{
  "derivadas-orden-superior": [
    {
      "id": "dos-001",
      "topic": "introduccion-orden-superior",
      "question": "Si $f(x) = x^4$, ¿cuál es la **tercera derivada** $f'''(x)$?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$24x$",
        "$12x^2$",
        "$4x^3$",
        "$24$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "$f'(x) = 4x^3$",
        "$f''(x) = 12x^2$",
        "$f'''(x) = 24x$"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🧮 **Derivadas sucesivas**",
        "",
        "$$f(x) = x^4$$",
        "",
        "**Primera derivada:**",
        "$$f'(x) = 4x^3$$",
        "",
        "**Segunda derivada:**",
        "$$f''(x) = \\frac{d}{dx}[4x^3] = 12x^2$$",
        "",
        "**Tercera derivada:**",
        "$$f'''(x) = \\frac{d}{dx}[12x^2] = 24x$$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta**",
        "$f'''(x) = 24x$"
      ],
      "explanation": "Derivando sucesivamente: x⁴ → 4x³ → 12x² → 24x"
    },
    {
      "id": "dos-002",
      "topic": "introduccion-orden-superior",
      "question": "¿Qué notación representa la **cuarta derivada** de $y$ respecto a $x$?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Todas las anteriores son correctas",
        "$y^{(4)}$",
        "$\\frac{d^4y}{dx^4}$",
        "$f^{(4)}(x)$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Hay varias notaciones equivalentes",
        "Leibniz: d⁴y/dx⁴",
        "Lagrange: y⁽⁴⁾ o f⁽⁴⁾(x)"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 📝 **Notaciones para derivadas de orden superior**",
        "",
        "### **Notación de Leibniz:**",
        "$$\\frac{dy}{dx}, \\frac{d^2y}{dx^2}, \\frac{d^3y}{dx^3}, \\frac{d^4y}{dx^4}, \\ldots$$",
        "",
        "### **Notación de Lagrange:**",
        "$$f'(x), f''(x), f'''(x), f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), \\ldots$$",
        "$$y', y'', y''', y^{(4)}, y^{(5)}, \\ldots$$",
        "",
        "### **Notación de Newton (física):**",
        "$$\\dot{y}, \\ddot{y}, \\dddot{y}, \\ldots$$",
        "(Se usa principalmente para derivadas respecto al tiempo)",
        "",
        "### 💡 **Convención:**",
        "- Para $n \\leq 3$: se usan primas ($'$, $''$, $'''$)",
        "- Para $n \\geq 4$: se usa paréntesis $f^{(n)}$ o $\\frac{d^n}{dx^n}$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "**Todas** son notaciones correctas para la cuarta derivada"
      ],
      "explanation": "Notaciones equivalentes: y⁽⁴⁾ = f⁽⁴⁾(x) = d⁴y/dx⁴"
    },
    {
      "id": "dos-003",
      "topic": "polinomios-orden-superior",
      "question": "Si $p(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 7$, ¿cuál es $p^{(5)}(x)$?",
      "type": "numeric",
      "correct": 120,
      "tolerance": 0.1,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Deriva 5 veces el polinomio de grado 5",
        "La quinta derivada de $x^5$ es $5! = 120$",
        "Todos los otros términos se hacen cero"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🧮 **Derivadas sucesivas de un polinomio**",
        "",
        "$$p(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 7$$",
        "",
        "**Primera:**",
        "$$p'(x) = 5x^4 - 12x^3 + 4x$$",
        "",
        "**Segunda:**",
        "$$p''(x) = 20x^3 - 36x^2 + 4$$",
        "",
        "**Tercera:**",
        "$$p'''(x) = 60x^2 - 72x$$",
        "",
        "**Cuarta:**",
        "$$p^{(4)}(x) = 120x - 72$$",
        "",
        "**Quinta:**",
        "$$p^{(5)}(x) = 120$$",
        "",
        "### 💡 **Observación:**",
        "La $n$-ésima derivada de $x^n$ es $n!$ (factorial de $n$)",
        "$$\\frac{d^5}{dx^5}[x^5] = 5! = 5 \\cdot 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 120$$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$p^{(5)}(x) = 120$"
      ],
      "explanation": "La quinta derivada de x⁵ es 5! = 120, los demás términos son constantes o de menor grado → 0"
    },
    {
