{
  "intersecciones-ejes": [
    {
      "id": "int-001",
      "topic": "interseccion-eje-x",
      "question": "¿Cómo se encuentran las intersecciones con el eje x de una función?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Resolviendo f(x) = 0",
        "Resolviendo x = 0",
        "Resolviendo y = 0",
        "Calculando f'(0)"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Las intersecciones con el eje x ocurren donde la gráfica cruza el eje horizontal",
        "En el eje x, el valor de y es siempre 0",
        "Busca los valores de x donde la función vale 0"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Intersecciones con el Eje X**",
        "",
        "**Definición:**",
        "Las intersecciones con el eje x son los puntos donde la gráfica de la función cruza el eje horizontal.",
        "",
        "**Método:**",
        "Para encontrar las intersecciones con el eje x, resolvemos la ecuación f(x) = 0.",
        "",
        "**Procedimiento:**",
        "1. Igualar la función a cero: f(x) = 0",
        "2. Resolver para x",
        "3. Las coordenadas de las intersecciones son (x, 0)",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "",
        "**Función lineal:** f(x) = 2x - 4",
        "2x - 4 = 0 ⇒ x = 2",
        "Intersección: (2, 0)",
        "",
        "**Función cuadrática:** f(x) = x² - 5x + 6",
        "x² - 5x + 6 = 0 ⇒ (x - 2)(x - 3) = 0",
        "x = 2 o x = 3",
        "Intersecciones: (2, 0) y (3, 0)",
        "",
        "**Función cúbica:** f(x) = x³ - x",
        "x³ - x = 0 ⇒ x(x² - 1) = 0 ⇒ x(x - 1)(x + 1) = 0",
        "x = 0, x = 1, o x = -1",
        "Intersecciones: (0, 0), (1, 0), y (-1, 0)"
      ],
      "explanation": "Para encontrar las intersecciones con el eje x, resolvemos la ecuación f(x) = 0. Los valores de x que satisfacen esta ecuación son las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza el eje x, y las coordenadas completas son (x, 0)."
    },
    {
      "id": "int-002",
      "topic": "interseccion-eje-y",
      "question": "¿Cómo se encuentra la intersección con el eje y de una función?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Calculando f(0)",
        "Resolviendo f(x) = 0",
        "Resolviendo y = 0",
        "Calculando f'(0)"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Las intersecciones con el eje y ocurren donde la gráfica cruza el eje vertical",
        "En el eje y, el valor de x es siempre 0",
        "Busca el valor de y cuando x es 0"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Intersección con el Eje Y**",
        "",
        "**Definición:**",
        "La intersección con el eje y es el punto donde la gráfica de la función cruza el eje vertical.",
        "",
        "**Método:**",
        "Para encontrar la intersección con el eje y, calculamos f(0).",
        "",
        "**Procedimiento:**",
        "1. Sustituir x = 0 en la función: f(0)",
        "2. El resultado es el valor de y",
        "3. La coordenada de la intersección es (0, f(0))",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "",
        "**Función lineal:** f(x) = 2x - 4",
        "f(0) = 2·0 - 4 = -4",
        "Intersección: (0, -4)",
        "",
        "**Función cuadrática:** f(x) = x² - 5x + 6",
        "f(0) = 0² - 5·0 + 6 = 6",
        "Intersección: (0, 6)",
        "",
        "**Función exponencial:** f(x) = 2^x + 1",
        "f(0) = 2⁰ + 1 = 1 + 1 = 2",
        "Intersección: (0, 2)",
        "",
        "**Función logarítmica:** f(x) = ln(x + 1)",
        "f(0) = ln(0 + 1) = ln(1) = 0",
        "Intersección: (0, 0)",
        "",
        "**Importante:**",
        "Si f(0) no está definido, la función no tiene intersección con el eje y."
      ],
      "explanation": "Para encontrar la intersección con el eje y, evaluamos la función en x = 0. El resultado f(0) es la coordenada y del punto donde la gráfica cruza el eje y, y la coordenada completa es (0, f(0))."
