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  "funcion-compuesta": [
    {
      "title": "Guía Completa: Funciones Compuestas",
      "type": "text",
      "content": "# Funciones Compuestas\n\n## Conceptos Fundamentales\n\n### Definición de Función Compuesta\n\nUna función compuesta es una función que se obtiene al aplicar una función a los resultados de otra función. Si f y g son funciones, entonces la función compuesta f ∘ g (se lee \"f compuesta con g\" o \"f después de g\") se define como:\n\n(f ∘ g)(x) = f(g(x))\n\n### Interpretación\n\n1. Primero se aplica la función g al valor x: g(x)\n2. Luego se aplica la función f al resultado: f(g(x))\n\n### Notación\n\n- f ∘ g: se lee \"f compuesta con g\" o \"f después de g\"\n- (f ∘ g)(x) = f(g(x))\n- El dominio de f ∘ g es el conjunto de todos los x en el dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f\n\n## Evaluación de Funciones Compuestas\n\n### Método Paso a Paso\n\n1. **Evaluar la función interna**: Calcular g(x)\n2. **Aplicar la función externa**: Calcular f(g(x))\n\n### Ejemplo\n\nSi f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², entonces:\n\n(f ∘ g)(3) = f(g(3)) = f(3²) = f(9) = 2·9 + 1 = 19\n\n## Construcción de Funciones Compuestas\n\n### Método\n\nPara construir (f ∘ g)(x):\n1. Identificar la función externa f y la función interna g\n2. Sustituir x por g(x) en la función f\n\n### Ejemplos\n\n**Ejemplo 1:**\nSi f(x) = √x y g(x) = x + 4, entonces:\n\n(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 4) = √(x + 4)\n\n**Ejemplo 2:**\nSi f(x) = e^x y g(x) = 2x - 1, entonces:\n\n(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x - 1) = e^(2x - 1)\n\n## Descomposición de Funciones Compuestas\n\n### Método\n\nPara descomponer una función h(x) como f(g(x)):\n1. Identificar la operación \"externa\" que se aplica al final\n2. Identificar la expresión \"interna\" sobre la que se aplica esa operación\n3. Definir f como la operación externa y g como la expresión interna\n\n### Ejemplo\n\nPara descomponer h(x) = √(x² + 1):\n\n1. Operación externa: raíz cuadrada\n2. Expresión interna: x² + 1\n3. f(x) = √x, g(x) = x² + 1\n\nPor lo tanto, h(x) = f(g(x)) = √(x² + 1)\n\n## Dominio de Funciones Compuestas\n\n### Regla General\n\nEl dominio de f ∘ g es el conjunto de todos los x en el dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f.\n\n### Método\n\n1. Encontrar la expresión de (f ∘ g)(x)\n2. Determinar las restricciones para esa función\n3. Considerar también las restricciones de la función interna g\n\n### Ejemplo\n\nSi f(x) = √x y g(x) = x - 4:\n\n1. (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 4) = √(x - 4)\n2. Restricción: x - 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4\n3. Dom(f ∘ g) = [4, ∞)\n\n## Propiedades de la Composición\n\n### Asociatividad\n\nLa composición de funciones es asociativa:\n\n(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)\n\n### No Conmutatividad\n\nEn general, la composición de funciones no es conmutativa:\n\nf ∘ g ≠ g ∘ f\n\n### Ejemplo\n\nSi f(x) = x + 1 y g(x) = x²:\n\n- (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = x² + 1\n- (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1\n\nClaramente, x² + 1 ≠ x² + 2x + 1\n\n## Funciones Inversas y Composición\n\n### Teorema Fundamental\n\nSi f tiene inversa f⁻¹, entonces:\n\nf ∘ f⁻¹ = identidad\nf⁻¹ ∘ f = identidad\n\n### Inversa de una Composición\n\nSi f y g tienen inversas, entonces:\n\n(f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹\n\n### Demostración Intuitiva\n\nPara \"deshacer\" f ∘ g, debemos:\n1. Primero \"deshacer\" f aplicando f⁻¹\n2. Luego \"deshacer\" g aplicando g⁻¹\n\nPor lo tanto, el orden se invierte.