      "id": "dos-004",
      "topic": "polinomios-orden-superior",
      "question": "¿Cuál es la **sexta derivada** de $f(x) = x^4 + 5x^3$?",
      "type": "numeric",
      "correct": 0,
      "tolerance": 0.01,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "El polinomio es de grado 4",
        "La cuarta derivada es constante",
        "La quinta derivada es 0"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🧮 **Propiedad importante:**",
        "",
        "**Teorema:** Si $p(x)$ es un polinomio de grado $n$, entonces:",
        "$$p^{(k)}(x) = 0 \\text{ para todo } k > n$$",
        "",
        "### 📐 **Aplicación:**",
        "",
        "$$f(x) = x^4 + 5x^3$$",
        "",
        "- Grado del polinomio: $n = 4$",
        "- Derivada solicitada: $k = 6$",
        "- Como $6 > 4$:",
        "",
        "$$f^{(6)}(x) = 0$$",
        "",
        "### 📊 **Verificación:**",
        "",
        "$f'(x) = 4x^3 + 15x^2$",
        "",
        "$f''(x) = 12x^2 + 30x$",
        "",
        "$f'''(x) = 24x + 30$",
        "",
        "$f^{(4)}(x) = 24$ ← constante",
        "",
        "$f^{(5)}(x) = 0$",
        "",
        "$f^{(6)}(x) = 0$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$f^{(6)}(x) = 0$"
      ],
      "explanation": "Polinomio de grado 4 → derivadas de orden ≥ 5 son cero"
    },
    {
      "id": "dos-005",
      "topic": "exponenciales-orden-superior",
      "question": "Si $f(x) = e^{2x}$, ¿cuál es $f^{(n)}(x)$ (la derivada $n$-ésima)?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$2^n e^{2x}$",
        "$ne^{2x}$",
        "$2ne^{2x}$",
        "$e^{2nx}$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "$f'(x) = 2e^{2x}$",
        "$f''(x) = 4e^{2x} = 2^2e^{2x}$",
        "$f'''(x) = 8e^{2x} = 2^3e^{2x}$"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🧮 **Patrón de derivadas de $e^{kx}$**",
        "",
        "$$f(x) = e^{2x}$$",
        "",
        "**Primera derivada:**",
        "$$f'(x) = 2e^{2x} = 2^1 e^{2x}$$",
        "",
        "**Segunda derivada:**",
        "$$f''(x) = 2 \\cdot 2e^{2x} = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}$$",
        "",
        "**Tercera derivada:**",
        "$$f'''(x) = 2 \\cdot 4e^{2x} = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x}$$",
        "",
        "**Cuarta derivada:**",
        "$$f^{(4)}(x) = 2 \\cdot 8e^{2x} = 16e^{2x} = 2^4 e^{2x}$$",
        "",
        "### 🎯 **Patrón general:**",
        "",
        "$$f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}$$",
        "",
        "### 💡 **Fórmula general:**",
        "Si $g(x) = e^{kx}$, entonces:",
        "$$g^{(n)}(x) = k^n e^{kx}$$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}$"
      ],
      "explanation": "Cada derivada multiplica por 2 → n-ésima derivada: 2ⁿe^(2x)"
    },
    {
      "id": "dos-006",
      "topic": "exponenciales-orden-superior",
      "question": "¿Cuál es la **décima derivada** de $h(x) = e^x$?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$e^x$",
        "$10e^x$",
        "$0$",
        "$10!$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "La derivada de $e^x$ es $e^x$",
        "La segunda derivada también es $e^x$",
        "¡Todas las derivadas son $e^x$!"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🌟 **Propiedad única de $e^x$**",
        "",
        "**La función exponencial natural es su propia derivada:**",
        "",
        "$$\\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$$",
        "",
        "### 🧮 **Derivadas sucesivas:**",
        "",
        "$f(x) = e^x$",
        "",
        "$f'(x) = e^x$",
        "",
        "$f''(x) = e^x$",
        "",
        "$f'''(x) = e^x$",
        "",
        "$\\vdots$",
        "",
        "$f^{(10)}(x) = e^x$",
        "",
        "$\\vdots$",
        "",
        "$f^{(n)}(x) = e^x$ para todo $n \\geq 0$",
        "",
        "### 💡 **Por eso $e^x$ es especial:**",
