{
  "dominio-maximo-funcion": [
    {
      "id": "dom-001",
      "topic": "dominio-funcion",
      "question": "¿Qué es el dominio de una función?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "El conjunto de todos los valores de x para los cuales la función está definida",
        "El conjunto de todos los valores de y que puede tomar la función",
        "El rango de la función",
        "El conjunto de puntos donde la función es continua"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "El dominio se relaciona con los valores de entrada (x)",
        "Piensa en qué valores de x puedes 'meter' en la función",
        "El dominio son los valores 'permitidos' para la variable independiente"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Dominio de una Función**",
        "",
        "**Definición:**",
        "El dominio de una función f es el conjunto de todos los valores de x para los cuales f(x) está definida.",
        "",
        "**Notación:**",
        "Se denota como Dom(f) o D_f",
        "",
        "**Interpretación:**",
        "• Son los valores 'permitidos' para la variable independiente",
        "• Son los valores de x que podemos sustituir en la función",
        "• Son los valores de entrada que producen un resultado válido",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "",
        "**Función lineal:** f(x) = 2x + 3",
        "Podemos sustituir cualquier número real, por lo tanto:",
        "Dom(f) = ℝ",
        "",
        "**Función racional:** f(x) = 1/(x - 2)",
        "No podemos dividir por cero, por lo tanto:",
        "x - 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2",
        "Dom(f) = ℝ \\ {2}",
        "",
        "**Función raíz:** f(x) = √(x - 1)",
        "El radicando debe ser no negativo, por lo tanto:",
        "x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1",
        "Dom(f) = [1, ∞)"
      ],
      "explanation": "El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de x para los cuales la función está definida. Son los valores de entrada que producen un resultado válido en la función."
    },
    {
      "id": "dom-002",
      "topic": "dominio-funcion-racional",
      "question": "¿Cuál es el dominio de f(x) = (x + 3)/(x² - 4)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "ℝ \\ {-2, 2}",
        "ℝ \\ {-3}",
        "ℝ \\ {4}",
        "ℝ"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "En una función racional, el denominador no puede ser cero",
        "Resuelve x² - 4 = 0",
        "Los valores que anulen el denominador se excluyen del dominio"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Dominio de Función Racional**",
        "",
        "**Función:** f(x) = (x + 3)/(x² - 4)",
        "",
        "**Regla:**",
        "En una función racional, el denominador no puede ser cero.",
        "",
        "**Procedimiento:**",
        "",
        "**Paso 1:** Identificar el denominador",
        "Denominador: x² - 4",
        "",
        "**Paso 2:** Igualar a cero y resolver",
        "x² - 4 = 0",
        "x² = 4",
        "x = ±2",
        "",
        "**Paso 3:** Excluir estos valores del dominio",
        "Los valores x = -2 y x = 2 hacen que el denominador sea cero,",
        "por lo tanto deben excluirse del dominio.",
        "",
        "**Paso 4:** Escribir el dominio",
        "Dom(f) = ℝ \\ {-2, 2}",
        "",
        "**Verificación:**",
        "• Para x = -2: f(-2) = (-2 + 3)/((-2)² - 4) = 1/0 (indefinido) ✓",
        "• Para x = 2: f(2) = (2 + 3)/(2² - 4) = 5/0 (indefinido) ✓",
        "• Para cualquier otro valor de x, la función está definida"
      ],
      "explanation": "Para encontrar el dominio de una función racional, excluimos los valores que anulan el denominador. Resolviendo x² - 4 = 0 obtenemos x = ±2. Por lo tanto, el dominio es ℝ \\ {-2, 2}."