\n\n## Composición Múltiple\n\n### Definición\n\nLa composición puede extenderse a más de dos funciones:\n\n(f ∘ g ∘ h)(x) = f(g(h(x)))\n\n### Evaluación\n\nSe evalúa de adentro hacia afuera:\n\n1. Calcular h(x)\n2. Calcular g(h(x))\n3. Calcular f(g(h(x)))\n\n### Ejemplo\n\nSi f(x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = x²:\n\n(f ∘ g ∘ h)(2) = f(g(h(2))) = f(g(4)) = f(8) = 9\n\n## Aplicaciones Prácticas\n\n### Modelado Matemático\n\nLas funciones compuestas son útiles para modelar situaciones donde un proceso depende del resultado de otro proceso.\n\n**Ejemplo:**\nSi el área de un círculo depende de su radio (A = πr²) y el radio depende del tiempo (r = 2t + 1), entonces el área como función del tiempo es:\n\nA(t) = π(2t + 1)²\n\n### Transformaciones Geométricas\n\nLas transformaciones geométricas pueden expresarse como composiciones de funciones más simples.\n\n### Programación\n\nEn programación, las funciones compuestas corresponden a encadenar funciones o métodos.\n\n## Errores Comunes\n\n1. **Confundir el orden de la composición**\n   - Recordar que (f ∘ g)(x) = f(g(x)), no g(f(x))\n\n2. **No considerar el dominio apropiado**\n   - El dominio de f ∘ g no siempre es la intersección de los dominios de f y g\n\n3. **Errores algebraicos al sustituir**\n   - Sustituir completamente g(x) en lugar de x en f\n\n4. **Olvidar paréntesis**\n   - (f ∘ g)(x) = f(g(x)), no f(g)x\n\n## Tabla de Referencia Rápida\n\n| Operación | Notación | Significado |\n|-----------|----------|-------------|\n| Composición | f ∘ g | f después de g |\n| Evaluación | (f ∘ g)(x) | f(g(x)) |\n| Dominio | Dom(f ∘ g) | {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom(f)} |\n| Asociatividad | (f ∘ g) ∘ h | f ∘ (g ∘ h) |\n| Inversa | (f ∘ g)⁻¹ | g⁻¹ ∘ f⁻¹ |\n\n## Ejercicios Resueltos\n\n### Ejercicio 1\n\n**Problema:** Si f(x) = 3x - 2 y g(x) = x² + 1, encontrar (f ∘ g)(2) y (g ∘ f)(2).\n\n**Solución:**\n\n(f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(2² + 1) = f(5) = 3·5 - 2 = 13\n\n(g ∘ f)(2) = g(f(2)) = g(3·2 - 2) = g(4) = 4² + 1 = 17\n\n### Ejercicio 2\n\n**Problema:** Descomponer h(x) = e^(√(x - 1)) como una composición de funciones más simples.\n\n**Solución:**\n\nPodemos identificar tres funciones:\n\n- h₁(x) = x - 1\n- h₂(x) = √x\n- h₃(x) = e^x\n\nEntonces h(x) = h₃(h₂(h₁(x))) = e^(√(x - 1))\n\nO también podemos usar solo dos funciones:\n\n- g(x) = √(x - 1)\n- f(x) = e^x\n\nEntonces h(x) = f(g(x)) = e^(√(x - 1))"
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      "title": "Video: Introducción a Funciones Compuestas",
      "type": "video",
      "url": "https://www.youtube.com/watch?v=FhQqGp2JpYQ",
      "description": "Explicación visual del concepto de funciones compuestas con ejemplos paso a paso."
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      "title": "Calculadora Interactiva de Funciones Compuestas",
      "type": "interactive",
      "url": "https://www.geogebra.org/m/KJ8s7b2X9",
      "description": "Explora visualmente cómo funciona la composición de funciones y observa los resultados al modificar parámetros."
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    {
      "title": "Ejercicios Propuestos",
      "type": "text",
