{
  "ecuaciones-asintotas": [
    {
      "id": "asi-001",
      "topic": "asintotas-verticales",
      "question": "¿Cuál es la condición para que x = a sea una asíntota vertical de f?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "lim x→a f(x) = ±∞",
        "lim x→∞ f(x) = a",
        "f(a) = 0",
        "f'(a) = 0"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Una asíntota vertical ocurre cuando la función 'tiende a infinito'",
        "Piensa en el comportamiento cuando x se acerca a un valor específico",
        "El límite debe ser infinito (positivo o negativo)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Asíntotas Verticales**",
        "",
        "**Definición:**",
        "La recta x = a es una asíntota vertical de f si",
        "lim x→a⁺ f(x) = ±∞ o lim x→a⁻ f(x) = ±∞",
        "",
        "**Interpretación geométrica:**",
        "• La gráfica de f se acerca infinitamente a la recta x = a",
        "• La función crece sin bounde cuando x se acerca a a",
        "• La recta x = a es una barrera que la función nunca cruza",
        "",
        "**Ejemplos típicos:**",
        "• f(x) = 1/(x-2) tiene asíntota vertical en x = 2",
        "• f(x) = ln(x) tiene asíntota vertical en x = 0",
        "• f(x) = tan(x) tiene asíntotas verticales en x = π/2 + kπ",
        "",
        "**Importante:**",
        "Las asíntotas verticales ocurren típicamente en:",
        "• Puntos donde el denominador se anula (funciones racionales)",
        "• Puntos fuera del dominio (logaritmos, raíces)"
      ],
      "explanation": "Una asíntota vertical x = a ocurre cuando la función tiende a infinito (positivo o negativo) cuando x se acerca al valor a. Formalmente: lim x→a f(x) = ±∞."
    },
    {
      "id": "asi-002",
      "topic": "asintotas-horizontales",
      "question": "¿Cuál es la condición para que y = b sea una asíntota horizontal de f?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "lim x→±∞ f(x) = b",
        "lim x→b f(x) = ±∞",
        "f(b) = 0",
        "f'(b) = 0"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Una asíntota horizontal describe el comportamiento cuando x → ∞",
        "Piensa en el valor al que se acerca la función cuando x es muy grande",
        "El límite debe ser un número finito b"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Asíntotas Horizontales**",
        "",
        "**Definición:**",
        "La recta y = b es una asíntota horizontal de f si",
        "lim x→∞ f(x) = b o lim x→-∞ f(x) = b",
        "",
        "**Interpretación geométrica:**",
        "• La gráfica de f se acerca infinitamente a la recta y = b",
        "• Cuando x es muy grande (positivo o negativo), f(x) ≈ b",
        "• La recta y = b es una 'barrera' horizontal",
        "",
        "**Ejemplos típicos:**",
        "• f(x) = 1/x tiene asíntota horizontal en y = 0",
        "• f(x) = e^(-x) tiene asíntota horizontal en y = 0 cuando x → ∞",
        "• f(x) = arctan(x) tiene asíntotas en y = π/2 y y = -π/2",
        "",
        "**Regla práctica:**",
        "Para funciones racionales P(x)/Q(x):",
        "• Si grado(P) < grado(Q): asíntota horizontal en y = 0",
        "• Si grado(P) = grado(Q): asíntota horizontal en y = coeficiente líder de P/coeficiente líder de Q"
      ],
      "explanation": "Una asíntota horizontal y = b ocurre cuando la función tiende al valor finito b cuando x tiende a infinito (positivo o negativo). Formalmente: lim x→±∞ f(x) = b."
    },
    {
      "id": "asi-003",
      "topic": "asintotas-verticales",
      "question": "Encuentra las asíntotas verticales de f(x) = (x² - 4)/(x² - x - 2)",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "x = 2 y x = -1",
        "x = -2 y x = 1",
        "x = 2 y x = 1",
        "x = -2 y x = -1"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador se anula",
        "Resuelve x² - x - 2 = 0",
        "Verifica que el numerador no se anule en los mismos puntos"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Asíntotas Verticales en Funciones Racionales**",
        "",
        "**Función:** f(x) = (x² - 4)/(x² - x - 2)",
        "",
        "**Paso 1:** Factorizar numerador y denominador",
        "Numerador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)",
        "Denominador: x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1)",
        "",
        "**Paso 2:** Simplificar si es posible",
        "f(x) = (x - 2)(x + 2)/(x - 2)(x + 1)",
        "f(x) = (x + 2)/(x + 1), para x ≠ 2",
        "",
        "**Paso 3:** Encontrar asíntotas verticales",
        "El denominador se anula en x = -1",
        "lim x→-1 (x + 2)/(x + 1) = ±∞",
        "",
        "**Paso 4:** Verificar x = 2",
        "En x = 2 hay un 'agujero' (removable discontinuity), no asíntota",
        "lim x→2 f(x) = 4/3 (valor finito)",
        "",
        "**Resultado:**",
        "Única asíntota vertical: x = -1"
      ],
      "explanation": "Factorizamos: f(x) = (x-2)(x+2)/(x-2)(x+1) = (x+2)/(x+1) para x≠2. El denominador se anula en x=-1, donde el límite es infinito. En x=2 hay un agujero, no asíntota. Por lo tanto, la única asíntota vertical es x=-1."
