{ "derivadas-exponenciales": [ { "id": "de-001", "topic": "derivada-e-elevado-x", "question": "¿Cuál es la derivada de $f(x) = e^x$?", "type": "multiple-choice", "options": [ "$e^x$", "$xe^{x-1}$", "$\\ln(x)$", "$1$" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": [ "Esta es LA propiedad única de e^x", "La derivada es igual a la función misma", "d/dx[e^x] = e^x" ], "stepByStep": [ "📚 **La función exponencial natural**", "", "**Propiedad única:**", "$$\\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$$", "", "💡 **¿Por qué es especial?**", "", "La función $e^x$ es la **única función** (excepto constantes múltiplos) que es igual a su propia derivada.", "", "🧮 **Demostración (por límite)**", "", "$$\\frac{d}{dx}[e^x] = \\lim_{h \\to 0} \\frac{e^{x+h} - e^x}{h}$$", "", "$$= \\lim_{h \\to 0} \\frac{e^x \\cdot e^h - e^x}{h}$$", "", "$$= e^x \\lim_{h \\to 0} \\frac{e^h - 1}{h}$$", "", "El límite $\\lim_{h \\to 0} \\frac{e^h - 1}{h} = 1$ (propiedad de e)", "", "$$= e^x \\cdot 1 = e^x$$", "", "📊 **Implicaciones**", "", "* La pendiente en cualquier punto $(x, e^x)$ es exactamente $e^x$", "* La tasa de crecimiento es proporcional al valor actual", "* Base de modelos de crecimiento exponencial", "", "✅ **Respuesta**", "$\\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$" ], "explanation": "La derivada de e^x es e^x, su propiedad más importante" }, { "id": "de-002", "topic": "derivada-e-elevado-x", "question": "¿Qué hace especial a la base $e \\approx 2.71828$?", "type": "multiple-choice", "options": [ "Es la única base donde la derivada de $a^x$ es exactamente $a^x$", "Es el número más grande", "Es igual a $\\pi$", "Es un número racional" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": [ "Piensa en la derivada de a^x", "Para e: d/dx[e^x] = e^x", "Para otras bases: d/dx[a^x] = a^x·ln(a)" ], "stepByStep": [ "🎯 **¿Qué es e?**", "", "**Definición:**", "$$e = \\lim_{n \\to \\infty} \\left(1 + \\frac{1}{n}\\right)^n \\approx 2.71828$$", "", "💡 **Propiedad especial en derivadas**", "", "**Para base e:**", "$$\\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$$", "", "**Para base a ≠ e:**", "$$\\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \\ln(a)$$", "", "📊 **Comparación**", "", "| Base | Derivada | Factor extra |", "|------|----------|--------------|", "| $e$ | $e^x$ | ✅ Ninguno (1) |", "| $2$ | $2^x \\ln(2)$ | $\\ln(2) \\approx 0.693$ |", "| $10$ | $10^x \\ln(10)$ | $\\ln(10) \\approx 2.303$ |", "", "🔬 **Por qué es importante**", "", "* Simplifica cálculos en cálculo y ecuaciones diferenciales", "* Aparece naturalmente en crecimiento continuo", "* Base de logaritmos naturales (ln)", "", "✅ **Respuesta**", "Es la única base donde $\\frac{d}{dx}[a^x] = a^x$" ], "explanation": "e es especial porque d/dx[e^x] = e^x (sin factor extra)" }, { "id": "de-003", "topic": "derivada-e-elevado-x", "question": "Calcula $\\frac{d}{dx}[5e^x]$", "type": "multiple-choice", "options": [ "$5e^x$", "$e^x$", "$5xe^{x-1}$", "$5$" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": [ "Constante sale fuera de la derivada", "d/dx[5·e^x] = 5·d/dx[e^x]", "= 5·e^x" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivar: $5e^x$**", "", "🧮 **Paso 1: Regla de constante por función**", "$$\\frac{d}{dx}[c \\cdot f(x)] = c \\cdot \\frac{d}{dx}[f(x)]$$", "", "📐 **Paso 2: Aplicar**", "$$\\frac{d}{dx}[5e^x] = 5 \\cdot \\frac{d}{dx}[e^x]$$", "", "🎯 **Paso 3: Derivada de e^x**", "$$= 5 \\cdot e^x$$", "", "$$= 5e^x$$", "", "💡 **Patrón general**", "$$\\frac{d}{dx}[ce^x] = ce^x$$", "", "La constante se mantiene.", "", "✅ **Respuesta**", "$5e^x$" ], "explanation": "La constante 5 se mantiene: d/dx[5e^x] = 5e^x" }, { "id": "de-004", "topic": "derivada-e-elevado-x", "question": "Si $f(x) = e^x$, ¿cuál es $f''(x)$ (segunda derivada)?", "type": "multiple-choice", "options": [ "$e^x$", "$2e^x$", "$xe^x$", "$0$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Primera derivada: f'(x) = e^x", "Segunda derivada: f''(x) = d/dx[e^x]", "= e^x (otra vez!)" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivadas sucesivas de e^x**", "", "**Función original:**", "$$f(x) = e^x$$", "", "📐 **Primera derivada**", "$$f'(x) = \\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$$", "", "🧮 **Segunda derivada**", "$$f''(x) = \\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$$", "", "📊 **Tercera, cuarta, n-ésima...**", "$$f'''(x) = e^x$$", "$$f^{(4)}(x) = e^x$$", "$$\\vdots$$", "$$f^{(n)}(x) = e^x$$", "", "💡 **Propiedad única**", "", "**Todas las derivadas de $e^x$ son $e^x$**", "", "No hay otro tipo de función con esta propiedad.", "", "✅ **Respuesta**", "$f''(x) = e^x$" ], "explanation": "Todas las derivadas de e^x son e^x: f''(x) = e^x" }, { "id": "de-005", "topic": "derivada-a-elevado-x", "question": "¿Cuál es la derivada de $f(x) = a^x$ (donde $a > 0$, $a \\neq 1$)?", "type": "multiple-choice", "options": [ "$a^x \\ln(a)$", "$a^x$", "$xa^{x-1}$", "$\\frac{a^x}{\\ln(a)}$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "No es igual a e^x", "Tiene un factor extra: ln(a)", "Fórmula: a^x · ln(a)" ], "stepByStep": [ "📚 **Derivada de función exponencial con base arbitraria**", "", "**Fórmula:**", "$$\\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \\ln(a)$$", "", "🧮 **Demostración**", "", "**Paso 1:** Escribir en base e", "$$a^x = e^{\\ln(a^x)} = e^{x\\ln(a)}$$", "", "**Paso 2:** Derivar usando regla de la cadena", "$$\\frac{d}{dx}[e^{x\\ln(a)}] = e^{x\\ln(a)} \\cdot \\ln(a)$$", "", "**Paso 3:** Simplificar", "$$= a^x \\cdot \\ln(a)$$", "", "💡 **Casos especiales**", "", "**Si a = e:**", "$$\\frac{d}{dx}[e^x] = e^x \\ln(e) = e^x \\cdot 1 = e^x$$ ✓", "", "**Si a = 2:**", "$$\\frac{d}{dx}[2^x] = 2^x \\ln(2)$$", "", "**Si a = 10:**", "$$\\frac{d}{dx}[10^x] = 10^x \\ln(10)$$", "", "✅ **Respuesta**", "$a^x \\ln(a)$" ], "explanation": "d/dx[a^x] = a^x·ln(a), con factor extra ln(a)" }, { "id": "de-006", "topic": "derivada-a-elevado-x", "question": "Calcula $\\frac{d}{dx}[2^x]$", "type": "multiple-choice", "options": [ "$2^x \\ln(2)$", "$2^x$", "$x \\cdot 2^{x-1}$", "$2x$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Usa la fórmula d/dx[a^x] = a^x·ln(a)", "Aquí a = 2", "Resultado: 2^x·ln(2)" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivar: $2^x$**", "", "🧮 **Aplicar fórmula**", "", "Para $f(x) = a^x$:", "$$\\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \\ln(a)$$", "", "Con $a = 2$:", "$$\\frac{d}{dx}[2^x] = 2^x \\ln(2)$$", "", "📊 **Valor numérico de ln(2)**", "$$\\ln(2) \\approx 