{
  "funcion-compuesta": [
    {
      "id": "comp-001",
      "topic": "concepto-funcion-compuesta",
      "question": "¿Qué es una función compuesta?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Una función que se obtiene al aplicar una función a los resultados de otra",
        "Una función que es la suma de dos funciones",
        "Una función que tiene múltiples variables",
        "Una función que es inversa de otra función"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Piensa en el concepto de 'función de función'",
        "Es como aplicar dos operaciones una después de la otra",
        "La notación típica es f(g(x)) o (f ∘ g)(x)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Función Compuesta**",
        "",
        "**Definición:**",
        "Una función compuesta es una función que se obtiene al aplicar una función a los resultados de otra función.",
        "",
        "**Notación:**",
        "f ∘ g (se lee 'f compuesta con g' o 'f después de g')",
        "(f ∘ g)(x) = f(g(x))",
        "",
        "**Interpretación:**",
        "1. Primero se aplica la función g al valor x: g(x)",
        "2. Luego se aplica la función f al resultado: f(g(x))",
        "",
        "**Ejemplo simple:**",
        "Si f(x) = x² y g(x) = x + 1",
        "Entonces (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)²",
        "",
        "**Otra composición:**",
        "(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 1",
        "",
        "**Importante:**",
        "En general, f ∘ g ≠ g ∘ f (la composición no es conmutativa)"
      ],
      "explanation": "Una función compuesta se obtiene aplicando una función a los resultados de otra. Se denota como f ∘ g o f(g(x)), donde primero se aplica g y luego f a ese resultado."
    },
    {
      "id": "comp-002",
      "topic": "evaluacion-funcion-compuesta",
      "question": "Si f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², ¿cuál es (f ∘ g)(3)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "19",
        "13",
        "25",
        "7"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Recuerda que (f ∘ g)(x) = f(g(x))",
        "Primero calcula g(3)",
        "Luego aplica f al resultado"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Evaluación de Función Compuesta**",
        "",
        "**Datos:**",
        "f(x) = 2x + 1",
        "g(x) = x²",
        "",
        "**Calcular (f ∘ g)(3):**",
        "",
        "**Paso 1:** Aplicar g a 3",
        "g(3) = 3² = 9",
        "",
        "**Paso 2:** Aplicar f al resultado",
        "f(g(3)) = f(9) = 2·9 + 1 = 18 + 1 = 19",
        "",
        "**Resultado:**",
        "(f ∘ g)(3) = 19",
        "",
        "**Verificación alternativa:**",
        "Podemos encontrar primero la función compuesta:",
        "(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2·x² + 1",
        "Luego evaluamos en x = 3:",
        "(f ∘ g)(3) = 2·3² + 1 = 2·9 + 1 = 19",
        "",
        "**Nota:**",
        "Si hubiéramos calculado (g ∘ f)(3), el resultado sería diferente:",
        "(g ∘ f)(3) = g(f(3)) = g(2·3 + 1) = g(7) = 7² = 49"
      ],
      "explanation": "Para calcular (f ∘ g)(3), primero evaluamos g(3) = 3² = 9, luego aplicamos f a ese resultado: f(9) = 2·9 + 1 = 19."
    },
    {
      "id": "comp-003",
      "topic": "encontrar-funcion-compuesta",
      "question": "Si f(x) = √x y g(x) = x + 4, ¿cuál es la expresión de (f ∘ g)(x)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "√(x + 4)",
        "√x + 4",
        "x + √4",
        "x + 2"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Recuerda que (f ∘ g)(x) = f(g(x))",
        "Sustituye g(x) en la función f",
        "Reemplaza x por (x + 4) en la función f"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Encontrar la Expresión de una Función Compuesta**",
        "",
        "**Datos:**",
        "f(x) = √x",
        "g(x) = x + 4",
        "",
        "**Calcular (f ∘ g)(x):**",
        "",
        "**Paso 1:** Escribir la definición",
        "(f ∘ g)(x) = f(g(x))",
        "",
        "**Paso 2:** Sustituir g(x)",
        "(f ∘ g)(x) = f(x + 4)",
        "",
        "**Paso 3:** Aplicar f a (x + 4)",
        "Como f(u) = √u, entonces f(x + 4) = √(x + 4)",
        "",
        "**Resultado:**",
        "(f ∘ g)(x) = √(x + 4)",
        "",
        "**Dominio de la función compuesta:**",
        "Para que √(x + 4) esté definida, necesitamos x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ -4",
        "Por lo tanto, Dom(f ∘ g) = [-4, ∞)",
        "",
        "**Comparación con (g ∘ f)(x):**",
        "(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = √x + 4",
        "Dom(g ∘ f) = [0, ∞)",
        "",
        "**Nota:**",
        "Observa que (f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x) y sus dominios también son diferentes"
      ],
      "explanation": "Para encontrar (f ∘ g)(x), sustituimos g(x) = x + 4 en la función f: f(x + 4) = √(x + 4)."
