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  "intersecciones-ejes": [
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      "title": "Guía Completa: Intersecciones con los Ejes",
      "type": "text",
      "content": "# Intersecciones con los Ejes\n\n## Conceptos Fundamentales\n\n### Intersecciones con el Eje X\n\n**Definición:**\nLas intersecciones con el eje x son los puntos donde la gráfica de una función cruza el eje horizontal.\n\n**Método:**\nPara encontrar las intersecciones con el eje x, resolvemos la ecuación f(x) = 0.\n\n**Procedimiento:**\n1. Igualar la función a cero: f(x) = 0\n2. Resolver para x\n3. Las coordenadas de las intersecciones son (x, 0)\n\n### Intersección con el Eje Y\n\n**Definición:**\nLa intersección con el eje y es el punto donde la gráfica de una función cruza el eje vertical.\n\n**Método:**\nPara encontrar la intersección con el eje y, calculamos f(0).\n\n**Procedimiento:**\n1. Sustituir x = 0 en la función: f(0)\n2. El resultado es el valor de y\n3. La coordenada de la intersección es (0, f(0))\n\n## Intersecciones por Tipo de Función\n\n### Funciones Polinomiales\n\n**Funciones Lineales (grado 1):**\nf(x) = ax + b\n- Intersección con el eje y: (0, b)\n- Intersección con el eje x: (-b/a, 0) si a ≠ 0\n\n**Funciones Cuadráticas (grado 2):**\nf(x) = ax² + bx + c\n- Intersección con el eje y: (0, c)\n- Intersecciones con el eje x: soluciones de ax² + bx + c = 0\n\n**Funciones Cúbicas (grado 3):**\nf(x) = ax³ + bx² + cx + d\n- Intersección con el eje y: (0, d)\n- Intersecciones con el eje x: soluciones de ax³ + bx² + cx + d = 0\n\n### Funciones Racionales\n\n**Forma general:** f(x) = P(x)/Q(x)\n- Intersección con el eje y: (0, P(0)/Q(0)) si Q(0) ≠ 0\n- Intersecciones con el eje x: soluciones de P(x) = 0 donde Q(x) ≠ 0\n\n### Funciones Exponenciales\n\n**Forma general:** f(x) = a·e^(bx) + c\n- Intersección con el eje y: (0, a + c)\n- Intersecciones con el eje x: resolver a·e^(bx) + c = 0\n\n### Funciones Logarítmicas\n\n**Forma general:** f(x) = a·ln(bx + c) + d\n- Intersección con el eje y: (0, a·ln(c) + d) si c > 0\n- Intersecciones con el eje x: resolver a·ln(bx + c) + d = 0\n\n### Funciones con Valor Absoluto\n\n**Forma general:** f(x) = |g(x)| + h\n- Intersección con el eje y: (0, |g(0)| + h)\n- Intersecciones con el eje x: resolver |g(x)| + h = 0\n\n## Ejemplos Detallados\n\n### Ejemplo 1: Función Cuadrática\n\nAnalizar f(x) = x² - 5x + 6\n\n**Solución:**\n\n1. **Intersección con el eje y:**\n   f(0) = 0² - 5·0 + 6 = 6\n   Intersección: (0, 6)\n\n2. **Intersecciones con el eje x:**\n   x² - 5x + 6 = 0\n   (x - 2)(x - 3) = 0\n   x = 2 o x = 3\n   Intersecciones: (2, 0) y (3, 0)\n\n### Ejemplo 2: Función Racional\n\nAnalizar f(x) = (x² - 4)/(x + 1)\n\n**Solución:**\n\n1. **Intersección con el eje y:**\n   f(0) = (0² - 4)/(0 + 1) = -4/1 = -4\n   Intersección: (0, -4)\n\n2. **Intersecciones con el eje x:**\n   (x² - 4)/(x + 1) = 0\n   x² - 4 = 0 ⇒ x = ±2\n   Verificar que el denominador no sea 0:\n   - Para x = 2: denominador = 2 + 1 = 3 ≠ 0 ✓\n   - Para x = -2: denominador = -2 + 1 = -1 ≠ 0 ✓\n   Intersecciones: (-2, 0) y (2, 