0.693$$", "", "Entonces:", "$$\\frac{d}{dx}[2^x] \\approx 0.693 \\cdot 2^x$$", "", "💡 **Interpretación**", "", "La pendiente de $2^x$ en cualquier punto es aproximadamente 69.3% del valor de la función.", "", "🎯 **Comparación con e^x**", "", "- $\\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$ (100% del valor)", "- $\\frac{d}{dx}[2^x] = 0.693 \\cdot 2^x$ (69.3% del valor)", "", "✅ **Respuesta**", "$2^x \\ln(2)$" ], "explanation": "d/dx[2^x] = 2^x·ln(2) ≈ 0.693·2^x" }, { "id": "de-007", "topic": "derivada-a-elevado-x", "question": "Completa: Si $\\frac{d}{dx}[a^x] = a^x$, entonces $a = $ _____", "type": "fill-blank", "blanks": ["e"], "distractors": ["1", "2", "10", "π", "0"], "template": "Si $\\frac{d}{dx}[a^x] = a^x$, entonces $a = $ _____", "difficulty": "facil", "hints": [ "¿Qué base hace que ln(a) = 1?", "d/dx[a^x] = a^x·ln(a)", "Para que sea a^x: ln(a) = 1, entonces a = e" ], "stepByStep": [ "🎯 **Encontrar la base especial**", "", "**Condición:**", "$$\\frac{d}{dx}[a^x] = a^x$$", "", "🧮 **Usar la fórmula general**", "", "Sabemos que:", "$$\\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \\ln(a)$$", "", "📐 **Igualar**", "$$a^x \\ln(a) = a^x$$", "", "Dividir ambos lados por $a^x$ (≠ 0):", "$$\\ln(a) = 1$$", "", "🎯 **Resolver para a**", "$$a = e^1 = e$$", "", "💡 **Verificación**", "$$\\ln(e) = 1$$ ✓", "", "Por lo tanto:", "$$\\frac{d}{dx}[e^x] = e^x \\cdot 1 = e^x$$ ✓", "", "✅ **Respuesta**", "$a = e$" ], "explanation": "Solo cuando a = e, la derivada de a^x es a^x sin factor extra" }, { "id": "de-008", "topic": "exponencial-regla-cadena", "question": "Calcula $\\frac{d}{dx}[e^{3x}]$", "type": "multiple-choice", "options": [ "$3e^{3x}$", "$e^{3x}$", "$3xe^{3x-1}$", "$e^{3x} \\ln(3)$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Regla de la cadena", "Externa: e^u → e^u", "Interna: 3x → 3" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivar: $e^{3x}$**", "", "🔗 **Regla de la cadena**", "", "**Identificar:**", "* Externa: $f(u) = e^u$ con $u = 3x$", "* Interna: $g(x) = 3x$", "", "📐 **Paso 1: Derivada externa**", "$$\\frac{d}{du}[e^u] = e^u$$", "", "En $u = 3x$:", "$$e^{3x}$$", "", "🧮 **Paso 2: Derivada interna**", "$$\\frac{d}{dx}[3x] = 3$$", "", "🎯 **Paso 3: Multiplicar (cadena)**", "$$\\frac{d}{dx}[e^{3x}] = e^{3x} \\cdot 3$$", "", "$$= 3e^{3x}$$", "", "💡 **Patrón general**", "$$\\frac{d}{dx}[e^{kx}] = ke^{kx}$$", "", "donde $k$ es una constante.", "", "✅ **Respuesta**", "$3e^{3x}$" ], "explanation": "Por regla de la cadena: e^(3x) · 3 = 3e^(3x)" }, { "id": "de-009", "topic": "exponencial-regla-cadena", "question": "Calcula $\\frac{d}{dx}[e^{x^2}]$", "type": "multiple-choice", "options": [ "$2xe^{x^2}$", "$e^{x^2}$", "$x^2e^{x^2}$", "$2e^{x^2}$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "u = x², du/dx = 2x", "d/dx[e^u] = e^u · du/dx", "= e^(x²) · 2x" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivar: $e^{x^2}$**", "", "🔗 **Regla de la cadena**", "", "**Funciones:**", "* Externa: $f(u) = e^u$ con $u = x^2$", "* Interna: $g(x) = x^2$", "", "📐 **Paso 1: Derivada de e^u**", "$$\\frac{d}{du}[e^u] = e^u$$", "", "En $u = x^2$:", "$$e^{x^2}$$", "", "🧮 **Paso 2: Derivada de x²**", "$$\\frac{d}{dx}[x^2] = 2x$$", "", "🎯 **Paso 3: Aplicar