    },
    {
      "id": "int-003",
      "topic": "interseccion-eje-x",
      "question": "Encuentra las intersecciones con el eje x de f(x) = x² - 5x + 6",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "(2, 0) y (3, 0)",
        "(0, 2) y (0, 3)",
        "(1, 0) y (6, 0)",
        "(0, 6)"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Resuelve la ecuación x² - 5x + 6 = 0",
        "Intenta factorizar el polinomio",
        "Busca dos números que multiplicados den 6 y sumados den -5"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Intersecciones con Eje X de Función Cuadrática**",
        "",
        "**Función:** f(x) = x² - 5x + 6",
        "",
        "**Paso 1:** Igualar a cero",
        "x² - 5x + 6 = 0",
        "",
        "**Paso 2:** Factorizar",
        "Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den -5",
        "Los números son -2 y -3",
        "x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0",
        "",
        "**Paso 3:** Resolver",
        "x - 2 = 0 ⇒ x = 2",
        "x - 3 = 0 ⇒ x = 3",
        "",
        "**Paso 4:** Coordenadas de las intersecciones",
        "Para x = 2: (2, 0)",
        "Para x = 3: (3, 0)",
        "",
        "**Resultado:**",
        "Las intersecciones con el eje x son (2, 0) y (3, 0)",
        "",
        "**Verificación:**",
        "f(2) = 2² - 5·2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓",
        "f(3) = 3² - 5·3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ✓"
      ],
      "explanation": "Resolvemos x² - 5x + 6 = 0 factorizando como (x-2)(x-3) = 0, lo que nos da x = 2 y x = 3. Las coordenadas completas de las intersecciones con el eje x son (2, 0) y (3, 0)."
    },
    {
      "id": "int-004",
      "topic": "interseccion-eje-y",
      "question": "Encuentra la intersección con el eje y de f(x) = 3x² - 2x + 5",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "(0, 5)",
        "(5, 0)",
        "(0, 3)",
        "(0, -2)"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Evalúa la función en x = 0",
        "Sustituye x = 0 en la expresión 3x² - 2x + 5",
        "Recuerda que cualquier número elevado a 0 es 1, excepto 0⁰"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Intersección con Eje Y de Función Cuadrática**",
        "",
        "**Función:** f(x) = 3x² - 2x + 5",
        "",
        "**Paso 1:** Evaluar en x = 0",
        "f(0) = 3·0² - 2·0 + 5",
        "",
        "**Paso 2:** Calcular",
        "f(0) = 3·0 - 2·0 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5",
        "",
        "**Paso 3:** Coordenada de la intersección",
        "Como x = 0 y f(0) = 5, la intersección es (0, 5)",
        "",
        "**Resultado:**",
        "La intersección con el eje y es (0, 5)",
        "",
        "**Verificación:**",
        "El punto (0, 5) está en el eje y (x = 0) y satisface la ecuación f(x) = 3x² - 2x + 5",
        "f(0) = 3·0² - 2·0 + 5 = 5 ✓"
      ],
      "explanation": "Para encontrar la intersección con el eje y, evaluamos f(0) = 3·0² - 2·0 + 5 = 5. Por lo tanto, la intersección con el eje y es el punto (0, 5)."
