$= \\ln(x^2 + 1) + \\frac{2x^2}{x^2 + 1}$$",
        "",
        "**Paso 3: Despejar**",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y\\left[\\ln(x^2 + 1) + \\frac{2x^2}{x^2 + 1}\\right]$$",
        "",
        "$$= (x^2 + 1)^x\\left[\\ln(x^2 + 1) + \\frac{2x^2}{x^2 + 1}\\right]$$",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$(x^2 + 1)^x\\left[\\ln(x^2 + 1) + \\frac{2x^2}{x^2 + 1}\\right]$"
      ],
      "explanation": "Derivación logarítmica: ln(y) = x·ln(x² + 1)"
    },
    {
      "id": "dla-013",
      "topic": "aplicaciones-avanzadas",
      "question": "La función $f(x) = x^{1/x}$ alcanza su máximo en $x = e$. ¿Cuál es el valor máximo?",
      "type": "numeric",
      "correct": 1.445,
      "tolerance": 0.01,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Evaluar en x = e",
        "e^(1/e)",
        "≈ 1.445"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Valor máximo de $x^{1/x}$**",
        "",
        "**Ya derivamos:**",
        "$$f'(x) = x^{1/x} \\cdot \\frac{1 - \\ln(x)}{x^2}$$",
        "",
        "**Punto crítico:**",
        "$$f'(x) = 0 \\implies 1 - \\ln(x) = 0$$",
        "$$\\ln(x) = 1$$",
        "$$x = e$$",
        "",
        "🧮 **Evaluar en x = e**",
        "$$f(e) = e^{1/e}$$",
        "",
        "📊 **Calcular numéricamente**",
        "$$e \\approx 2.71828$$",
        "$$\\frac{1}{e} \\approx 0.36788$$",
        "$$e^{1/e} \\approx 2.71828^{0.36788}$$",
        "$$\\approx 1.4447$$",
        "",
        "💡 **Verificar que es máximo**",
        "",
        "**Segunda derivada** (signo en x = e < 0) confirma máximo.",
        "",
        "O verificar valores:",
        "* $1(1) = 1^1 = 1$",
        "* $1(e) \\approx 1.445$ ✓ (mayor)",
        "* $1(10) \\approx 1.258$ (menor)",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "Valor máximo ≈ **1.445**"
      ],
      "explanation": "e^(1/e) ≈ 1.445"
    },
    {
      "id": "dla-014",
      "topic": "aplicaciones-avanzadas",
      "question": "Categoriza las funciones según requieren o no derivación logarítmica",
      "description": "Clasifica cada función por método de derivación más eficiente.",
      "type": "categorize",
      "items": [
        "$x^5$",
        "$x^x$",
        "$x^2(x+1)^3(x-2)^4$",
        "$e^x$",
        "$(\\sin(x))^x$"
      ],
      "categories": {
        "logaritmica": "Requiere derivación logarítmica",
        "directa": "Regla directa (potencia, exponencial)",
        "ambas": "Ambas funcionan (logarítmica más simple)"
      },
      "correctCategories": {
        "$x^5$": "directa",
        "$x^x$": "logaritmica",
        "$x^2(x+1)^3(x-2)^4$": "ambas",
        "$e^x$": "directa",
        "$(\\sin(x))^x$": "logaritmica"
      },
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Exponente constante: regla directa",
        "Exponente variable: logarítmica",
        "Productos largos: logarítmica más simple"
      ],
      "stepByStep": [
        "📊 **Clasificación por método de derivación**",
        "",
        "**REGLA DIRECTA:**",
        "",
        "1. **$x^5$**",
        "   - Exponente constante",
        "   - Regla de potencia: $5x^4$",
        "",
        "2. **$e^x$**",
        "   - Función exponencial estándar",
        "   - Derivada: $e^x$",
        "",
        "**DERIVACIÓN LOGARÍTMICA REQUERIDA:**",
        "",
        "3. **$x^x$**",
        "   - Exponente variable",
        "   - NO se puede usar regla de potencia",
        "   - Derivada: $x^x(1 + \\ln(x))$",
        "",
        "4. **$(\\sin(x))^x$**",
        "   - Base y exponente variables",
        "   - Derivación logarítmica esencial",
        "",
        "**AMBAS (logarítmica más simple):**",
        "",
        "5. **$x^2(x+1)^3(x-2)^4$**",
        "   - Producto largo",