0)\n\n### Ejemplo 3: Función Exponencial\n\nAnalizar f(x) = e^(2x) - 1\n\n**Solución:**\n\n1. **Intersección con el eje y:**\n   f(0) = e^(2·0) - 1 = e⁰ - 1 = 1 - 1 = 0\n   Intersección: (0, 0)\n\n2. **Intersecciones con el eje x:**\n   e^(2x) - 1 = 0\n   e^(2x) = 1\n   2x = 0 ⇒ x = 0\n   Intersección: (0, 0)\n\n### Ejemplo 4: Función con Valor Absoluto\n\nAnalizar f(x) = |x - 2| - 3\n\n**Solución:**\n\n1. **Intersección con el eje y:**\n   f(0) = |0 - 2| - 3 = 2 - 3 = -1\n   Intersección: (0, -1)\n\n2. **Intersecciones con el eje x:**\n   |x - 2| - 3 = 0\n   |x - 2| = 3\n   x - 2 = 3 ⇒ x = 5\n   x - 2 = -3 ⇒ x = -1\n   Intersecciones: (-1, 0) y (5, 0)\n\n## Aplicaciones Prácticas\n\n### Análisis de Graficas\n\nLas intersecciones con los ejes son fundamentales para:\n- Determinar la posición de la gráfica en el plano cartesiano\n- Establecer puntos de referencia para el bosquejo\n- Comprender el comportamiento de la función\n- Identificar simetrías y periodicidades\n\n### Resolución de Problemas\n\nEn aplicaciones reales:\n- **Física:** Puntos donde un objeto está en el origen o a nivel del suelo\n- **Economía:** Punto de equilibrio (ingresos = costos)\n- **Ingeniería:** Puntos de corte o intersección en diseños\n- **Estadística:** Valores de referencia y puntos de cambio\n\n## Errores Comunes\n\n1. **Olvidar verificar el dominio**\n   - Asegurarse de que los valores encontrados estén en el dominio de la función\n\n2. **No verificar el denominador en funciones racionales**\n   - Las intersecciones con el eje x deben satisfacer P(x) = 0 y Q(x) ≠ 0\n\n3. **Confundir las coordenadas**\n   - Intersección con el eje x: (x, 0)\n   - Intersección con el eje y: (0, y)\n\n4. **Errores algebraicos al resolver ecuaciones**\n   - Verificar siempre las soluciones sustituyéndolas en la ecuación original\n\n## Tabla de Referencia Rápida\n\n| Función | Intersección con el eje y | Intersecciones con el eje x |\n|---------|------------------------|---------------------------|\n| f(x) = ax + b | (0, b) | (-b/a, 0) |\n| f(x) = ax² + bx + c | (0, c) | Soluciones de ax² + bx + c = 0 |\n| f(x) = a·x³ + bx² + cx + d | (0, d) | Soluciones de ax³ + bx² + cx + d = 0 |\n| f(x) = P(x)/Q(x) | (0, P(0)/Q(0)) | Soluciones de P(x) = 0 donde Q(x) ≠ 0 |\n| f(x) = a·e^(bx) + c | (0, a + c) | Resolver a·e^(bx) + c = 0 |\n| f(x) = a·ln(bx + c) + d | (0, a·ln(c) + d) | Resolver a·ln(bx + c) + d = 0 |\n| f(x) = |g(x)| + h | (0, |g(0)| + h) | Resolver |g(x)| + h = 0 |"
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    {
      "title": "Video: Intersecciones con los Ejes",
      "type": "video",
      "url": "https://www.youtube.com/watch?v=7TqL4i9qQ8E",
      "description": "Explicación visual de cómo encontrar intersecciones con los ejes para diferentes tipos de funciones."
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    {
      "title": "Calculadora Interactiva de Intersecciones",
      "type": "interactive",
      "url": "https://www.geogebra.org/m/H8s7b2X9",
      "description": "Explora visualmente las intersecciones con los ejes de diferentes funciones y observa cómo cambian al modificar parámetros."