        "Es la ÚNICA función (no trivial) que es igual a todas sus derivadas.",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$h^{(10)}(x) = e^x$"
      ],
      "explanation": "e^x es su propia derivada → todas las derivadas son e^x"
    },
    {
      "id": "dos-007",
      "topic": "trigonometricas-orden-superior",
      "question": "Si $f(x) = \\sin(x)$, ¿cuál es el patrón de las derivadas de orden superior?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Se repite cada 4 derivadas: $\\sin(x), \\cos(x), -\\sin(x), -\\cos(x), \\sin(x), \\ldots$",
        "Se repite cada 2 derivadas",
        "Todas son $\\sin(x)$",
        "Se alternan entre $\\sin(x)$ y $\\cos(x)$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "$f'(x) = \\cos(x)$",
        "$f''(x) = -\\sin(x)$",
        "$f'''(x) = -\\cos(x)$",
        "$f^{(4)}(x) = \\sin(x)$ (¡vuelve al inicio!)"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🌊 **Derivadas de $\\sin(x)$**",
        "",
        "$$f(x) = \\sin(x)$$",
        "",
        "**Primera:**",
        "$$f'(x) = \\cos(x)$$",
        "",
        "**Segunda:**",
        "$$f''(x) = -\\sin(x)$$",
        "",
        "**Tercera:**",
        "$$f'''(x) = -\\cos(x)$$",
        "",
        "**Cuarta:**",
        "$$f^{(4)}(x) = \\sin(x)$$ ← ¡Vuelve al inicio!",
        "",
        "**Quinta:**",
        "$$f^{(5)}(x) = \\cos(x)$$",
        "",
        "### 🔄 **Patrón cíclico (periodo 4):**",
        "",
        "| $n \\mod 4$ | $f^{(n)}(x)$ |",
        "|------------|--------------|",
        "| 0          | $\\sin(x)$   |",
        "| 1          | $\\cos(x)$   |",
        "| 2          | $-\\sin(x)$  |",
        "| 3          | $-\\cos(x)$  |",
        "",
        "### 💡 **Fórmula general:**",
        "$$f^{(n)}(x) = \\sin\\left(x + \\frac{n\\pi}{2}\\right)$$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "Patrón **periódico de periodo 4**"
      ],
      "explanation": "sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → sin(x) (se repite cada 4)"
    },
    {
      "id": "dos-008",
      "topic": "trigonometricas-orden-superior",
      "question": "¿Cuál es la **100ª derivada** de $g(x) = \\cos(x)$?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$\\cos(x)$",
        "$\\sin(x)$",
        "$-\\cos(x)$",
        "$-\\sin(x)$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "El patrón se repite cada 4 derivadas",
        "$100 = 4 \\times 25$ (múltiplo de 4)",
        "$100 \\mod 4 = 0$"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🌊 **Patrón de derivadas de $\\cos(x)$**",
        "",
        "$$g(x) = \\cos(x)$$",
        "",
        "$g'(x) = -\\sin(x)$",
        "",
        "$g''(x) = -\\cos(x)$",
        "",
        "$g'''(x) = \\sin(x)$",
        "",
        "$g^{(4)}(x) = \\cos(x)$ ← Vuelve al inicio",
        "",
        "### 🔄 **Tabla del ciclo:**",
        "",
        "| $n \\mod 4$ | $g^{(n)}(x)$ |",
        "|------------|--------------|",
        "| 0          | $\\cos(x)$   |",
        "| 1          | $-\\sin(x)$  |",
        "| 2          | $-\\cos(x)$  |",
        "| 3          | $\\sin(x)$   |",
        "",
        "### 🧮 **Para $n = 100$:**",
        "",
        "$$100 \\div 4 = 25 \\text{ con residuo } 0$$",
        "$$100 \\mod 4 = 0$$",
        "",
        "Por lo tanto:",
        "$$g^{(100)}(x) = \\cos(x)$$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$g^{(100)}(x) = \\cos(x)$"
      ],
      "explanation": "100 mod 4 = 0 → derivada en posición 0 del ciclo → cos(x)"
    },
    {
      "id": "dos-009",
      "topic": "formula-leibniz",
      "question": "La **regla de Leibniz** para la derivada de un producto dice que $(fg)^{(n)} = \\sum_{k=0}^{n} \\binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$. ¿Cuál es $(fg)''$ usando esta fórmula?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$f''g + 2f'g' + fg''$",
        "$f''g + fg''$",
        "$f''g'' + f'g'$",