    },
    {
      "id": "asi-004",
      "topic": "asintotas-horizontales",
      "question": "Encuentra las asíntotas horizontales de f(x) = (3x² + 2x - 1)/(x² - 4)",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "y = 3",
        "y = 0",
        "y = 1",
        "No tiene asíntotas horizontales"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Compara los grados del numerador y denominador",
        "Ambos son de grado 2, así que hay asíntota horizontal",
        "La asíntota es el cociente de los coeficientes principales"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Asíntotas Horizontales en Funciones Racionales**",
        "",
        "**Función:** f(x) = (3x² + 2x - 1)/(x² - 4)",
        "",
        "**Método 1: Por grados**",
        "• Grado del numerador = 2",
        "• Grado del denominador = 2",
        "• Como los grados son iguales, hay asíntota horizontal",
        "• y = coeficiente líder del numerador / coeficiente líder del denominador",
        "• y = 3/1 = 3",
        "",
        "**Método 2: Por límites**",
        "lim x→∞ (3x² + 2x - 1)/(x² - 4)",
        "= lim x→∞ (3 + 2/x - 1/x²)/(1 - 4/x²)",
        "= 3/1 = 3",
        "",
        "**Verificación para x → -∞**",
        "lim x→-∞ (3x² + 2x - 1)/(x² - 4) = 3",
        "",
        "**Resultado:**",
        "Asíntota horizontal: y = 3"
      ],
      "explanation": "Como el numerador y denominador tienen el mismo grado (2), la asíntota horizontal es y = 3/1 = 3, donde 3 y 1 son los coeficientes principales del numerador y denominador respectivamente."
    },
    {
      "id": "asi-005",
      "topic": "asintotas-oblicuas",
      "question": "¿Cuándo una función racional tiene asíntota oblicua?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador",
        "Cuando el grado del denominador es mayor que el del numerador",
        "Cuando los grados son iguales",
        "Cuando el grado del numerador es al menos dos mayor que el del denominador"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Piensa en la división polinomial",
        "La asíntota oblicua es el cociente de la división",
        "El residuo debe ser de grado menor que el divisor"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Asíntotas Oblicuas (Inclinadas)**",
        "",
        "**Definición:**",
        "La recta y = mx + b es una asíntota oblicua de f si",
        "lim x→±∞ [f(x) - (mx + b)] = 0",
        "",
        "**Condición para funciones racionales:**",
        "Una función racional P(x)/Q(x) tiene asíntota oblicua si",
        "grado(P) = grado(Q) + 1",
        "",
        "**Método para encontrarla:**",
        "1. Realizar la división polinomial P(x) ÷ Q(x)",
        "2. El cociente es la ecuación de la asíntota oblicua",
        "3. El residuo tiende a 0 cuando x → ±∞",
        "",
        "**Ejemplo:** f(x) = (x² + 3x + 2)/(x - 1)",
        "División: (x² + 3x + 2) ÷ (x - 1) = x + 4 con residuo 6",
        "Por lo tanto: f(x) = x + 4 + 6/(x - 1)",
        "Asíntota oblicua: y = x + 4",
        "",
        "**Importante:**",
        "Si grado(P) > grado(Q) + 1, puede haber asíntota parabólica o de grado superior"
      ],
      "explanation": "Una función racional tiene asíntota oblicua cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador. En este caso, la división polinomial produce un cociente lineal que es la asíntota oblicua."