    },
    {
      "id": "int-005",
      "topic": "intersecciones-ambos-ejes",
      "question": "Encuentra todas las intersecciones con los ejes de f(x) = x³ - 4x",
      "type": "code-editor",
      "difficulty": "medio",
      "problemText": "Determina todas las intersecciones con los ejes de la función f(x) = x³ - 4x\n\nPasos:\n1. Encuentra la intersección con el eje y evaluando f(0)\n2. Encuentra las intersecciones con el eje x resolviendo f(x) = 0\n3. Factoriza la expresión para encontrar las soluciones\n4. Determina todas las coordenadas de intersección",
      "initialCode": "// f(x) = x³ - 4x\n\n// Paso 1: Intersección con el eje y\n// f(0) = ?\n// Intersección con el eje y: (?, ?)\n\n// Paso 2: Intersecciones con el eje x\n// Resolver: x³ - 4x = 0\n\n// Paso 3: Factorizar\n// x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x - 2)(x + 2)\n\n// Paso 4: Encontrar las soluciones\n// x = ?, x = ?, x = ?\n\n// Paso 5: Coordenadas completas de las intersecciones",
      "expectedOutput": "Intersección con el eje y: (0, 0). Intersecciones con el eje x: (-2, 0), (0, 0), (2, 0)",
      "hints": [
        "Para la intersección con el eje y: f(0) = 0³ - 4·0 = 0",
        "Para las intersecciones con el eje x: resuelve x³ - 4x = 0",
        "Factoriza: x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x - 2)(x + 2)",
        "Las soluciones son x = 0, x = 2, y x = -2"
      ],
      "testCases": [
        {
          "input": "",
          "expectedOutput": "Intersección con el eje y: (0, 0). Intersecciones con el eje x: (-2, 0), (0, 0), (2, 0)"
        }
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Intersecciones Completas de Función Cúbica**",
        "",
        "**Función:** f(x) = x³ - 4x",
        "",
        "**Paso 1:** Intersección con el eje y",
        "f(0) = 0³ - 4·0 = 0 - 0 = 0",
        "Intersección con el eje y: (0, 0)",
        "",
        "**Paso 2:** Intersecciones con el eje x",
        "Resolvemos f(x) = 0:",
        "x³ - 4x = 0",
        "",
        "**Paso 3:** Factorizar",
        "x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x - 2)(x + 2) = 0",
        "",
        "**Paso 4:** Encontrar las soluciones",
        "x = 0, x = 2, o x = -2",
        "",
        "**Paso 5:** Coordenadas completas",
        "Para x = 0: (0, 0)",
        "Para x = 2: (2, 0)",
        "Para x = -2: (-2, 0)",
        "",
        "**Resultado:**",
        "Intersección con el eje y: (0, 0)",
        "Intersecciones con el eje x: (-2, 0), (0, 0), (2, 0)",
        "",
        "**Nota:**",
        "El punto (0, 0) es tanto intersección con el eje x como con el eje y"
      ]
    },
    {
      "id": "int-006",
      "topic": "intersecciones-funciones-especiales",
      "question": "¿Cuál es la intersección con el eje y de f(x) = ln(x + 2)?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "(0, ln(2))",
        "(ln(2), 0)",
        "(0, 2)",
        "(2, 0)"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Evalúa la función en x = 0",
        "Recuerda que ln(a + b) no es igual a ln(a) + ln(b)",
        "Usa las propiedades de los logaritmos correctamente"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Intersección con Eje Y de Función Logarítmica**",
        "",
        "**Función:** f(x) = ln(x + 2)",
        "",
        "**Paso 1:** Evaluar en x = 0",
        "f(0) = ln(0 + 2) = ln(2)",
        "",
        "**Paso 2:** Coordenada de la intersección",
        "Como x = 0 y f(0) = ln(2), la intersección es (0, ln(2))",
        "",
        "**Paso 3:** Valor numérico aproximado",
        "ln(2) ≈ 0.6931",
        "",
        "**Paso 4:** Verificar el dominio",
        "El dominio de f es x + 2 > 0 ⇒ x > -2",
        "Como 0 > -2, x = 0 está en el dominio",
        "",
        "**Resultado:**",
        "La intersección con el eje y es (0, ln(2)) ≈ (0, 0.6931)",
        "",
        "**Nota:**",
        "Para encontrar intersecciones con el eje x, resolveríamos ln(x + 2) = 0",
        "ln(x + 2) = 0 ⇒ x + 2 = 1 ⇒ x = -1",
        "Intersección con el eje x: (-1, 0)"
      ],
      "explanation": "Para encontrar la intersección con el eje y, evaluamos f(0) = ln(0 + 2) = ln(2). Por lo tanto, la intersección con el eje y es (0, ln(2))."