cadena**", "$$\\frac{d}{dx}[e^{x^2}] = e^{x^2} \\cdot 2x$$", "", "$$= 2xe^{x^2}$$", "", "💡 **Patrón**", "$$\\frac{d}{dx}[e^{f(x)}] = e^{f(x)} \\cdot f'(x)$$", "", "✅ **Respuesta**", "$2xe^{x^2}$" ], "explanation": "e^(x²) · 2x = 2xe^(x²)" }, { "id": "de-010", "topic": "exponencial-regla-cadena", "question": "Calcula $\\frac{d}{dx}[e^{\\sin(x)}]$", "type": "multiple-choice", "options": [ "$\\cos(x)e^{\\sin(x)}$", "$\\sin(x)e^{\\sin(x)}$", "$e^{\\cos(x)}$", "$e^{\\sin(x)}$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "u = sin(x), du/dx = cos(x)", "d/dx[e^u] = e^u · du/dx", "= e^(sin(x)) · cos(x)" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivar: $e^{\\sin(x)}$**", "", "🔗 **Regla de la cadena**", "", "**Composición:**", "* Externa: $e^u$ con $u = \\sin(x)$", "* Interna: $\\sin(x)$", "", "📐 **Paso 1: Derivada externa**", "$$\\frac{d}{du}[e^u] = e^u$$", "", "En $u = \\sin(x)$:", "$$e^{\\sin(x)}$$", "", "🧮 **Paso 2: Derivada interna**", "$$\\frac{d}{dx}[\\sin(x)] = \\cos(x)$$", "", "🎯 **Paso 3: Multiplicar**", "$$\\frac{d}{dx}[e^{\\sin(x)}] = e^{\\sin(x)} \\cdot \\cos(x)$$", "", "$$= \\cos(x)e^{\\sin(x)}$$", "", "💡 **Observación**", "La exponencial siempre se mantiene,", "solo se multiplica por la derivada del exponente.", "", "✅ **Respuesta**", "$\\cos(x)e^{\\sin(x)}$" ], "explanation": "e^(sin(x)) · cos(x) = cos(x)e^(sin(x))" }, { "id": "de-011", "topic": "exponencial-regla-cadena", "question": "Si $y = e^{-x}$, ¿cuál es $\\frac{dy}{dx}$?", "type": "multiple-choice", "options": [ "$-e^{-x}$", "$e^{-x}$", "$-xe^{-x-1}$", "$\\frac{1}{e^x}$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "e^(-x) es e^u con u = -x", "du/dx = -1", "Resultado: e^(-x) · (-1)" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivar: $e^{-x}$**", "", "🔗 **Método 1: Regla de la cadena**", "", "$$u = -x, \\quad \\frac{du}{dx} = -1$$", "", "$$\\frac{dy}{dx} = e^{-x} \\cdot (-1) = -e^{-x}$$", "", "📐 **Método 2: Escribir como fracción**", "", "$$e^{-x} = \\frac{1}{e^x}$$", "", "Regla del cociente:", "$$\\frac{d}{dx}\\left[\\frac{1}{e^x}\\right] = \\frac{0 \\cdot e^x - 1 \\cdot e^x}{(e^x)^2}$$", "", "$$= \\frac{-e^x}{e^{2x}} = -e^{-x}$$", "", "💡 **Patrón de decrecimiento**", "", "$$\\frac{d}{dx}[e^{-kx}] = -ke^{-kx}$$", "", "El signo negativo indica **decrecimiento exponencial**.", "", "✅ **Respuesta**", "$-e^{-x}$" ], "explanation": "d/dx[e^(-x)] = e^(-x)·(-1) = -e^(-x)" }, { "id": "de-012", "topic": "exponencial-regla-cadena", "question": "Ordena los pasos para derivar $f(x) = e^{g(x)}$", "type": "ordering", "items": [ "Identificar la función externa: $e^u$ con $u = g(x)$", "Derivar la función externa: $\\frac{d}{du}[e^u] = e^u$", "Derivar la función interna: $g'(x)$", "Multiplicar: $e^{g(x)} \\cdot g'(x)$" ], "correctOrder": [0, 1, 2, 3], "difficulty": "medio", "hints": [ "Primero: identificar composición", "Segundo: derivar externa", "Tercero: derivar interna", "Cuarto: multiplicar (cadena)" ], "stepByStep": [ "🔗 **Procedimiento: Regla de la cadena con e^(g(x))**", "", "**Paso 1:** Identificar composición", "* Externa: $f(u) = e^u$", "* Interna: $u = g(x)$", "", "**Paso 2:** Derivar función externa", "$$\\frac{d}{du}[e^u] = e^u$$", "", "**Paso 3:** Derivar función interna", "$$\\frac{du}{dx} = g'(x)$$", "", "**Paso 