    },
    {
      "id": "dom-003",
      "topic": "dominio-funcion-radical",
      "question": "¿Cuál es el dominio de f(x) = √(4 - x²)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "[-2, 2]",
        "[-4, 4]",
        "(-∞, 4]",
        "[0, 2]"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "En una raíz cuadrada, el radicando debe ser no negativo",
        "Resuelve la desigualdad 4 - x² ≥ 0",
        "Factoriza como una diferencia de cuadrados si ayuda"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Dominio de Función con Raíz Cuadrada**",
        "",
        "**Función:** f(x) = √(4 - x²)",
        "",
        "**Regla:**",
        "En una raíz cuadrada, el radicando debe ser no negativo.",
        "",
        "**Procedimiento:**",
        "",
        "**Paso 1:** Establecer la condición",
        "4 - x² ≥ 0",
        "",
        "**Paso 2:** Resolver la desigualdad",
        "4 - x² ≥ 0",
        "-x² ≥ -4",
        "x² ≤ 4 (multiplicamos por -1 y cambiamos el sentido)",
        "",
        "**Paso 3:** Resolver x² ≤ 4",
        "Tomando raíz cuadrada en ambos lados:",
        "|x| ≤ 2",
        "Esto significa que -2 ≤ x ≤ 2",
        "",
        "**Paso 4:** Escribir el dominio",
        "Dom(f) = [-2, 2]",
        "",
        "**Verificación:**",
        "• Para x = 0: f(0) = √(4 - 0) = √4 = 2 ✓",
        "• Para x = 2: f(2) = √(4 - 4) = √0 = 0 ✓",
        "• Para x = -2: f(-2) = √(4 - 4) = √0 = 0 ✓",
        "• Para x = 3: f(3) = √(4 - 9) = √(-5) (indefinido en ℝ) ✓"
      ],
      "explanation": "Para el dominio de una raíz cuadrada, el radicando debe ser no negativo. Resolviendo 4 - x² ≥ 0 obtenemos x² ≤ 4, lo que significa -2 ≤ x ≤ 2. Por lo tanto, el dominio es [-2, 2]."
    },
    {
      "id": "dom-004",
      "topic": "dominio-funcion-logaritmica",
      "question": "¿Cuál es el dominio de f(x) = ln(2x - 1)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "(1/2, ∞)",
        "(0, ∞)",
        "(-∞, 1/2)",
        "[1/2, ∞)"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "En un logaritmo natural, el argumento debe ser positivo",
        "Resuelve la desigualdad 2x - 1 > 0",
        "Recuerda que el logaritmo no está definido para valores ≤ 0"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Dominio de Función Logarítmica**",
        "",
        "**Función:** f(x) = ln(2x - 1)",
        "",
        "**Regla:**",
        "En un logaritmo natural, el argumento debe ser positivo.",
        "",
        "**Procedimiento:**",
        "",
        "**Paso 1:** Identificar el argumento del logaritmo",
        "Argumento: 2x - 1",
        "",
        "**Paso 2:** Establecer la condición",
        "2x - 1 > 0",
        "",
        "**Paso 3:** Resolver la desigualdad",
        "2x > 1",
        "x > 1/2",
        "",
        "**Paso 4:** Escribir el dominio",
        "Dom(f) = (1/2, ∞)",
        "",
        "**Verificación:**",
        "• Para x = 1: f(1) = ln(2·1 - 1) = ln(1) = 0 ✓",
        "• Para x = 0.6: f(0.6) = ln(2·0.6 - 1) = ln(0.2) (definido) ✓",
        "• Para x = 0.5: f(0.5) = ln(2·0.5 - 1) = ln(0) (indefinido) ✓",
        "• Para x = 0: f(0) = ln(2·0 - 1) = ln(-1) (indefinido) ✓",
        "",
        "**Nota:**",
        "El límite inferior es abierto (paréntesis) porque x = 1/2 hace que",
        "el argumento sea 0, y ln(0) no está definido."
      ],
      "explanation": "Para el dominio de un logaritmo, el argumento debe ser positivo. Resolviendo 2x - 1 > 0 obtenemos x > 1/2. Por lo tanto, el dominio es (1/2, ∞)."