    },
    {
      "id": "int-007",
      "topic": "intersecciones-funciones-especiales",
      "question": "Encuentra las intersecciones con el eje x de f(x) = e^(2x) - 1",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "(0, 0)",
        "(1, 0)",
        "(-1, 0)",
        "No tiene intersecciones con el eje x"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Resuelve la ecuación e^(2x) - 1 = 0",
        "Recuerda que e^a = 1 si y solo si a = 0",
        "Aplica logaritmo natural si es necesario"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Intersecciones con Eje X de Función Exponencial**",
        "",
        "**Función:** f(x) = e^(2x) - 1",
        "",
        "**Paso 1:** Igualar a cero",
        "e^(2x) - 1 = 0",
        "",
        "**Paso 2:** Despejar el término exponencial",
        "e^(2x) = 1",
        "",
        "**Paso 3:** Resolver para x",
        "Como e^a = 1 si y solo si a = 0, entonces:",
        "2x = 0 ⇒ x = 0",
        "",
        "**Paso 4:** Coordenada de la intersección",
        "Para x = 0: (0, 0)",
        "",
        "**Verificación:**",
        "f(0) = e^(2·0) - 1 = e⁰ - 1 = 1 - 1 = 0 ✓",
        "",
        "**Resultado:**",
        "La única intersección con el eje x es (0, 0)",
        "",
        "**Nota adicional:**",
        "La intersección con el eje y también es (0, 0) ya que:",
        "f(0) = e^(2·0) - 1 = e⁰ - 1 = 0"
      ],
      "explanation": "Resolvemos e^(2x) - 1 = 0 ⇒ e^(2x) = 1. Como e^a = 1 solo cuando a = 0, tenemos 2x = 0 ⇒ x = 0. Por lo tanto, la única intersección con el eje x es (0, 0)."
    },
    {
      "id": "int-008",
      "topic": "intersecciones-funcion-valor-absoluto",
      "question": "Encuentra las intersecciones con los ejes de f(x) = |x - 2| - 3",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Con el eje y: (0, 1), Con el eje x: (-1, 0) y (5, 0)",
        "Con el eje y: (0, -1), Con el eje x: (-1, 0) y (5, 0)",
        "Con el eje y: (0, 1), Con el eje x: (1, 0) y (3, 0)",
        "Con el eje y: (0, -1), Con el eje x: (1, 0) y (3, 0)"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Para la intersección con el eje y: evalúa f(0)",
        "Para las intersecciones con el eje x: resuelve |x - 2| - 3 = 0",
        "Recuerda que |a| = b implica a = b o a = -b (si b ≥ 0)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Intersecciones de Función con Valor Absoluto**",
        "",
        "**Función:** f(x) = |x - 2| - 3",
        "",
        "**Paso 1:** Intersección con el eje y",
        "f(0) = |0 - 2| - 3 = | -2| - 3 = 2 - 3 = -1",
        "Intersección con el eje y: (0, -1)",
        "",
        "**Paso 2:** Intersecciones con el eje x",
        "Resolvemos |x - 2| - 3 = 0 ⇒ |x - 2| = 3",
        "",
        "**Paso 3:** Resolver la ecuación con valor absoluto",
        "|x - 2| = 3 implica:",
        "x - 2 = 3 ⇒ x = 5",
        "o x - 2 = -3 ⇒ x = -1",
        "",
        "**Paso 4:** Coordenadas de las intersecciones",
        "Para x = 5: (5, 0)",
        "Para x = -1: (-1, 0)",
        "",
        "**Resultado:**",
        "Intersección con el eje y: (0, -1)",
        "Intersecciones con el eje x: (-1, 0) y (5, 0)",
        "",
        "**Verificación:**",
        "f(-1) = |-1 - 2| - 3 = | -3| - 3 = 3 - 3 = 0 ✓",
        "f(5) = |5 - 2| - 3 = |3| - 3 = 3 - 3 = 0 ✓"
      ],
      "explanation": "Para la intersección con el eje y: f(0) = |0 - 2| - 3 = 2 - 3 = -1, dando (0, -1). Para las intersecciones con el eje x: |x - 2| - 3 = 0 ⇒ |x - 2| = 3 ⇒ x - 2 = 3 o x - 2 = -3 ⇒ x = 5 o x = -1, dando (-1, 0) y (5, 0)."