        "$f''g + f'g' + fg''$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "Para $n=2$: usa coeficientes binomiales $\\binom{2}{0}, \\binom{2}{1}, \\binom{2}{2}$",
        "$\\binom{2}{0} = 1, \\binom{2}{1} = 2, \\binom{2}{2} = 1$",
        "Suma: $f''g + 2f'g' + fg''$"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 📚 **Regla de Leibniz**",
        "",
        "**Fórmula general para la $n$-ésima derivada de un producto:**",
        "",
        "$$(fg)^{(n)} = \\sum_{k=0}^{n} \\binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$$",
        "",
        "### 🧮 **Para $n = 2$ (segunda derivada):**",
        "",
        "$$(fg)'' = \\sum_{k=0}^{2} \\binom{2}{k} f^{(k)} g^{(2-k)}$$",
        "",
        "**Expandiendo:**",
        "",
        "$k=0$: $\\binom{2}{0} f^{(0)} g^{(2)} = 1 \\cdot f \\cdot g'' = fg''$",
        "",
        "$k=1$: $\\binom{2}{1} f^{(1)} g^{(1)} = 2 \\cdot f' \\cdot g' = 2f'g'$",
        "",
        "$k=2$: $\\binom{2}{2} f^{(2)} g^{(0)} = 1 \\cdot f'' \\cdot g = f''g$",
        "",
        "**Sumando:**",
        "$$(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''$$",
        "",
        "### 💡 **Comparación con binomio:**",
        "$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$",
        "",
        "$(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''$ ← ¡Mismo patrón!",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''$"
      ],
      "explanation": "Leibniz con n=2: coeficientes 1,2,1 → f''g + 2f'g' + fg''"
    },
    {
      "id": "dos-010",
      "topic": "formula-leibniz",
      "question": "Usando la regla de Leibniz, calcula la **tercera derivada** de $h(x) = x^2 e^x$.",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$e^x(x^2 + 6x + 6)$",
        "$e^x(x^2 + 3x + 3)$",
        "$6xe^x$",
        "$e^x(2x + 6)$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "$f(x) = x^2$, $g(x) = e^x$",
        "$f'''(x) = 0$, $f''(x) = 2$, $f'(x) = 2x$",
        "Todas las derivadas de $e^x$ son $e^x$"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🧮 **Regla de Leibniz para $n=3$**",
        "",
        "$$h(x) = x^2 \\cdot e^x$$",
        "",
        "Sea $f(x) = x^2$ y $g(x) = e^x$",
        "",
        "### 📊 **Derivadas de cada función:**",
        "",
        "**Para $f(x) = x^2$:**",
        "- $f(x) = x^2$",
        "- $f'(x) = 2x$",
        "- $f''(x) = 2$",
        "- $f'''(x) = 0$",
        "",
        "**Para $g(x) = e^x$:**",
        "- $g(x) = e^x$",
        "- $g'(x) = e^x$",
        "- $g''(x) = e^x$",
        "- $g'''(x) = e^x$",
        "",
        "### 📐 **Aplicando Leibniz:**",
        "",
        "$$(fg)''' = \\sum_{k=0}^{3} \\binom{3}{k} f^{(k)} g^{(3-k)}$$",
        "",
        "$k=0$: $\\binom{3}{0} f g''' = 1 \\cdot x^2 \\cdot e^x = x^2 e^x$",
        "",
        "$k=1$: $\\binom{3}{1} f' g'' = 3 \\cdot 2x \\cdot e^x = 6xe^x$",
        "",
        "$k=2$: $\\binom{3}{2} f'' g' = 3 \\cdot 2 \\cdot e^x = 6e^x$",
        "",
        "$k=3$: $\\binom{3}{3} f''' g = 1 \\cdot 0 \\cdot e^x = 0$",
        "",
        "### 🔢 **Sumando:**",
        "$$(x^2 e^x)''' = x^2 e^x + 6xe^x + 6e^x$$",
        "$$= e^x(x^2 + 6x + 6)$$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$h'''(x) = e^x(x^2 + 6x + 6)$"
      ],
      "explanation": "Leibniz n=3: coef. 1,3,3,1 → suma términos → e^x(x²+6x+6)"
    },
    {
      "id": "dos-011",
      "topic": "aplicaciones-fisica",
      "question": "En física, si $s(t)$ es la posición, $v(t) = s'(t)$ es la velocidad, y $a(t) = v'(t) = s''(t)$ es la aceleración. ¿Qué representa $s'''(t)$?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "La **sobresacudida** (jerk): tasa de cambio de la aceleración",
        "La fuerza",
        "La energía cinética",
        "El impulso"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "$s(t)$ = posición",
        "$s'(t)$ = velocidad",
        "$s''(t)$ = aceleración",
        "$s'''(t)$ = ¿?"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🚗 **Derivadas en cinemática**",