    },
    {
      "id": "dom-005",
      "topic": "dominio-funcion-compuesta",
      "question": "Encuentra el dominio de f(x) = √(x - 1)/(x - 3)",
      "type": "code-editor",
      "difficulty": "dificil",
      "problemText": "Determina el dominio de la función f(x) = √(x - 1)/(x - 3)\n\nPasos:\n1. Identifica las restricciones: raíz cuadrada y denominador\n2. Establece las condiciones para cada restricción\n3. Resuelve las desigualdades/ecuaciones\n4. Encuentra la intersección de todas las condiciones\n5. Escribe el dominio final",
      "initialCode": "// f(x) = √(x - 1)/(x - 3)\n\n// Paso 1: Identificar restricciones\n// - Raíz cuadrada: el radicando debe ser ≥ 0\n// - Denominador: no puede ser 0\n\n// Paso 2: Establecer condiciones\n// x - 1 ≥ 0\n// x - 3 ≠ 0\n\n// Paso 3: Resolver las condiciones\n// x ≥ 1\n// x ≠ 3\n\n// Paso 4: Encontrar la intersección\n// Los valores que cumplen ambas condiciones\n\n// Paso 5: Escribir el dominio final",
      "expectedOutput": "Dom(f) = [1, 3) ∪ (3, ∞)",
      "hints": [
        "Para la raíz: x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1",
        "Para el denominador: x - 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3",
        "Combina ambas condiciones: x ≥ 1 y x ≠ 3",
        "Esto se escribe como [1, 3) ∪ (3, ∞)"
      ],
      "testCases": [
        {
          "input": "",
          "expectedOutput": "Dom(f) = [1, 3) ∪ (3, ∞)"
        }
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Dominio de Función Compuesta**",
        "",
        "**Función:** f(x) = √(x - 1)/(x - 3)",
        "",
        "**Paso 1:** Identificar restricciones",
        "• Raíz cuadrada: el radicando debe ser ≥ 0",
        "• Denominador: no puede ser 0",
        "",
        "**Paso 2:** Establecer condiciones",
        "• x - 1 ≥ 0",
        "• x - 3 ≠ 0",
        "",
        "**Paso 3:** Resolver las condiciones",
        "• x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1",
        "• x - 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3",
        "",
        "**Paso 4:** Encontrar la intersección",
        "Buscamos los valores que cumplen ambas condiciones:",
        "x ≥ 1 y x ≠ 3",
        "",
        "**Paso 5:** Escribir el dominio final",
        "Dom(f) = [1, 3) ∪ (3, ∞)",
        "",
        "**Verificación:**",
        "• Para x = 1: f(1) = √(1 - 1)/(1 - 3) = 0/(-2) = 0 ✓",
        "• Para x = 2: f(2) = √(2 - 1)/(2 - 3) = 1/(-1) = -1 ✓",
        "• Para x = 3: f(3) = √(3 - 1)/(3 - 3) = √2/0 (indefinido) ✓",
        "• Para x = 0: f(0) = √(0 - 1)/(0 - 3) = √(-1)/(-3) (indefinido) ✓"
      ]
    },
    {
      "id": "dom-006",
      "topic": "dominio-funcion-valor-absoluto",
      "question": "¿Cuál es el dominio de f(x) = |x - 2| + √(x + 1)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "[-1, ∞)",
        "[-1, 2]",
        "[2, ∞)",
        "ℝ"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "El valor absoluto está definido para todos los números reales",
        "La raíz cuadrada requiere que el radicando sea no negativo",
        "Solo necesitas considerar la restricción más estricta"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Dominio de Función con Valor Absoluto y Raíz**",
        "",
        "**Función:** f(x) = |x - 2| + √(x + 1)",
        "",
        "**Análisis de cada término:**",
        "",
        "**Término 1:** |x - 2|",
        "El valor absoluto está definido para todos los números reales.",
        "No hay restricciones de este término.",
        "",
        "**Término 2:** √(x + 1)",
        "El radicando debe ser no negativo:",
        "x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1",
        "",
        "**Combinación de condiciones:**",
        "Como el primer término no tiene restricciones y el segundo requiere x ≥ -1,",
        "el dominio está determinado por la restricción más estricta.",
        "",
        "**Dominio:**",
        "Dom(f) = [ -1, ∞)",
        "",
        "**Verificación:**",
        "• Para x = -1: f(-1) = |-1 - 2| + √(-1 + 1) = 3 + 0 = 3 ✓",
        "• Para x = 0: f(0) = |0 - 2| + √(0 + 1) = 2 + 1 = 3 ✓",
        "• Para x = -2: f(-2) = |-2 - 2| + √(-2 + 1) = 4 + √(-1) (indefinido) ✓"
      ],
      "explanation": "El término |x - 2| está definido para todos los reales, pero √(x + 1) requiere x ≥ -1. Por lo tanto, el dominio está determinado por la restricción de la raíz: Dom(f) = [-1, ∞)."