4:** Aplicar regla de la cadena", "$$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$$", "", "$$= e^u \\cdot g'(x)$$", "", "$$= e^{g(x)} \\cdot g'(x)$$", "", "💡 **Fórmula general**", "$$\\frac{d}{dx}[e^{g(x)}] = e^{g(x)} \\cdot g'(x)$$", "", "✅ **Orden correcto**", "1. Identificar", "2. Derivar externa", "3. Derivar interna", "4. Multiplicar" ], "explanation": "Identificar → derivar externa → derivar interna → multiplicar" }, { "id": "de-013", "topic": "crecimiento-decrecimiento", "question": "En un modelo de crecimiento exponencial $P(t) = P_0 e^{kt}$, ¿qué representa $k$?", "type": "multiple-choice", "options": [ "La tasa de crecimiento (si k > 0) o decrecimiento (si k < 0)", "La población inicial", "El tiempo transcurrido", "La población final" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "k está en el exponente", "Afecta qué tan rápido crece", "k > 0: crecimiento; k < 0: decrecimiento" ], "stepByStep": [ "📊 **Modelo exponencial: $P(t) = P_0 e^{kt}$**", "", "🎯 **Parámetros**", "", "**$P_0$:** Población (o cantidad) inicial", "* Valor en $t = 0$", "* $1(0) = P_0 e^{0} = P_0$", "", "**$k$:** Tasa de crecimiento/decrecimiento", "* $1 > 0$: crecimiento exponencial", "* $1 < 0$: decrecimiento exponencial", "- $|k|$ indica rapidez del cambio", "", "**$t$:** Tiempo (variable independiente)", "", "📐 **Derivada: Tasa de cambio**", "$$\\frac{dP}{dt} = P_0 e^{kt} \\cdot k = kP(t)$$", "", "La tasa de cambio es **proporcional** al valor actual:", "$$\\frac{dP}{dt} = kP$$", "", "💡 **Ejemplos**", "", "**Crecimiento (k > 0):**", "* Población bacteriana: $k \\approx 0.5$ (50% por hora)", "* Inversión: $k = 0.05$ (5% anual continuo)", "", "**Decrecimiento (k < 0):**", "* Radioactividad: $k = -0.693$ (vida media)", "* Enfriamiento: $k < 0$", "", "✅ **Respuesta**", "$k$ es la tasa de crecimiento/decrecimiento" ], "explanation": "k es la tasa: k>0 crecimiento, k<0 decrecimiento" }, { "id": "de-014", "topic": "crecimiento-decrecimiento", "question": "Si $N(t) = 100e^{0.05t}$ representa una población, ¿cuál es $N'(t)$?", "type": "multiple-choice", "options": [ "$N'(t) = 5e^{0.05t}$", "$N'(t) = 100e^{0.05t}$", "$N'(t) = 0.05e^{0.05t}$", "$N'(t) = e^{0.05t}$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "d/dx[e^(kx)] = k·e^(kx)", "Aquí: 100·e^(0.05t)·0.05", "= 5e^(0.05t)" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivar: $N(t) = 100e^{0.05t}$**", "", "🧮 **Paso 1: Constante fuera**", "$$N'(t) = 100 \\cdot \\frac{d}{dt}[e^{0.05t}]$$", "", "📐 **Paso 2: Regla de la cadena**", "$$\\frac{d}{dt}[e^{0.05t}] = e^{0.05t} \\cdot 0.05$$", "", "🎯 **Paso 3: Multiplicar**", "$$N'(t) = 100 \\cdot 0.05 \\cdot e^{0.05t}$$", "", "$$N'(t) = 5e^{0.05t}$$", "", "💡 **Interpretación**", "", "**N'(t) = 5e^(0.05t)** es la tasa de crecimiento instantánea.", "", "**Relación con N(t):**", "$$N'(t) = 0.05 \\cdot N(t)$$", "", "La población crece al 5% de su valor actual por unidad de tiempo.", "", "✅ **Respuesta**", "$N'(t) = 5e^{0.05t}$" ], "explanation": "N'(t) = 100·0.05·e^(0.05t) = 5e^(0.05t)" }, { "id": "de-015", "topic": "crecimiento-decrecimiento", "question": "Completa: En decrecimiento exponencial $A(t) = A_0 e^{-kt}$, cuando $t$ aumenta, $A(t)$ _____", "type": "fill-blank", "blanks": ["disminuye"], "distractors": ["aumenta", "permanece constante", "oscila", "se duplica", "diverge"], "template": "En decrecimiento exponencial $A(t) = A_0 e^{-kt}$, cuando $t$ aumenta, $A(t)$ _____", "difficulty": "facil", "hints": [ "El exponente es negativo: -kt", "e^(-kt) → 0 cuando t → ∞", "A(t) disminuye" ], "stepByStep": [ "📉 **Decrecimiento exponencial**", "", "**Modelo:** $A(t) = A_0 e^{-kt}$ con $k > 0$", "", "🧮 **Análisis**", "", "**En t = 0:**", "$$A(0) = A_0 e^{0} = A_0$$", "", "**Cuando t aumenta:**", "- $-kt$ se hace más negativo", "* $1^{-kt}$ se acerca a 0", "* $1(t) \\to 0$", "", "📐 **Derivada**", "$$A'(t) = A_0 e^{-kt} \\cdot (-k) = -kA_0 e^{-kt}$$", "", "Como $k > 0$ y $e^{-kt} > 0$:", "$$A'(t) < 0$$", "", "**Pendiente negativa** → función decreciente", "", "💡 **Ejemplos**", "* Radioactividad: masa disminuye", "* Enfriamiento: temperatura disminuye", "* Medicamento: concentración disminuye", "", "✅ **Respuesta**", "$A(t)$ **disminuye**" ], "explanation": "e^(-kt) → 0 cuando t → ∞, entonces A(t) disminuye" }, { "id": "de-016", "topic": "aplicaciones-exponenciales", "question": "La fórmula del interés compuesto continuo es $A = Pe^{rt}$. ¿Qué representa $r$?", "type": "multiple-choice", "options": [ "La tasa de interés anual (como decimal)", "El capital inicial", "El tiempo en años", "El monto final" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": [ "P es el capital inicial", "t es el tiempo", "r está en el exponente, es la tasa" ], "stepByStep": [ "💰 **Interés compuesto continuo**", "", "**Fórmula:**", "$$A = Pe^{rt}$$", "", "🎯 **Parámetros**", "", "**$P$:** Principal (capital inicial)", "* Dinero invertido al inicio", "", "**$r$:** Tasa de interés anual", "* Como decimal (5% = 0.05)", "* Constante de crecimiento exponencial", "", "**$t$:** Tiempo en años", "* Variable independiente", "", "**$A$:** Monto acumulado", "* Capital + intereses", "", "📐 **Derivada: Tasa de crecimiento**", "$$\\frac{dA}{dt} = Pe^{rt} \\cdot r = rA$$", "", "El dinero crece proporcionalmente a su valor actual.", "", "💡 **Ejemplo**", "", "$1000 al 5% anual continuo por 10 años:", "$$A = 1000e^{0.05 \\times 10} = 1000e^{0.5} \\approx \\$1648.72$$", "", "✅ **Respuesta**", "$r$ es la tasa de interés anual" ], "explanation": "r es la tasa de interés anual expresada como decimal" }, { "id": "de-017", "topic": "aplicaciones-exponenciales", "question": "Una sustancia radioactiva sigue $N(t) = N_0 e^{-0.1t}$. ¿Cuál es su vida media (cuando $N = N_0/2$)?", "type": "numeric", "correct": 6.931, "tolerance": 0.01, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "N₀/2 = N₀·e^(-0.1t)", "1/2 = e^(-0.1t)", "ln(1/2) = -0.1t → t = ln(2)/0.1" ], "stepByStep": [ "📝 **Encontrar vida media**", "", "**Ecuación:** $N(t) = N_0 e^{-0.1t}$", "", "**Vida media:** cuando $N = \\frac{N_0}{2}$", "", "🧮 **Paso 1: Plantear ecuación**", "$$\\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-0.1t}$$", "", "📐 **Paso 2: Simplificar**", "$$\\frac{1}{2} = e^{-0.1t}$$", "", "🎯 **Paso 3: Aplicar logaritmo**", "$$\\ln\\left(\\frac{1}{2}\\right) = \\ln(e^{-0.1t})$$", "", "$$\\ln\\left(\\frac{1}{2}\\right) = -0.1t$$", "", "📊 **Paso 4: Usar propiedad**", "$$\\ln\\left(\\frac{1}{2}\\right) = -\\ln(2)$$", "", "$$-\\ln(2) = -0.1t$$", "", "🔢 **Paso 5: Resolver**", "$$t = \\frac{\\ln(2)}{0.1} = \\frac{0.693}{0.1} \\approx 6.93$$", "", "✅ **Respuesta**", "Vida media ≈ **6.931** unidades de tiempo" ], "explanation": "t = ln(2)/0.1 ≈ 6.931" }, { "id": "de-018", "topic": "aplicaciones-exponenciales", "question": "Si una población crece según $P(t) = 1000e^{0.03t}$, ¿en cuánto tiempo se duplicará?", "type": "numeric", "correct": 23.1, "tolerance": 0.5, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "Duplicar: 2000 = 1000·e^(0.03t)", "2 = e^(0.03t)", "t = ln(2)/0.03" ], "stepByStep": [ "📝 **Tiempo de duplicación**", "", "**Población:** $P(t) = 1000e^{0.03t}$", "**Inicial:** $P_0 = 1000$", "**Duplicada:** $2P_0 = 2000$", "", "🧮 **Plantear ecuación**", "$$2000 = 1000e^{0.03t}$$", "", "📐 **Simplificar**", "$$2 = e^{0.03t}$$", "", "🎯 **Logaritmo natural**", "$$\\ln(2) = \\ln(e^{0.03t})$$", "", "$$\\ln(2) = 0.03t$$", "", "📊 **Despejar t**", "$$t = \\frac{\\ln(2)}{0.03}$$", "", "$$t = \\frac{0.693}{0.03}$$", "", "$$t \\approx 23.1$$", "", "💡 **Fórmula general**", "", "Para cualquier $P(t) = P_0 e^{kt}$:", "$$t_{duplicación} = \\frac{\\ln(2)}{k}$$", "", "✅ **Respuesta**", "Se duplica en ≈ **23.1** unidades de tiempo" ], "explanation": "t = ln(2)/0.03 ≈ 23.1" }, { "id": "de-019", "topic": "aplicaciones-exponenciales", "question": "Clasifica según el tipo de modelo exponencial", "description": "Organiza las aplicaciones según crecimiento o decrecimiento.", "type": "categorize", "items": [ "Población bacteriana", "Decaimiento radioactivo", "Interés compuesto", "Enfriamiento de café", "Propagación viral (epidemia)" ], "categories": { "crecimiento": "Crecimiento exponencial (k > 0)", "decrecimiento": "Decrecimiento exponencial (k < 0)", "ambos": "Puede ser ambos según contexto" }, "correctCategories": { "Población bacteriana": "crecimiento", "Decaimiento radioactivo": "decrecimiento", "Interés compuesto": "crecimiento", "Enfriamiento de café": "decrecimiento", "Propagación viral (epidemia)": "ambos" }, "difficulty": "medio", "hints": [ "Bacterias y dinero crecen", "Radioactividad y temperatura disminuyen", "Virus: crece al inicio, puede decrecer después" ], "stepByStep": [ "📊 **Clasificación de modelos exponenciales**", "", "**CRECIMIENTO (k > 0, e^kt):**", "", "1. **Población bacteriana**", " - $N(t) = N_0 e^{kt}$ con $k > 0$", " - Reproducción sin límite", "", "2. **Interés compuesto continuo**", " - $A = Pe^{rt}$ con $r > 0$", " - Dinero genera más dinero", "", "**DECRECIMIENTO (k < 0, e^{-kt}):**", "", "3. **Decaimiento radioactivo**", " - $N(t) = N_0 e^{-kt}$ con $k > 0$", " - Masa disminuye con el tiempo", "", "4. **Enfriamiento (Ley de Newton)**", " - $T(t) = T_{amb} + (T_0 - T_{amb})e^{-kt}$", " - Temperatura → temperatura ambiente", "", "**AMBOS (depende de fase):**", "", "5. **Propagación viral**", " - Inicio: crecimiento exponencial", " - Con intervención: decrecimiento", " - Modelo más complejo (logístico)", "", "✅ **Clasificación**", "* Crecimiento: bacterias, interés", "* Decrecimiento: radioactividad, enfriamiento", "* Ambos: epidemias" ], "explanation": "Crecimiento: bacterias, interés; Decrecimiento: radioactividad, enfriamiento; Ambos: virus" }, { "id": "de-020", "topic": "aplicaciones-exponenciales", "question": "¿Cuál