        "",
        "**Función de posición:** $s(t)$",
        "",
        "### 📊 **Primera derivada (velocidad):**",
        "$$v(t) = s'(t) = \\frac{ds}{dt}$$",
        "- Mide qué tan rápido cambia la posición",
        "- Unidades: m/s, km/h, etc.",
        "",
        "### 📊 **Segunda derivada (aceleración):**",
        "$$a(t) = v'(t) = s''(t) = \\frac{d^2s}{dt^2}$$",
        "- Mide qué tan rápido cambia la velocidad",
        "- Unidades: m/s², g (gravedad)",
        "",
        "### 📊 **Tercera derivada (sobresacudida/jerk):**",
        "$$j(t) = a'(t) = s'''(t) = \\frac{d^3s}{dt^3}$$",
        "- Mide qué tan rápido cambia la aceleración",
        "- Unidades: m/s³",
        "- En inglés: **jerk**, **jolt**, o **surge**",
        "",
        "### 💡 **Importancia del jerk:**",
        "- **Diseño de ascensores**: minimizar jerk para comodidad",
        "- **Montañas rusas**: controlar cambios bruscos de aceleración",
        "- **Robótica**: movimientos suaves",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$s'''(t)$ = **sobresacudida** (jerk) = tasa de cambio de la aceleración"
      ],
      "explanation": "s'(t)=velocidad, s''(t)=aceleración, s'''(t)=jerk (cambio de aceleración)"
    },
    {
      "id": "dos-012",
      "topic": "aplicaciones-fisica",
      "question": "Si la posición de un objeto es $s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$, ¿cuál es el **jerk** en $t = 1$?",
      "type": "numeric",
      "correct": 12,
      "tolerance": 0.1,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "$v(t) = s'(t) = 6t^2 - 18t + 12$",
        "$a(t) = s''(t) = 12t - 18$",
        "$j(t) = s'''(t) = 12$"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🚀 **Posición:**",
        "$$s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$$",
        "",
        "### 🧮 **Primera derivada (velocidad):**",
        "$$v(t) = s'(t) = 6t^2 - 18t + 12$$",
        "",
        "### 🧮 **Segunda derivada (aceleración):**",
        "$$a(t) = s''(t) = 12t - 18$$",
        "",
        "### 🧮 **Tercera derivada (jerk):**",
        "$$j(t) = s'''(t) = 12$$",
        "",
        "### 📍 **En $t = 1$:**",
        "$$j(1) = 12$$",
        "",
        "### 💡 **Observación:**",
        "El jerk es **constante** (no depende de $t$) porque $s(t)$ es un polinomio de grado 3.",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$j(1) = 12$ m/s³"
      ],
      "explanation": "s'''(t) = 12 (constante) → j(1) = 12 m/s³"
    },
    {
      "id": "dos-013",
      "topic": "ecuaciones-diferenciales",
      "question": "Una función $y(x)$ satisface la ecuación $y'' - 4y = 0$. ¿Cuál de las siguientes es solución?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$y = e^{2x}$",
        "$y = x^2$",
        "$y = \\sin(2x)$",
        "$y = 2x$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "avanzado",
      "hints": [
        "Calcula $y''$ para cada opción",
        "Verifica si $y'' = 4y$",
        "Para $y = e^{2x}$: $y'' = 4e^{2x} = 4y$ ✓"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🔬 **Verificación de soluciones**",
        "",
        "**Ecuación:** $y'' - 4y = 0$ o equivalente $y'' = 4y$",
        "",
        "### **Opción A: $y = e^{2x}$**",
        "",
        "$y' = 2e^{2x}$",
        "",
        "$y'' = 4e^{2x}$",
        "",
        "**Verificar:** $y'' = 4y$?",
        "$$4e^{2x} = 4e^{2x}$$ ✅ **¡Sí!**",
        "",
        "### **Opción B: $y = x^2$**",
        "",
        "$y' = 2x$",
        "",
        "$y'' = 2$",
        "",
        "**Verificar:** $y'' = 4y$?",
        "$$2 = 4x^2$$ ❌ No",
        "",
        "### **Opción C: $y = \\sin(2x)$**",
        "",
        "$y' = 2\\cos(2x)$",
        "",
        "$y'' = -4\\sin(2x)$",
        "",
        "**Verificar:** $y'' = 4y$?",
        "$$-4\\sin(2x) = 4\\sin(2x)$$ ❌ No",
        "",
        "### **Opción D: $y = 2x$**",
        "",
        "$y' = 2$",