        "   - Regla del producto: muy complicada",
        "   - Logarítmica: suma simple",
        "",
        "💡 **Criterio**",
        "",
        "* Exponente **constante** → regla directa",
        "* Exponente **variable** → logarítmica obligatoria",
        "* Productos/cocientes largos → logarítmica preferida",
        "",
        "✅ **Clasificación**",
        "* Directa: x^5, e^x",
        "* Logarítmica: x^x, (sin(x))^x",
        "* Ambas: x²(x+1)³(x-2)⁴"
      ],
      "explanation": "Exponente variable → logarítmica; constante → directa; productos → preferir logarítmica"
    },
    {
      "id": "dla-015",
      "topic": "aplicaciones-avanzadas",
      "question": "En física, la eficiencia termodinámica es $\\eta = 1 - \\left(\\frac{T_c}{T_h}\\right)$. Si ambas temperaturas cambian con el tiempo, ¿cómo encontrar $\\frac{d\\eta}{dt}$?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Derivación implícita considerando Tc y Th como funciones de t",
        "Solo derivar Tc",
        "Solo derivar Th",
        "No se puede derivar"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "Tc y Th son funciones de t",
        "Usar regla del cociente",
        "O derivación implícita"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar eficiencia termodinámica**",
        "",
        "**Fórmula:**",
        "$$\\eta = 1 - \\frac{T_c}{T_h}$$",
        "",
        "Donde:",
        "* $1_c$ = temperatura fría (función de t)",
        "* $1_h$ = temperatura caliente (función de t)",
        "",
        "🧮 **Derivar respecto a t**",
        "",
        "$$\\frac{d\\eta}{dt} = \\frac{d}{dt}\\left[1 - \\frac{T_c}{T_h}\\right]$$",
        "",
        "$$= 0 - \\frac{d}{dt}\\left[\\frac{T_c}{T_h}\\right]$$",
        "",
        "📐 **Regla del cociente**",
        "",
        "$$\\frac{d}{dt}\\left[\\frac{T_c}{T_h}\\right] = \\frac{\\frac{dT_c}{dt} \\cdot T_h - T_c \\cdot \\frac{dT_h}{dt}}{T_h^2}$$",
        "",
        "🎯 **Resultado**",
        "$$\\frac{d\\eta}{dt} = -\\frac{1}{T_h^2}\\left[T_h\\frac{dT_c}{dt} - T_c\\frac{dT_h}{dt}\\right]$$",
        "",
        "O simplificado:",
        "$$\\frac{d\\eta}{dt} = \\frac{T_c\\frac{dT_h}{dt} - T_h\\frac{dT_c}{dt}}{T_h^2}$$",
        "",
        "💡 **Interpretación**",
        "",
        "La tasa de cambio de eficiencia depende de cómo cambian ambas temperaturas.",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "Derivación implícita considerando Tc y Th como funciones de t"
      ],
      "explanation": "Ambas temperaturas son funciones de t, usar regla del cociente"
    },
    {
      "id": "dla-016",
      "topic": "aplicaciones-avanzadas",
      "question": "Deriva $y = \\sqrt{x}\\sqrt[3]{x+1}\\sqrt[4]{x-1}$ usando logaritmos",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$y\\left(\\frac{1}{2x} + \\frac{1}{3(x+1)} + \\frac{1}{4(x-1)}\\right)$",
        "$\\frac{1}{2\\sqrt{x}} + \\frac{1}{3\\sqrt[3]{x+1}} + \\frac{1}{4\\sqrt[4]{x-1}}$",
        "$y\\left(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4}\\right)$",
        "$\\frac{13}{12}y$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "Raíces: x^(1/2), (x+1)^(1/3), (x-1)^(1/4)",
        "ln(y) = (1/2)ln(x) + (1/3)ln(x+1) + (1/4)ln(x-1)",
        "Derivar cada término"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar: $y = \\sqrt{x}\\sqrt[3]{x+1}\\sqrt[4]{x-1}$**",
        "",
        "**Paso 1: Reescribir con exponentes**",
        "$$y = x^{1/2}(x+1)^{1/3}(x-1)^{1/4}$$",
        "",
        "**Paso 2: Aplicar ln**",
        "$$\\ln(y) = \\ln[x^{1/2}(x+1)^{1/3}(x-1)^{1/4}]$$",
        "",
        "**Paso 3: Simplificar**",
        "$$\\ln(y) = \\frac{1}{2}\\ln(x) + \\frac{1}{3}\\ln(x+1) + \\frac{1}{4}\\ln(x-1)$$",
        "",
        "**Paso 4: Derivar**",