    },
    {
      "id": "comp-004",
      "topic": "descomposicion-funcion-compuesta",
      "question": "¿Cómo se puede descomponer la función h(x) = √(x² + 1) como una composición de funciones más simples?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "h(x) = f(g(x)) donde f(x) = √x y g(x) = x² + 1",
        "h(x) = f(g(x)) donde f(x) = x² + 1 y g(x) = √x",
        "h(x) = f(g(x)) donde f(x) = x + 1 y g(x) = √(x²)",
        "h(x) = f(g(x)) donde f(x) = x² y g(x) = √(x + 1)"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Piensa en cuál operación se aplica primero y cuál después",
        "Identifica la 'función externa' y la 'función interna'",
        "La función externa es la que se aplica al resultado de la interna"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Descomposición de Funciones Compuestas**",
        "",
        "**Función dada:** h(x) = √(x² + 1)",
        "",
        "**Análisis:**",
        "Para obtener h(x), seguimos estos pasos:",
        "1. Calculamos x² + 1",
        "2. Luego aplicamos la raíz cuadrada al resultado",
        "",
        "**Identificación de funciones:**",
        "",
        "**Función interna (g):** La que se aplica primero",
        "g(x) = x² + 1",
        "",
        "**Función externa (f):** La que se aplica al resultado de g",
        "f(x) = √x",
        "",
        "**Verificación:**",
        "(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x² + 1) = √(x² + 1) = h(x) ✓",
        "",
        "**Otras posibles descomposiciones:**",
        "También podríamos descomponerla en tres funciones:",
        "- g₁(x) = x²",
        "- g₂(x) = x + 1",
        "- f(x) = √x",
        "",
        "Entonces h(x) = f(g₂(g₁(x))) = √(x² + 1)",
        "",
        "**Importante:**",
        "La descomposición no es única, pero generalmente buscamos la más simple"
      ],
      "explanation": "Para descomponer h(x) = √(x² + 1), identificamos que primero calculamos x² + 1 (función interna g) y luego aplicamos la raíz cuadrada (función externa f). Por lo tanto, f(x) = √x y g(x) = x² + 1."
    },
    {
      "id": "comp-005",
      "topic": "dominio-funcion-compuesta",
      "question": "Si f(x) = √x y g(x) = x - 4, ¿cuál es el dominio de (f ∘ g)(x)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "[4, ∞)",
        "(-∞, 4]",
        "[0, ∞)",
        "ℝ"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Primero encuentra la expresión de (f ∘ g)(x)",
        "Luego determina las restricciones para esa función",
        "Recuerda que en una raíz cuadrada, el radicando debe ser no negativo"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Dominio de Función Compuesta**",
        "",
        "**Datos:**",
        "f(x) = √x",
        "g(x) = x - 4",
        "",
        "**Paso 1:** Encontrar la expresión de (f ∘ g)(x)",
        "(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 4) = √(x - 4)",
        "",
        "**Paso 2:** Determinar las restricciones",
        "En una raíz cuadrada, el radicando debe ser no negativo:",
        "x - 4 ≥ 0",
        "",
        "**Paso 3:** Resolver la desigualdad",
        "x - 4 ≥ 0",
        "x ≥ 4",
        "",
        "**Paso 4:** Escribir el dominio",
        "Dom(f ∘ g) = [4, ∞)",
        "",
        "**Verificación:**",
        "Para x = 4: (f ∘ g)(4) = √(4 - 4) = √0 = 0 ✓",
        "Para x = 5: (f ∘ g)(5) = √(5 - 4) = √1 = 1 ✓",
        "Para x = 3: (f ∘ g)(3) = √(3 - 4) = √(-1) (indefinido) ✓",
        "",
        "**Nota importante:**",
        "El dominio de la composición no siempre es la intersección de los dominios individuales.",
        "En este caso:",
        "- Dom(f) = [0, ∞)",
        "- Dom(g) = ℝ",
        "- Pero Dom(f ∘ g) = [4, ∞)",
        "",
        "Esto ocurre porque necesitamos que g(x) esté en el dominio de f:",
        "g(x) = x - 4 debe estar en [0, ∞)",
        "Lo que significa x - 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "El dominio de (f ∘ g)(x) está determinado por la condición de que g(x) esté en el dominio de f."