        "",
        "$y'' = 0$",
        "",
        "**Verificar:** $y'' = 4y$?",
        "$$0 = 4(2x) = 8x$$ ❌ No",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$y = e^{2x}$ es solución"
      ],
      "explanation": "Para y=e^(2x): y''=4e^(2x)=4y ✓, cumple y''-4y=0"
    },
    {
      "id": "dos-014",
      "topic": "series-taylor",
      "question": "Para calcular la **serie de Taylor** de $f(x)$ alrededor de $x = a$, necesitas conocer:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Todas las derivadas de $f$ evaluadas en $x = a$",
        "Solo $f(a)$ y $f'(a)$",
        "Solo la primera y segunda derivada",
        "Solo el valor de $f(x)$ en varios puntos"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Serie de Taylor: $f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$",
        "Necesitas $f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), \\ldots$",
        "¡Todas las derivadas!"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 📚 **Serie de Taylor**",
        "",
        "**Definición:** La serie de Taylor de $f(x)$ alrededor de $x = a$ es:",
        "",
        "$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$",
        "",
        "### 🧮 **Expandiendo:**",
        "",
        "$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \\cdots$$",
        "",
        "### 📊 **Componentes necesarios:**",
        "",
        "- $f(a)$ ← valor de la función",
        "- $f'(a)$ ← primera derivada",
        "- $f''(a)$ ← segunda derivada",
        "- $f'''(a)$ ← tercera derivada",
        "- $\\vdots$",
        "- $f^{(n)}(a)$ ← $n$-ésima derivada",
        "",
        "### 💡 **Caso especial ($a = 0$):**",
        "Se llama **Serie de Maclaurin**",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "Necesitas **todas las derivadas** $f^{(n)}(a)$ para $n = 0, 1, 2, 3, \\ldots$"
      ],
      "explanation": "Serie de Taylor requiere f(a), f'(a), f''(a), ... todas las derivadas en a"
    },
    {
      "id": "dos-015",
      "topic": "series-taylor",
      "question": "Los primeros términos de la **serie de Maclaurin** ($a=0$) de $e^x$ son:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$1 + x + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + \\cdots$",
        "$1 + x + x^2 + x^3 + \\cdots$",
        "$x + \\frac{x^2}{2} + \\frac{x^3}{3} + \\cdots$",
        "$1 - x + x^2 - x^3 + \\cdots$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Todas las derivadas de $e^x$ son $e^x$",
        "$f^{(n)}(0) = e^0 = 1$ para todo $n$",
        "Serie: $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^n}{n!}$"
      ],
      "stepByStep": [
        "### 🧮 **Serie de Maclaurin de $e^x$**",
        "",
        "**Fórmula:** $f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$",
        "",
        "### 📊 **Derivadas de $e^x$:**",
        "",
        "$f(x) = e^x$ → $f(0) = 1$",
        "",
        "$f'(x) = e^x$ → $f'(0) = 1$",
        "",
        "$f''(x) = e^x$ → $f''(0) = 1$",
        "",
        "$f'''(x) = e^x$ → $f'''(0) = 1$",
        "",
        "$\\vdots$",
        "",
        "$f^{(n)}(0) = 1$ para todo $n$",
        "",
        "### 🔢 **Construyendo la serie:**",
        "",
        "$$e^x = \\frac{f(0)}{0!}x^0 + \\frac{f'(0)}{1!}x^1 + \\frac{f''(0)}{2!}x^2 + \\frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \\cdots$$",
        "",
        "$$e^x = \\frac{1}{1} + \\frac{1}{1}x + \\frac{1}{2}x^2 + \\frac{1}{6}x^3 + \\cdots$$",
        "",
        "$$e^x = 1 + x + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + \\frac{x^4}{4!} + \\cdots$$",
        "",
        "### 💡 **Notación compacta:**",
        "$$e^x = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^n}{n!}$$",
        "",
        "### ✅ **Respuesta:**",
        "$e^x = 1 + x + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + \\cdots$"
      ],
      "explanation": "Todas las derivadas de e^x son 1 en x=0 → coeficientes: 1/n!"
    }
  ]
}