    },
    {
      "id": "int-009",
      "topic": "intersecciones-funcion-racional",
      "question": "Encuentra las intersecciones con los ejes de f(x) = (x² - 4)/(x + 1)",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "Con el eje y: (0, -4), Con el eje x: (-2, 0) y (2, 0)",
        "Con el eje y: (0, 4), Con el eje x: (-2, 0) y (2, 0)",
        "Con el eje y: (0, -4), Con el eje x: (-1, 0) y (4, 0)",
        "Con el eje y: (0, 4), Con el eje x: (-1, 0) y (4, 0)"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "dificil",
      "hints": [
        "Para la intersección con el eje y: evalúa f(0)",
        "Para las intersecciones con el eje x: resuelve (x² - 4)/(x + 1) = 0",
        "Recuerda que una fracción es 0 cuando el numerador es 0 (y el denominador no)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Intersecciones de Función Racional**",
        "",
        "**Función:** f(x) = (x² - 4)/(x + 1)",
        "",
        "**Paso 1:** Intersección con el eje y",
        "f(0) = (0² - 4)/(0 + 1) = (-4)/1 = -4",
        "Intersección con el eje y: (0, -4)",
        "",
        "**Paso 2:** Intersecciones con el eje x",
        "Resolvemos (x² - 4)/(x + 1) = 0",
        "",
        "**Paso 3:** Resolver la ecuación racional",
        "Una fracción es 0 cuando el numerador es 0 (y el denominador no):",
        "x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2",
        "",
        "**Paso 4:** Verificar que el denominador no sea 0",
        "Para x = 2: denominador = 2 + 1 = 3 ≠ 0 ✓",
        "Para x = -2: denominador = -2 + 1 = -1 ≠ 0 ✓",
        "",
        "**Paso 5:** Coordenadas de las intersecciones",
        "Para x = 2: (2, 0)",
        "Para x = -2: (-2, 0)",
        "",
        "**Resultado:**",
        "Intersección con el eje y: (0, -4)",
        "Intersecciones con el eje x: (-2, 0) y (2, 0)",
        "",
        "**Nota:**",
        "La función tiene una asíntota vertical en x = -1, donde el denominador se anula"
      ],
      "explanation": "Para la intersección con el eje y: f(0) = (0² - 4)/(0 + 1) = -4, dando (0, -4). Para las intersecciones con el eje x: (x² - 4)/(x + 1) = 0 ⇒ x² - 4 = 0 ⇒ x = ±2, dando (-2, 0) y (2, 0)."
    },
    {
      "id": "int-010",
      "topic": "intersecciones-funcion-racional",
      "question": "¿Cuántas intersecciones con el eje x puede tener como máximo un polinomio de grado n?",
      "type": "multiple-choice",
      "options": [
        "n",
        "n-1",
        "n+1",
        "2n"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Las intersecciones con el eje x son las raíces del polinomio",
        "Usa el Teorema Fundamental del Álgebra",
        "Considera tanto raíces reales como complejas"
      ],
      "stepByStep": [
        "📐 **Número Máximo de Intersecciones con el Eje X**",
        "",
        "**Concepto clave:**",
        "Las intersecciones con el eje x de una función f(x) corresponden a las soluciones de f(x) = 0.",
        "",
        "**Para polinomios:**",
        "Las intersecciones con el eje x de un polinomio P(x) son las raíces del polinomio.",
        "",
        "**Teorema Fundamental del Álgebra:**",
        "Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas (contando multiplicidades).",
        "",
        "**Intersecciones reales:**",
        "De las n raíces complejas, algunas pueden ser reales y otras complejas con parte imaginaria no nula.",
        "Solo las raíces reales corresponden a intersecciones con el eje x.",
        "",
        "**Número máximo de intersecciones reales:**",
        "En el mejor caso, todas las raíces son reales y distintas,",
        "por lo que un polinomio de grado n puede tener como máximo n intersecciones con el eje x.",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "• Grado 1 (lineal): máximo 1 intersección",
        "• Grado 2 (cuadrática): máximo 2 intersecciones",
        "• Grado 3 (cúbica): máximo 3 intersecciones",
        "",
        "**Caso especial:**",
        "Si el polinomio tiene raíces complejas, el número de intersecciones reales será menor que n.",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "Un polinomio de grado n puede tener como máximo n intersecciones con el eje x."
      ],
      "explanation": "Según el Teorema Fundamental del Álgebra, un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas. Como máximo, todas estas raíces podrían ser reales, dando como máximo n intersecciones con el eje x."
    }
  ]
}