      "content": "# Ejercicios de Funciones Compuestas\n\n## Nivel Básico\n\n1. Si f(x) = 2x + 3 y g(x) = x - 1, encuentra:\n   a) (f ∘ g)(4)\n   b) (g ∘ f)(4)\n   c) (f ∘ g)(x)\n   d) (g ∘ f)(x)\n\n2. Si f(x) = x² y g(x) = x + 2, calcula:\n   a) (f ∘ g)(3)\n   b) (g ∘ f)(3)\n   c) (f ∘ g)(-1)\n   d) (g ∘ f)(-1)\n\n## Nivel Intermedio\n\n3. Encuentra la expresión de (f ∘ g)(x) y (g ∘ f)(x) para:\n   a) f(x) = √x, g(x) = x² + 4\n   b) f(x) = 1/x, g(x) = x + 3\n   c) f(x) = e^x, g(x) = 2x - 1\n\n4. Determina el dominio de (f ∘ g)(x) para:\n   a) f(x) = √x, g(x) = x - 5\n   b) f(x) = 1/x, g(x) = x - 2\n   c) f(x) = ln(x), g(x) = x² + 1\n\n5. Descompone las siguientes funciones como composiciones de funciones más simples:\n   a) h(x) = √(2x + 1)\n   b) h(x) = e^(x²)\n   c) h(x) = ln(x³ - 8)\n\n## Nivel Avanzado\n\n6. Si f(x) = 1/(x - 1) y g(x) = √(x + 3), encuentra:\n   a) (f ∘ g)(x)\n   b) (g ∘ f)(x)\n   c) El dominio de (f ∘ g)(x)\n   d) El dominio de (g ∘ f)(x)\n\n7. Encuentra (f ∘ g ∘ h)(2) para:\n   a) f(x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = x²\n   b) f(x) = √x, g(x) = x - 1, h(x) = e^x\n   c) f(x) = 1/x, g(x) = ln(x), h(x) = x + 2\n\n8. Si f(x) = 2x + 1 tiene inversa f⁻¹(x) = (x - 1)/2, y g(x) = x³ tiene inversa g⁻¹(x) = ∛x, encuentra:\n   a) (f ∘ g)(x)\n   b) (f ∘ g)⁻¹(x)\n   c) Verifica que (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹\n\n9. Problema de aplicación:\n   La temperatura de un objeto enfríase sigue el modelo T(t) = 20 + 80e^(-0.1t), donde t es el tiempo en minutos.\n   Si la tasa de cambio de temperatura está dada por R(T) = -0.1(T - 20), encuentra:\n   a) La tasa de cambio como función del tiempo: (R ∘ T)(t)\n   b) La tasa de cambio después de 5 minutos\n\n## Soluciones\n\n### Nivel Básico\n\n1. a) (f ∘ g)(4) = f(g(4)) = f(3) = 2·3 + 3 = 9\n   b) (g ∘ f)(4) = g(f(4)) = g(11) = 10\n   c) (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 1) = 2(x - 1) + 3 = 2x + 1\n   d) (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = 2x + 2\n\n2. a) (f ∘ g)(3) = f(g(3)) = f(5) = 25\n   b) (g ∘ f)(3) = g(f(3)) = g(9) = 11\n   c) (f ∘ g)(-1) = f(g(-1)) = f(1) = 1\n   d) (g ∘ f)(-1) = g(f(-1)) = g(1) = 3\n\n### Nivel Intermedio\n\n3. a) (f ∘ g)(x) = √(x² + 4), (g ∘ f)(x) = (√x)² + 4 = x + 4 (para x ≥ 0)\n   b) (f ∘ g)(x) = 1/(x + 3), (g ∘ f)(x) = 1/x + 3 = (1 + 3x)/x (para x ≠ 0)\n   c) (f ∘ g)(x) = e^(2x - 1), (g ∘ f)(x) = 2e^x - 1\n\n4. a) (f ∘ g)(x) = √(x - 5), Dom = [5, ∞)\n   b) (f ∘ g)(x) = 1/(x - 2), Dom = ℝ \\ {2}\n   c) (f ∘ g)(x) = ln(x² + 1), Dom = ℝ\n\n5. a) f(x) = √x, g(x) = 2x + 1\n   b) f(x) = e^x, g(x) = x²\n   c) f(x) = ln(x), g(x) = x³ - 8\n\n### Nivel Avanzado\n\n6. a) (f ∘ g)(x) = 1/(√(x + 3) - 1)\n   b) (g ∘ f)(x) = √(1/(x - 1) + 3)\n   c) Dom(f ∘ g) = [-3, ∞) \\ {2}\n   d) Dom(g ∘ f) = (-∞, 1) ∪ (1, ∞)\n\n7. a) (f ∘ g ∘ h)(2) = f(g(h(2))) = f(g(4)) = f(8) = 9\n   b) (f ∘ g ∘ h)(2) = f(g(h(2))) = f(g(e²)) = f(e² - 1) = e²\n   c) (f ∘ g ∘ h)(2) = f(g(h(2))) = f(g(e²)) = f(ln(e²)) = f(2) = 1/2\n\n8. a) (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x³) = 2x³ + 1\n   b) (f ∘ g)⁻¹(x) = (x - 1)/2)^(1/3)\n   c) g⁻¹ ∘ f⁻¹(x) = g⁻¹((x - 1)/2) = ∛((x - 1)/2)\n\n9. a) (R ∘ T)(t) = -0.1(20 + 80e^(-0.1t) - 20) = -8e^(-0.1t)\n   b) (R ∘ T)(5) = -8e^(-0.5) ≈ -8·0.607 = -4.86 grados/minuto"
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      "title": "Infografía: Funciones Compuestas",
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      "description": "Resumen visual del concepto de funciones compuestas con ejemplos gráficos y diagramas de flujo."
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      "title": "Simulador Interactivo: Composición de Funciones",
      "type": "interactive",
      "url": "https://www.desmos.com/calculator/function-composition-explorer",
      "description": "Explora funciones compuestas modificando parámetros en tiempo real y observa cómo cambian las gráficas resultantes."
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