    },
    {
      "id": "asi-006",
      "topic": "asintotas-oblicuas",
      "question": "Encuentra la asíntota oblicua de f(x) = (x² + 2x - 3)/(x - 1)",
      "type": "code-editor",
      "difficulty": "medio",
      "problemText": "Determina la asíntota oblicua de la función f(x) = (x² + 2x - 3)/(x - 1)\n\nPasos:\n1. Realiza la división polinomial (x² + 2x - 3) ÷ (x - 1)\n2. Identifica el cociente y el residuo\n3. Escribe la función como: cociente + residuo/(divisor)\n4. Determina la ecuación de la asíntota oblicua",
      "initialCode": "// f(x) = (x² + 2x - 3)/(x - 1)\n\n// Paso 1: División polinomial\n// (x² + 2x - 3) ÷ (x - 1)\n\n// Paso 2: Encontrar cociente y residuo\n// Cociente: ?\n// Residuo: ?\n\n// Paso 3: Reescribir la función\n// f(x) = ? + ?/(x - 1)\n\n// Paso 4: Determinar la asíntota oblicua\n// Cuando x → ±∞, el término ?/(x - 1) → 0\n// Por lo tanto, la asíntota oblicua es: y = ?",
      "expectedOutput": "La asíntota oblicua es y = x + 3",
      "hints": [
        "Usa división sintética o larga: (x² + 2x - 3) ÷ (x - 1)",
        "El cociente es x + 3 y el residuo es 0",
        "Como el residuo es 0, f(x) = x + 3 exactamente",
        "La asíntota oblicua es y = x + 3"
      ],
      "testCases": [
        {
          "input": "",
          "expectedOutput": "La asíntota oblicua es y = x + 3"
        }
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Cálculo de Asíntota Oblicua**",
        "",
        "**Paso 1:** División polinomial",
        "(x² + 2x - 3) ÷ (x - 1)",
        "",
        "**Paso 2:** Realizar la división",
        "x² ÷ x = x",
        "x · (x - 1) = x² - x",
        "(x² + 2x - 3) - (x² - x) = 3x - 3",
        "3x ÷ x = 3",
        "3 · (x - 1) = 3x - 3",
        "(3x - 3) - (3x - 3) = 0",
        "",
        "**Paso 3:** Resultado de la división",
        "Cociente: x + 3",
        "Residuo: 0",
        "",
        "**Paso 4:** Reescribir la función",
        "f(x) = (x² + 2x - 3)/(x - 1) = x + 3 + 0/(x - 1) = x + 3",
        "",
        "**Paso 5:** Determinar la asíntota",
        "Como f(x) = x + 3 exactamente, la asíntota oblicua es y = x + 3",
        "",
        "**Nota:** En este caso especial, la función es exactamente la asíntota"
      ]
    },
    {
      "id": "asi-007",
      "topic": "asintotas-varias",
      "question": "Encuentra todas las asíntotas de f(x) = (x² - 1)/(x² - 4)",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Vertical: x = 2, x = -2; Horizontal: y = 1",
        "Vertical: x = 1, x = -1; Horizontal: y = 0",
        "Vertical: x = 2, x = -2; Oblicua: y = x + 1",
        "Vertical: x = 2, x = -2; Horizontal: y = 0"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "dificil",
      "hints": [
        "Para asíntotas verticales, resuelve el denominador = 0",
        "Para asíntotas horizontales, compara los grados",
        "Verifica que no haya asíntotas oblicuas"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Análisis Completo de Asíntotas**",
        "",
        "**Función:** f(x) = (x² - 1)/(x² - 4)",
        "",
        "**Paso 1:** Asíntotas verticales",
        "Denominador: x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2",
        "Verificar numerador en estos puntos:",
        "• En x = 2: numerador = 2² - 1 = 3 ≠ 0",
        "• En x = -2: numerador = (-2)² - 1 = 3 ≠ 0",
        "Por lo tanto, hay asíntotas verticales en x = 2 y x = -2",
        "",
        "**Paso 2:** Asíntotas horizontales",
        "Grado numerador = 2, Grado denominador = 2",
        "Como los grados son iguales, hay asíntota horizontal",
        "y = coeficiente líder del numerador / coeficiente líder del denominador",
        "y = 1/1 = 1",
        "",
        "**Paso 3:** Asíntotas oblicuas",
        "Como grado(numerador) = grado(denominador), no hay asíntotas oblicuas",
        "",
        "**Resultado:**",
        "• Asíntotas verticales: x = 2, x = -2",
        "• Asíntota horizontal: y = 1"
      ],
      "explanation": "Para asíntotas verticales: x² - 4 = 0 ⇒ x = ±2. Para asíntotas horizontales: como los grados son iguales (2), y = 1/1 = 1. No hay asíntotas oblicuas porque los grados son iguales."