      ],
      "explanation": "Para encontrar el dominio de (f ∘ g)(x), primero calculamos (f ∘ g)(x) = √(x - 4). La raíz cuadrada requiere que x - 4 ≥ 0, lo que da x ≥ 4. Por lo tanto, Dom(f ∘ g) = [4, ∞)."
    },
    {
      "id": "comp-006",
      "topic": "propiedades-funcion-compuesta",
      "question": "¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la composición de funciones es FALSA?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "La composición de funciones es conmutativa: f ∘ g = g ∘ f",
        "La composición de funciones es asociativa: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)",
        "Si f y g son inyectivas, entonces f ∘ g es inyectiva",
        "Si f y g son sobreyectivas, entonces f ∘ g es sobreyectiva"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "dificil",
      "hints": [
        "Piensa si el orden importa al componer funciones",
        "Prueba con un ejemplo simple: f(x) = x + 1, g(x) = x²",
        "La asociatividad se refiere a cómo agrupar las composiciones"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Propiedades de la Composición de Funciones**",
        "",
        "**Análisis de cada afirmación:**",
        "",
        "**1. Conmutatividad:** f ∘ g = g ∘ f",
        "Esta afirmación es FALSA en general.",
        "Ejemplo: f(x) = x + 1, g(x) = x²",
        "- (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = x² + 1",
        "- (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1",
        "Claramente, x² + 1 ≠ x² + 2x + 1",
        "",
        "**2. Asociatividad:** (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)",
        "Esta afirmación es VERDADERA.",
        "Para cualquier x en el dominio apropiado:",
        "- ((f ∘ g) ∘ h)(x) = (f ∘ g)(h(x)) = f(g(h(x)))",
        "- (f ∘ (g ∘ h))(x) = f((g ∘ h)(x)) = f(g(h(x)))",
        "Ambas dan el mismo resultado.",
        "",
        "**3. Inyectividad de composiciones:**",
        "Si f y g son inyectivas, entonces f ∘ g es inyectiva. VERDADERO.",
        "",
        "**4. Sobreyectividad de composiciones:**",
        "Si f y g son sobreyectivas, entonces f ∘ g es sobreyectiva. VERDADERO.",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "La composición de funciones NO es conmutativa en general,",
        "pero sí es asociativa y preserva inyectividad y sobreyectividad."
      ],
      "explanation": "La composición de funciones no es conmutativa en general, lo que significa que f ∘ g ≠ g ∘ f. Por ejemplo, con f(x) = x + 1 y g(x) = x², tenemos (f ∘ g)(x) = x² + 1 pero (g ∘ f)(x) = (x + 1)² = x² + 2x + 1, que son diferentes."