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    {
      "title": "Ejercicios Propuestos",
      "type": "text",
      "content": "# Ejercicios de Intersecciones con los Ejes\n\n## Nivel Básico\n\n1. Encuentra las intersecciones con los ejes de:\n   a) f(x) = 2x - 6\n   b) f(x) = -3x + 9\n   c) f(x) = x² - 4\n\n2. Determina la intersección con el eje y de:\n   a) f(x) = 4x² - 2x + 5\n   b) f(x) = -2x³ + x - 3\n   c) f(x) = e^x + 2\n\n## Nivel Intermedio\n\n3. Encuentra todas las intersecciones con los ejes de:\n   a) f(x) = x² - 5x + 6\n   b) f(x) = 2x³ - 8x\n   c) f(x) = (x² - 9)/(x - 2)\n\n4. Determina las intersecciones con los ejes de:\n   a) f(x) = e^(2x) - 4\n   b) f(x) = ln(x + 3)\n   c) f(x) = |x + 1| - 4\n\n5. Analiza completamente:\n   a) f(x) = x³ - 6x² + 8x\n   b) f(x) = (x² - 1)/(x + 2)\n\n## Nivel Avanzado\n\n6. Encuentra todas las intersecciones con los ejes de:\n   a) f(x) = x⁴ - 5x² + 4\n   b) f(x) = (x³ - 2x² - x + 2)/(x² - 1)\n   c) f(x) = e^(-x²) + 1\n\n7. Analiza funciones con parámetros:\n   a) f(x) = ax² + bx + c (encuentra fórmulas generales)\n   b) f(x) = a·e^(bx) + c\n   c) f(x) = |x - a| + b\n\n8. Problema de aplicación:\n   Una empresa tiene una función de ingresos R(x) = 50x - x² y una función de costos C(x) = 10x + 100,\n   donde x es el número de unidades producidas. Encuentra:\n   a) El punto de equilibrio (donde ingresos = costos)\n   b) Las intersecciones con los ejes de la función de ganancia G(x) = R(x) - C(x)\n\n## Soluciones\n\n### Nivel Básico\n\n1. a) Con el eje y: (0, -6), con el eje x: (3, 0)\n   b) Con el eje y: (0, 9), con el eje x: (3, 0)\n   c) Con el eje y: (0, -4), con el eje x: (-2, 0) y (2, 0)\n\n2. a) (0, 5)\n   b) (0, -3)\n   c) (0, 3)\n\n### Nivel Intermedio\n\n3. a) Con el eje y: (0, 6), con el eje x: (2, 0) y (3, 0)\n   b) Con el eje y: (0, 0), con el eje x: (-2, 0), (0, 0) y (2, 0)\n   c) Con el eje y: (0, 9/2), con el eje x: (-3, 0) y (3, 0)\n\n4. a) Con el eje y: (0, -3), con el eje x: (ln(2)/2, 0)\n   b) Con el eje y: (0, ln(3)), con el eje x: (-2, 0)\n   c) Con el eje y: (0, 3), con el eje x: (-5, 0) y (3, 0)\n\n5. a) Con el eje y: (0, 0), con el eje x: (0, 0), (2, 0) y (4, 0)\n   b) Con el eje y: (0, -1/2), con el eje x: (-1, 0) y (1, 0)\n\n### Nivel Avanzado\n\n6. a) Con el eje y: (0, 4), con el eje x: (-2, 0), (-1, 0), (1, 0) y (2, 0)\n   b) Con el eje y: (0, -2), con el eje x: (-1, 0) y (2, 0)\n   c) Con el eje y: (0, 2), no tiene intersecciones con el eje x\n\n7. a) Con el eje y: (0, c), con el eje x: soluciones de ax² + bx + c = 0\n   b) Con el eje y: (0, a + c), con el eje x: x = ln(-c/a)/b (si -c/a > 0)\n   c) Con el eje y: (0, | -a| + b), con el eje x: a - b y a + b (si b ≤ 0)\n\n8. a) Punto de equilibrio: x = 40\n   b) G(x) = -x² + 40x - 100\n      Con el eje y: (0, -100)\n      Con el eje x: x = 20 ± 2√75 ≈ 2.8 y 37.2"
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    {
      "title": "Infografía: Intersecciones con los Ejes",
      "type": "image",
      "url": "https://i.imgur.com/example5.png",
      "description": "Resumen visual de cómo encontrar intersecciones con los ejes para diferentes tipos de funciones."
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    {
      "title": "Simulador Interactivo: Funciones y sus Intersecciones",
      "type": "interactive",
      "url": "https://www.desmos.com/calculator/intersections-explorer",
      "description": "Explora funciones de diferentes tipos y observa sus intersecciones con los ejes modificando parámetros en tiempo real."
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