        "$$\\frac{1}{y}\\frac{dy}{dx} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{x} + \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{x+1} + \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{x-1}$$",
        "",
        "$$= \\frac{1}{2x} + \\frac{1}{3(x+1)} + \\frac{1}{4(x-1)}$$",
        "",
        "**Paso 5: Despejar**",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y\\left(\\frac{1}{2x} + \\frac{1}{3(x+1)} + \\frac{1}{4(x-1)}\\right)$$",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$y\\left(\\frac{1}{2x} + \\frac{1}{3(x+1)} + \\frac{1}{4(x-1)}\\right)$"
      ],
      "explanation": "Producto de raíces → suma de logaritmos con fracciones"
    },
    {
      "id": "dla-017",
      "topic": "aplicaciones-avanzadas",
      "question": "¿Por qué $\\frac{d}{dx}[x^{\\pi}] \\neq \\pi x^{\\pi - 1}$ requiere verificación?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Sí es igual, π es constante. La regla de potencia aplica correctamente",
        "No aplica porque π es irracional",
        "Se necesita derivación logarítmica siempre",
        "Solo funciona para exponentes enteros"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "π es una CONSTANTE",
        "Exponente constante → regla de potencia",
        "d/dx[x^n] = n·x^(n-1) aplica para cualquier constante n"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **¿Es correcta la regla de potencia con π?**",
        "",
        "✅ **SÍ, es correcta**",
        "",
        "**Fórmula general:**",
        "$$\\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$$",
        "",
        "donde **n es cualquier constante** (entera, racional, irracional).",
        "",
        "🧮 **Con n = π:**",
        "$$\\frac{d}{dx}[x^{\\pi}] = \\pi x^{\\pi - 1}$$",
        "",
        "🔍 **Verificación con derivación logarítmica:**",
        "",
        "$$y = x^{\\pi}$$",
        "$$\\ln(y) = \\pi \\ln(x)$$",
        "",
        "Como π es constante:",
        "$$\\frac{1}{y}\\frac{dy}{dx} = \\pi \\cdot \\frac{1}{x}$$",
        "",
        "$$\\frac{dy}{dx} = y \\cdot \\frac{\\pi}{x} = x^{\\pi} \\cdot \\frac{\\pi}{x}$$",
        "",
        "$$= \\pi x^{\\pi - 1}$$ ✓",
        "",
        "💡 **Diferencia clave**",
        "",
        "**Exponente CONSTANTE** (como π):",
        "* Regla de potencia aplica: $nx^{n-1}$",
        "",
        "**Exponente VARIABLE** (como x en $x^x$):",
        "* Derivación logarítmica obligatoria",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "Sí es igual, π es constante. La regla de potencia aplica"
      ],
      "explanation": "π es constante, entonces d/dx[x^π] = π·x^(π-1) es correcto"
    },
    {
      "id": "dla-018",
      "topic": "aplicaciones-avanzadas",
      "question": "Si $y = x^{x^x}$ (torre exponencial), el primer paso para derivar es:",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$\\ln(y) = x^x \\ln(x)$, luego derivar este producto complejo",
        "Aplicar regla de potencia directamente",
        "No se puede derivar",
        "$\\ln(y) = x \\ln(x^x)$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "Torre: x^(x^x)",
        "ln(y) = x^x · ln(x)",
        "Ahora derivar producto (necesita otra derivación logarítmica)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Derivar torre exponencial: $y = x^{x^x}$**",
        "",
        "⚠️ **Cuidado con la notación**",
        "",
        "$$y = x^{(x^x)}$$",
        "",
        "El exponente completo es $x^x$ (ya derivado antes).",
        "",
        "🧮 **Paso 1: Aplicar ln**",
        "$$\\ln(y) = \\ln(x^{x^x})$$",
        "",
        "$$\\ln(y) = x^x \\ln(x)$$",
        "",
        "📐 **Paso 2: Derivar (producto COMPLEJO)**",
        "$$\\frac{1}{y}\\frac{dy}{dx} = \\frac{d}{dx}[x^x \\ln(x)]$$",
        "",
        "Regla del producto:",