    },
    {
      "id": "comp-007",
      "topic": "funcion-inversa-compuesta",
      "question": "Si f y g tienen inversas, ¿cuál es la inversa de f ∘ g?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "g⁻¹ ∘ f⁻¹",
        "f⁻¹ ∘ g⁻¹",
        "(f ∘ g)⁻¹",
        "No se puede determinar sin más información"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "dificil",
      "hints": [
        "Recuerda que (f ∘ g)⁻¹ 'deshace' lo que hace f ∘ g",
        "Para 'deshacer' f ∘ g, primero 'deshacemos' f y luego 'deshacemos' g",
        "Piensa en el orden inverso de las operaciones"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Inversa de Función Compuesta**",
        "",
        "**Teorema:**",
        "Si f y g tienen inversas, entonces (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹",
        "",
        "**Demostración intuitiva:**",
        "",
        "Para verificar que g⁻¹ ∘ f⁻¹ es la inversa de f ∘ g,",
        "necesitamos comprobar que:",
        "(f ∘ g) ∘ (g⁻¹ ∘ f⁻¹) = identidad",
        "y (g⁻¹ ∘ f⁻¹) ∘ (f ∘ g) = identidad",
        "",
        "**Verificación 1:**",
        "(f ∘ g) ∘ (g⁻¹ ∘ f⁻¹) = f ∘ (g ∘ g⁻¹) ∘ f⁻¹ = f ∘ identidad ∘ f⁻¹ = f ∘ f⁻¹ = identidad",
        "",
        "**Verificación 2:**",
        "(g⁻¹ ∘ f⁻¹) ∘ (f ∘ g) = g⁻¹ ∘ (f⁻¹ ∘ f) ∘ g = g⁻¹ ∘ identidad ∘ g = g⁻¹ ∘ g = identidad",
        "",
        "**Ejemplo concreto:**",
        "Sea f(x) = 2x + 1 ⇒ f⁻¹(x) = (x - 1)/2",
        "Sea g(x) = x² ⇒ g⁻¹(x) = √x (para x ≥ 0)",
        "",
        "Entonces (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1",
        "La inversa directa sería: ((f ∘ g)⁻¹)(x) = √((x - 1)/2)",
        "",
        "Por otro lado: (g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x) = g⁻¹(f⁻¹(x)) = g⁻¹((x - 1)/2) = √((x - 1)/2)",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "Ambos métodos dan el mismo resultado, confirmando que (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹"
      ],
      "explanation": "La inversa de una composición f ∘ g es g⁻¹ ∘ f⁻¹. Esto se debe a que para 'deshacer' la composición, debemos aplicar las inversas en orden inverso: primero 'deshacemos' f aplicando f⁻¹, y luego 'deshacemos' g aplicando g⁻¹."
    },
    {
      "id": "comp-008",
      "topic": "evaluacion-funcion-compuesta",
      "question": "Si f(x) = 1/x y g(x) = x + 2, ¿cuál es (g ∘ f)(-1)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "1",
        "-1",
        "3",
        "-3"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Recuerda que (g ∘ f)(x) = g(f(x))",
        "Primero calcula f(-1)",
        "Luego aplica g al resultado"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Evaluación de Función Compuesta (Orden Inverso)**",
        "",
        "**Datos:**",
        "f(x) = 1/x",
        "g(x) = x + 2",
        "",
        "**Calcular (g ∘ f)(-1):**",
        "",
        "**Paso 1:** Aplicar f a -1",
        "f(-1) = 1/(-1) = -1",
        "",
        "**Paso 2:** Aplicar g al resultado",
        "g(f(-1)) = g(-1) = -1 + 2 = 1",
        "",
        "**Resultado:**",
        "(g ∘ f)(-1) = 1",
        "",
        "**Comparación con (f ∘ g)(-1):**",
        "Si calculáramos (f ∘ g)(-1), el resultado sería diferente:",
        "(f ∘ g)(-1) = f(g(-1)) = f(-1 + 2) = f(1) = 1/1 = 1",
        "",
        "**En este caso particular:**",
        "Coincidentemente, (g ∘ f)(-1) = (f ∘ g)(-1) = 1",
        "Pero esto no ocurre para todos los valores de x.",
        "",
        "**Ejemplo con x = 2:**",
        "(g ∘ f)(2) = g(f(2)) = g(1/2) = 1/2 + 2 = 2.5",
        "(f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(2 + 2) = f(4) = 1/4 = 0.25",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "En general, (g ∘ f)(x) ≠ (f ∘ g)(x)"
      ],
      "explanation": "Para calcular (g ∘ f)(-1), primero evaluamos f(-1) = 1/(-1) = -1, luego aplicamos g a ese resultado: g(-1) = -1 + 2 = 1."