es la derivada de $f(x) = x^2 e^x$ (producto)?", "type": "multiple-choice", "options": [ "$e^x(x^2 + 2x)$", "$2xe^x$", "$x^2e^x$", "$e^x(x^2 - 2x)$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Regla del producto: (uv)' = u'v + uv'", "u = x², u' = 2x", "v = e^x, v' = e^x" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivar: $f(x) = x^2 e^x$**", "", "🔗 **Regla del producto**", "", "$(uv)' = u'v + uv'$", "", "🧮 **Identificar**", "* $1 = x^2$, entonces $u' = 2x$", "* $1 = e^x$, entonces $v' = e^x$", "", "📐 **Aplicar fórmula**", "$$f'(x) = u'v + uv'$$", "", "$$= (2x)(e^x) + (x^2)(e^x)$$", "", "$$= 2xe^x + x^2e^x$$", "", "🎯 **Factorizar e^x**", "$$f'(x) = e^x(2x + x^2)$$", "", "$$= e^x(x^2 + 2x)$$", "", "💡 **Verificación**", "También se puede escribir:", "$$f'(x) = xe^x(x + 2)$$", "", "✅ **Respuesta**", "$e^x(x^2 + 2x)$" ], "explanation": "Por producto: 2x·e^x + x²·e^x = e^x(x² + 2x)" }, { "id": "de-021", "topic": "aplicaciones-exponenciales", "question": "¿Cuál es la derivada de $f(x) = \\frac{e^x}{x}$ (cociente)?", "type": "multiple-choice", "options": [ "$\\frac{e^x(x-1)}{x^2}$", "$\\frac{e^x}{x^2}$", "$\\frac{e^x(x+1)}{x^2}$", "$e^x - \\frac{1}{x^2}$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Regla del cociente: (u/v)' = (u'v - uv')/v²", "u = e^x, u' = e^x", "v = x, v' = 1" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivar: $f(x) = \\frac{e^x}{x}$**", "", "🔗 **Regla del cociente**", "", "$$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$$", "", "🧮 **Identificar**", "* $1 = e^x$, entonces $u' = e^x$", "* $1 = x$, entonces $v' = 1$", "", "📐 **Aplicar fórmula**", "$$f'(x) = \\frac{e^x \\cdot x - e^x \\cdot 1}{x^2}$$", "", "$$= \\frac{xe^x - e^x}{x^2}$$", "", "🎯 **Factorizar e^x**", "$$f'(x) = \\frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$", "", "💡 **Análisis**", "", "**f'(x) = 0 cuando:**", "$$x - 1 = 0 \\Rightarrow x = 1$$", "", "Punto crítico en $x = 1$.", "", "✅ **Respuesta**", "$\\frac{e^x(x-1)}{x^2}$" ], "explanation": "Por cociente: (e^x·x - e^x·1)/x² = e^x(x-1)/x²" }, { "id": "de-022", "topic": "aplicaciones-exponenciales", "question": "Si $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$, ¿cuál es la derivada de $h(x) = f(x) \\cdot g(x)$?", "type": "multiple-choice", "options": [ "$0$", "$1$", "$e^x - e^{-x}$", "$2$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "h(x) = e^x · e^(-x) = e^0 = 1", "La derivada de una constante es 0", "h'(x) = 0" ], "stepByStep": [ "📝 **Derivar: $h(x) = e^x \\cdot e^{-x}$**", "", "🎯 **Método 1: Simplificar primero**", "", "$$h(x) = e^x \\cdot e^{-x}$$", "", "Propiedad de exponentes:", "$$e^x \\cdot e^{-x} = e^{x + (-x)} = e^0 = 1$$", "", "Entonces:", "$$h(x) = 1$$ (constante)", "", "📐 **Derivada**", "$$h'(x) = \\frac{d}{dx}[1] = 0$$", "", "🧮 **Método 2: Regla del producto**", "", "$$h'(x) = (e^x)' \\cdot e^{-x} + e^x \\cdot (e^{-x})'$$", "", "$$= e^x \\cdot e^{-x} + e^x \\cdot (-e^{-x})$$", "", "$$= e^{x-x} - e^{x-x}$$", "", "$$= 1 - 1 = 0$$", "", "💡 **Interpretación**", "", "El producto $e^x \\cdot e^{-x}$ es constante (siempre 1),", "por lo que su tasa de cambio es cero.", "", "✅ **Respuesta**", "$h'(x) = 0$" ], "explanation": "e^x · e^(-x) = 1, derivada de constante = 0" } ] }