    },
    {
      "id": "dom-007",
      "topic": "dominio-funcion-exponencial",
      "question": "¿Cuál es el dominio de f(x) = e^(1/(x - 2))?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "ℝ \\ {2}",
        "ℝ",
        "ℝ \\ {0}",
        "(2, ∞)"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "La función exponencial e^x está definida para todos los reales",
        "Pero aquí el exponente es 1/(x - 2)",
        "El denominador no puede ser cero"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Dominio de Función Exponencial Compuesta**",
        "",
        "**Función:** f(x) = e^(1/(x - 2))",
        "",
        "**Análisis:**",
        "",
        "**Función externa:** e^u",
        "La función exponencial está definida para todos los números reales.",
        "",
        "**Función interna:** u = 1/(x - 2)",
        "Esta es una función racional, por lo que el denominador no puede ser cero.",
        "",
        "**Restricción:**",
        "x - 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2",
        "",
        "**Dominio:**",
        "Como la función externa no impone restricciones adicionales,",
        "el dominio está determinado únicamente por la función interna.",
        "",
        "Dom(f) = ℝ \\ {2}",
        "",
        "**Verificación:**",
        "• Para x = 0: f(0) = e^(1/(0 - 2)) = e^(-1/2) ✓",
        "• Para x = 3: f(3) = e^(1/(3 - 2)) = e^1 ✓",
        "• Para x = 2: f(2) = e^(1/(2 - 2)) = e^(1/0) (indefinido) ✓",
        "",
        "**Nota:**",
        "Aunque el exponente tiende a ±∞ cuando x → 2,",
        "la función está definida para todos los demás valores."
      ],
      "explanation": "La función exponencial e^x está definida para todos los reales, pero el exponente 1/(x - 2) requiere que el denominador no sea cero. Por lo tanto, x ≠ 2 y el dominio es ℝ \\ {2}."
    },
    {
      "id": "dom-008",
      "topic": "dominio-funcion-compuesta",
      "question": "Ordena los pasos para encontrar el dominio de una función compuesta",
      "type": "ordering",
      "difficulty": "facil",
      "items": [
        "Identificar todas las restricciones (raíces, denominadores, logaritmos, etc.)",
        "Establecer las condiciones matemáticas para cada restricción",
        "Resolver las desigualdades o ecuaciones correspondientes",
        "Encontrar la intersección de todas las condiciones",
        "Escribir el dominio final usando notación de intervalos"
      ],
      "correctOrder": [0, 1, 2, 3, 4],
      "hints": [
        "Primero identifica qué tipo de función es y qué restricciones aplica",
        "Luego escribe las condiciones matemáticas para cada restricción",
        "Resuelve cada condición por separado",
        "Finalmente combina todas las condiciones"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Proceso para Encontrar el Dominio**",
        "",
        "**Paso 1:** Identificar restricciones",
        "• Raíces pares: radicando ≥ 0",
        "• Raíces impares: sin restricciones",
        "• Denominadores: ≠ 0",
        "• Logaritmos: argumento > 0",
        "• Funciones trigonométricas: depende de la función específica",
        "",
        "**Paso 2:** Establecer condiciones",
        "Escribe las desigualdades o ecuaciones que representan las restricciones.",
        "",
        "**Paso 3:** Resolver condiciones",
        "Resuelve cada desigualdad o ecuación por separado.",
        "",
        "**Paso 4:** Encontrar intersección",
        "Busca los valores que cumplen TODAS las condiciones simultáneamente.",
        "",
        "**Paso 5:** Escribir dominio",
        "Usa notación de intervalos para expresar el dominio final.",
        "",
        "**Ejemplo:**",
        "f(x) = √(x - 2)/(x - 5)",
        "1. Restricciones: raíz y denominador",
        "2. Condiciones: x - 2 ≥ 0, x - 5 ≠ 0",
        "3. Soluciones: x ≥ 2, x ≠ 5",
        "4. Intersección: [2, ∞) excluyendo 5",
        "5. Dominio: [2, 5) ∪ (5, ∞)"
      ],
      "explanation": "El proceso sistemático para encontrar el dominio comienza identificando todas las restricciones, estableciendo las condiciones matemáticas, resolviéndolas por separado, encontrando la intersección de todas las condiciones y finalmente escribiendo el dominio usando notación de intervalos."