    },
    {
      "id": "asi-008",
      "topic": "asintotas-funciones-varias",
      "question": "¿Cuál es la asíntota vertical de f(x) = ln(x - 3)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "x = 3",
        "y = 0",
        "x = 0",
        "No tiene asíntotas verticales"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "El dominio de ln(x) es (0, ∞)",
        "Para ln(x - 3), el dominio es (3, ∞)",
        "La asíntota vertical ocurre en el límite del dominio"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Asíntotas en Funciones Logarítmicas**",
        "",
        "**Función:** f(x) = ln(x - 3)",
        "",
        "**Dominio:**",
        "x - 3 > 0 ⇒ x > 3",
        "Dominio: (3, ∞)",
        "",
        "**Asíntota vertical:**",
        "lim x→3⁺ ln(x - 3) = ln(0⁺) = -∞",
        "Por lo tanto, x = 3 es una asíntota vertical",
        "",
        "**Asíntota horizontal:**",
        "lim x→∞ ln(x - 3) = ∞",
        "No hay asíntota horizontal",
        "",
        "**Generalización:**",
        "Para f(x) = ln(x - a):",
        "• Dominio: (a, ∞)",
        "• Asíntota vertical: x = a",
        "• No tiene asíntotas horizontales",
        "",
        "**Para f(x) = ln(a - x):**",
        "• Dominio: (-∞, a)",
        "• Asíntota vertical: x = a",
        "• No tiene asíntotas horizontales"
      ],
      "explanation": "El dominio de ln(x - 3) es (3, ∞). Cuando x → 3⁺, ln(x - 3) → -∞, por lo que x = 3 es una asíntota vertical."
    },
    {
      "id": "asi-009",
      "topic": "asintotas-funciones-varias",
      "question": "Ordena los pasos para encontrar todas las asíntotas de una función racional",
      "type": "ordering",
      "difficulty": "medio",
      "items": [
        "Factorizar numerador y denominador",
        "Identificar asíntotas verticales (donde el denominador se anula)",
        "Comparar grados para determinar si hay asíntotas horizontales u oblicuas",
        "Calcular asíntotas horizontales (si grados son iguales)",
        "Realizar división polinomial para asíntotas oblicuas (si grado num = grado den + 1)"
      ],
      "correctOrder": [0, 1, 2, 3, 4],
      "hints": [
        "Primero simplifica la función factorizando",
        "Luego busca donde el denominador se anula",
        "Compara los grados para saber qué tipo de asíntota buscar",
        "Aplica el método correspondiente según el caso"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Proceso Sistemático para Asíntotas**",
        "",
        "**Paso 1:** Factorizar",
        "• Simplifica la función si es posible",
        "• Cancela factores comunes (agujeros, no asíntotas)",
        "",
        "**Paso 2:** Asíntotas verticales",
        "• Encuentra donde el denominador se anula",
        "• Verifica que no se cancelen con el numerador",
        "",
        "**Paso 3:** Comparar grados",
        "• grado(num) < grado(den): asíntota horizontal en y = 0",
        "• grado(num) = grado(den): asíntota horizontal en y = coef. líder num/coef. líder den",
        "• grado(num) = grado(den) + 1: asíntota oblicua",
        "• grado(num) > grado(den) + 1: asíntota de grado superior",
        "",
        "**Paso 4:** Calcular horizontales",
        "• Usa el cociente de coeficientes principales",
        "• O calcula el límite directamente",
        "",
        "**Paso 5:** Calcular oblicuas",
        "• Realiza división polinomial",
        "• El cociente es la asíntota"
      ],
      "explanation": "El proceso sistemático para encontrar asíntotas comienza factorizando, luego identificando verticales, comparando grados para determinar el tipo de asíntota horizontal u oblicua, y finalmente calculando las ecuaciones correspondientes."
    },
    {
      "id": "asi-010",
      "topic": "asintotas-oblicuas",
      "question": "Encuentra la asíntota oblicua de f(x) = (2x² + 3x - 5)/(x + 1)",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "y = 2x + 1",
        "y = 2x + 5",
        "y = x + 1",
        "y = 2x - 1"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Realiza la división polinomial (2x² + 3x - 5) ÷ (x + 1)",
        "El cociente será de la forma ax + b",
        "Ese cociente es la ecuación de la asíntota oblicua"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Cálculo de Asíntota Oblicua por División**",
        "",
        "**Función:** f(x) = (2x² + 3x - 5)/(x + 1)",
        "",
        "**División polinomial:**",
        "2x² ÷ x = 2x",
        "2x · (x + 1) = 2x² + 2x",
        "(2x² + 3x - 5) - (2x² + 2x) = x - 5",
        "x ÷ x = 1",
        "1 · (x + 1) = x + 1",
        "(x - 5) - (x + 1) = -6",
        "",
        "**Resultado:**",
        "Cociente: 2x + 1",
        "Residuo: -6",
        "",
        "**Reescritura:**",
        "f(x) = 2x + 1 + (-6)/(x + 1)",
        "f(x) = 2x + 1 - 6/(x + 1)",
        "",
        "**Asíntota oblicua:**",
        "Cuando x → ±∞, el término -6/(x + 1) → 0",
        "Por lo tanto, la asíntota oblicua es y = 2x + 1"
      ],
      "explanation": "Realizando la división polinomial: (2x² + 3x - 5) ÷ (x + 1) = 2x + 1 con residuo -6. Por lo tanto, f(x) = 2x + 1 - 6/(x + 1), y la asíntota oblicua es y = 2x + 1."
    }
  ]
}