    },
    {
      "id": "comp-009",
      "topic": "composicion-multiples",
      "question": "Si f(x) = x + 1, g(x) = 2x, y h(x) = x², ¿cuál es (f ∘ g ∘ h)(2)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "9",
        "5",
        "17",
        "25"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Recuerda que (f ∘ g ∘ h)(x) = f(g(h(x)))",
        "Evalúa desde adentro hacia afuera: primero h(2), luego g(h(2)), finalmente f(g(h(2)))",
        "Aplica las funciones en orden: h → g → f"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Composición de Múltiples Funciones**",
        "",
        "**Datos:**",
        "f(x) = x + 1",
        "g(x) = 2x",
        "h(x) = x²",
        "",
        "**Calcular (f ∘ g ∘ h)(2):**",
        "",
        "**Paso 1:** Aplicar h a 2",
        "h(2) = 2² = 4",
        "",
        "**Paso 2:** Aplicar g al resultado",
        "g(h(2)) = g(4) = 2·4 = 8",
        "",
        "**Paso 3:** Aplicar f al resultado",
        "f(g(h(2))) = f(8) = 8 + 1 = 9",
        "",
        "**Resultado:**",
        "(f ∘ g ∘ h)(2) = 9",
        "",
        "**Verificación alternativa:**",
        "Podemos encontrar primero la función compuesta:",
        "(f ∘ g ∘ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x²)) = f(2x²) = 2x² + 1",
        "Luego evaluamos en x = 2:",
        "(f ∘ g ∘ h)(2) = 2·2² + 1 = 2·4 + 1 = 9",
        "",
        "**Nota importante:**",
        "La composición múltiple es asociativa:",
        "(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)",
        "Pero no es conmutativa:",
        "f ∘ g ∘ h ≠ h ∘ g ∘ f (en general)"
      ],
      "explanation": "Para calcular (f ∘ g ∘ h)(2), evaluamos desde adentro hacia afuera: h(2) = 4, luego g(4) = 8, finalmente f(8) = 9."
    },
    {
      "id": "comp-010",
      "topic": "identificacion-funcion-compuesta",
      "question": "¿Cuál de las siguientes NO es una función compuesta?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "h(x) = x³ + 2x + 1",
        "h(x) = √(x² + 1)",
        "h(x) = e^(2x - 3)",
        "h(x) = ln(sen(x))"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Una función compuesta es aquella que puede expresarse como f(g(x))",
        "Busca funciones que sean 'función de función'",
        "Un polinomio simple no es necesariamente una composición"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Identificación de Funciones Compuestas**",
        "",
        "**Análisis de cada opción:**",
        "",
        "**a) h(x) = x³ + 2x + 1**",
        "Esta es una función polinomial simple.",
        "No necesita expresarse como composición de funciones más simples.",
        "",
        "**b) h(x) = √(x² + 1)**",
        "Esta SÍ es una función compuesta:",
        "Podemos escribir h(x) = f(g(x)) donde:",
        "- g(x) = x² + 1",
        "- f(x) = √x",
        "",
        "**c) h(x) = e^(2x - 3)**",
        "Esta SÍ es una función compuesta:",
        "Podemos escribir h(x) = f(g(x)) donde:",
        "- g(x) = 2x - 3",
        "- f(x) = e^x",
        "",
        "**d) h(x) = ln(sen(x))**",
        "Esta SÍ es una función compuesta:",
        "Podemos escribir h(x) = f(g(x)) donde:",
        "- g(x) = sen(x)",
        "- f(x) = ln(x)",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "La opción a) NO es una función compuesta en el sentido habitual.",
        "Aunque técnicamente podría descomponerse, no es una composición natural",
        "como las otras tres opciones que claramente tienen una estructura de 'función de función'."
      ],
      "explanation": "La función h(x) = x³ + 2x + 1 es un polinomio simple que no necesita expresarse como composición de funciones más simples. Las otras tres opciones tienen una estructura clara de 'función de función': √(x² + 1), e^(2x - 3), y ln(sen(x))."
    }
  ]
}