    },
    {
      "id": "dom-009",
      "topic": "dominio-funcion-trigonometrica",
      "question": "¿Cuál es el dominio de f(x) = tan(x) + sec(x)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "ℝ \\ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}",
        "ℝ",
        "ℝ \\ {kπ, k ∈ ℤ}",
        "ℝ \\ {π/4 + kπ/2, k ∈ ℤ}"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "dificil",
      "hints": [
        "Recuerda que tan(x) = sen(x)/cos(x)",
        "Recuerda que sec(x) = 1/cos(x)",
        "Ambas funciones tienen problemas cuando cos(x) = 0"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Dominio de Función Trigonométrica Compuesta**",
        "",
        "**Función:** f(x) = tan(x) + sec(x)",
        "",
        "**Análisis de cada término:**",
        "",
        "**Término 1:** tan(x) = sen(x)/cos(x)",
        "Restricción: cos(x) ≠ 0",
        "cos(x) = 0 cuando x = π/2 + kπ, donde k ∈ ℤ",
        "",
        "**Término 2:** sec(x) = 1/cos(x)",
        "Restricción: cos(x) ≠ 0",
        "cos(x) = 0 cuando x = π/2 + kπ, donde k ∈ ℤ",
        "",
        "**Combinación de restricciones:**",
        "Ambos términos tienen la misma restricción: cos(x) ≠ 0",
        "Por lo tanto, excluimos los mismos valores en ambos casos.",
        "",
        "**Valores excluidos:**",
        "x = π/2 + kπ, donde k ∈ ℤ",
        "Es decir: ..., -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2, ...",
        "",
        "**Dominio:**",
        "Dom(f) = ℝ \\ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}",
        "",
        "**Verificación:**",
        "• Para x = 0: f(0) = tan(0) + sec(0) = 0 + 1 = 1 ✓",
        "• Para x = π/4: f(π/4) = tan(π/4) + sec(π/4) = 1 + √2 ✓",
        "• Para x = π/2: f(π/2) = tan(π/2) + sec(π/2) (indefinido) ✓"
      ],
      "explanation": "Tanto tan(x) como sec(x) tienen problemas cuando cos(x) = 0. Como cos(x) = 0 en x = π/2 + kπ (donde k es entero), estos valores deben excluirse del dominio. Por lo tanto, Dom(f) = ℝ \\ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}."
    },
    {
      "id": "dom-010",
      "topic": "dominio-funcion-inversa",
      "question": "Si el dominio de f es [2, ∞) y f es estrictamente creciente, ¿cuál es el rango de f⁻¹?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "El rango de f⁻¹ es [2, ∞)",
        "El rango de f⁻¹ es (-∞, 2]",
        "El rango de f⁻¹ es (0, ∞)",
        "No se puede determinar sin más información"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "dificil",
      "hints": [
        "Recuerda la relación entre dominio y rango de funciones inversas",
        "El dominio de f⁻¹ es el rango de f",
        "El rango de f⁻¹ es el dominio de f"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Relación entre Dominio y Rango de Funciones Inversas**",
        "",
        "**Concepto clave:**",
        "Si f tiene inversa f⁻¹, entonces:",
        "• El dominio de f⁻¹ es el rango de f",
        "• El rango de f⁻¹ es el dominio de f",
        "",
        "**Notación:**",
        "Si Dom(f) = A y Rango(f) = B, entonces:",
        "Dom(f⁻¹) = B y Rango(f⁻¹) = A",
        "",
        "**Aplicación al problema:**",
        "• Dom(f) = [2, ∞)",
        "• f es estrictamente creciente (lo que garantiza que tiene inversa)",
        "",
        "**Por lo tanto:**",
        "Rango(f⁻¹) = Dom(f) = [2, ∞)",
        "",
        "**Intuición geométrica:**",
        "La gráfica de f⁻¹ es la reflexión de la gráfica de f",
        "respecto a la recta y = x.",
        "Esta reflexión intercambia los roles de x e y,",
        "por lo que el dominio se convierte en rango y viceversa.",
        "",
        "**Ejemplo concreto:**",
        "Si f(x) = x² + 4 con Dom(f) = [2, ∞),",
        "entonces f⁻¹(x) = √(x - 4) con Dom(f⁻¹) = [8, ∞)",
        "y Rango(f⁻¹) = [2, ∞) = Dom(f)",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "El rango de f⁻¹ es [2, ∞)"
      ],
      "explanation": "Por la relación entre funciones inversas, el rango de f⁻¹ es igual al dominio de f. Como Dom(f) = [2, ∞), entonces Rango(f⁻¹) = [2, ∞)."
    }
  ]
}