        "$$= \\frac{d}{dx}[x^x] \\cdot \\ln(x) + x^x \\cdot \\frac{1}{x}$$",
        "",
        "🎯 **Paso 3: Sustituir d/dx[x^x]**",
        "",
        "Ya sabemos: $\\frac{d}{dx}[x^x] = x^x(1 + \\ln(x))$",
        "",
        "$$\\frac{1}{y}\\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \\ln(x)) \\ln(x) + \\frac{x^x}{x}$$",
        "",
        "$$= x^x[(1 + \\ln(x))\\ln(x) + x^{-1}]$$",
        "",
        "📊 **Paso 4: Despejar (muy complejo)**",
        "$$\\frac{dy}{dx} = x^{x^x} \\cdot x^x[(1 + \\ln(x))\\ln(x) + x^{-1}]$$",
        "",
        "💡 **Torres más altas**",
        "",
        "Para $x^{x^{x^x}}$ y mayores, el proceso se repite anidadamente.",
        "",
        "✅ **Primer paso**",
        "$\\ln(y) = x^x \\ln(x)$"
      ],
      "explanation": "ln(y) = x^x · ln(x), luego derivar producto (requiere derivada de x^x)"
    },
    {
      "id": "dla-019",
      "topic": "aplicaciones-avanzadas",
      "question": "Completa: La derivación logarítmica convierte productos en _____ y cocientes en _____",
      "type": "fill-blank",
      "blanks": ["sumas", "restas"],
      "distractors": ["productos", "cocientes", "potencias", "derivadas", "integrales", "límites"],
      "template": "La derivación logarítmica convierte productos en _____ y cocientes en _____",
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "ln(ab) = ln(a) + ln(b)",
        "ln(a/b) = ln(a) - ln(b)",
        "Productos → sumas, cocientes → restas"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Propiedades de logaritmos**",
        "",
        "**Producto:**",
        "$$\\ln(ab) = \\ln(a) + \\ln(b)$$",
        "",
        "Producto → **Suma**",
        "",
        "**Cociente:**",
        "$$\\ln\\left(\\frac{a}{b}\\right) = \\ln(a) - \\ln(b)$$",
        "",
        "Cociente → **Resta**",
        "",
        "💡 **Por qué es útil**",
        "",
        "Derivar sumas/restas es más simple que derivar productos/cocientes.",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "Productos → **sumas**",
        "Cocientes → **restas**"
      ],
      "explanation": "Logaritmo convierte: productos → sumas, cocientes → restas"
    },
    {
      "id": "dla-020",
      "topic": "aplicaciones-avanzadas",
      "question": "¿Cuál de estas NO se puede derivar fácilmente sin derivación logarítmica?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "$(x^2 + 1)^{\\sin(x)}$",
        "$x^{100}$",
        "$(x^2 + 1)^{100}$",
        "$\\sin^{100}(x)$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Exponente variable requiere logarítmica",
        "Exponentes constantes: regla directa",
        "(x² + 1)^(sin(x)) tiene exponente variable"
      ],
      "stepByStep": [
        "📊 **Análisis de cada función**",
        "",
        "**1. $(x^2 + 1)^{\\sin(x)}$**",
        "* Base: $x^2 + 1$ (variable)",
        "* Exponente: $\\sin(x)$ (variable)",
        "- **Requiere derivación logarítmica** ✓",
        "",
        "**2. $x^{100}$**",
        "* Exponente constante (100)",
        "* Regla de potencia: $100x^{99}$ ✓",
        "",
        "**3. $(x^2 + 1)^{100}$**",
        "* Exponente constante (100)",
        "* Regla de la cadena: $100(x^2 + 1)^{99} \\cdot 2x$ ✓",
        "",
        "**4. $\\sin^{100}(x)$**",
        "* Exponente constante (100)",
        "* Regla de la cadena: $100\\sin^{99}(x) \\cdot \\cos(x)$ ✓",
        "",
        "💡 **Criterio**",
        "",
        "**Exponente VARIABLE** → derivación logarítmica necesaria",
        "",
        "**Exponente CONSTANTE** → reglas estándar suficientes",
        "",
        "✅ **Respuesta**",
        "$(x^2 + 1)^{\\sin(x)}$ requiere derivación logarítmica"
      ],
      "explanation": "(x² + 1)^(sin(x)) tiene exponente variable, requiere derivación logarítmica"
    }
  ]
}