{ "matrices-determinantes": [ { "id": "md-t1-dd1", "topic": "propiedades-matrices", "question": "Arrastra la respuesta correcta para cada afirmación sobre propiedades de matrices.", "type": "drag-drop", "items": [ "El rango de una matriz 3×5 puede ser 4", "El rango de una matriz y su transpuesta son iguales", "La suma de dos matrices invertibles es siempre invertible", "El producto de dos matrices invertibles es siempre invertible" ], "categories": [ "Verdadero", "Falso" ], "correctMapping": [ 1, 0, 1, 0 ], "difficulty": "facil", "hints": [ "El rango máximo es min(filas, columnas)", "Para suma, busca un contraejemplo con I y -I" ], "explanation": "**Rango 3×5=4: FALSO** (máx = 3)\\n**Rango = Rango transpuesta: VERDADERO**\\n**Suma invertibles: FALSO** (I + (-I) = 0)\\n**Producto invertibles: VERDADERO** (teorema)" }, { "id": "md-t1-fb1", "topic": "propiedades-matrices", "question": "Completa la afirmación sobre invertibilidad.", "type": "fill-blank", "blanks": [ "distinto de cero", "singular" ], "distractors": [ "igual a cero", "invertible", "nula", "diagonal" ], "template": "Una matriz es invertible si y solo si su determinante es _____. Si el determinante es cero, la matriz se llama _____.", "difficulty": "facil", "hints": [ "¿Qué condición debe cumplir det(A) para que exista A⁻¹?", "Matrices con det=0 se llaman singulares o no invertibles" ], "explanation": "**Teorema fundamental:** Una matriz cuadrada $A$ es **invertible** $\\Leftrightarrow$ $\\det(A) \\neq 0$. Las matrices con $\\det(A) = 0$ se llaman **singulares** o no invertibles." }, { "id": "md-t1-cat1", "topic": "propiedades-matrices", "question": "Clasifica cada matriz según su rango.", "type": "categorize", "items": [ "$\\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$", "$\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix}$", "$\\begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}$" ], "categories": { "rango-0": "Rango 0", "rango-1": "Rango 1", "rango-2": "Rango 2" }, "correctCategories": { "$\\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$": "rango-1", "$\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix}$": "rango-2", "$\\begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}$": "rango-0" }, "difficulty": "medio", "hints": [ "Cuenta filas linealmente independientes", "La segunda fila de la primera matriz es 2× la primera" ], "explanation": "**Primera matriz:** Fila 2 = 2×Fila 1, solo 1 fila independiente → Rango 1\\n**Segunda matriz:** Identidad, 2 filas independientes → Rango 2\\n**Tercera matriz:** Matriz nula → Rango 0" }, { "id": "md-t2-n1", "topic": "determinantes", "question": "Calcula $\\det(4I_4)$ donde $I_4$ es la matriz identidad de orden 4.", "type": "numeric", "answer": 256, "tolerance": 0.01, "difficulty": "facil", "hints": [ "Usa la propiedad $\\det(kA) = k^n \\det(A)$ para matrices $n \\times n$", "$\\det(I_4) = 1$" ], "explanation": "$$\\det(4I_4) = 4^4 \\cdot \\det(I_4) = 4^4 \\cdot 1 = 256$$\\n\\n**Propiedad general:** $\\det(kA) = k^n \\det(A)$ para matrices $n \\times n$." }, { "id": "md-t2-n2", "topic": "determinantes", "question": "Para una matriz $A$ de orden 5 con $\\det(A) = 3$, calcula $\\det(2A)$.", "type": "numeric", "answer": 96, "tolerance": 0.01, "difficulty": "medio", "hints": [ "$\\det(2A) = 2^5 \\det(A)$", "$2^5 = 32$" ], "explanation": "$$\\det(2A) = 2^5 \\cdot \\det(A) = 32 \\cdot 3 = 96$$" }, { "id": "md-t2-mc1", "topic": "determinantes", "question": "**Cuadrado Mágico de Durero**\\n\\n$$A = \\begin{bmatrix} 8 & 1 & 6 \\\\ 3 & 5 & 7 \\\\ 4 & 9 & 2 \\end{bmatrix}$$\\n\\n¿Cuál es $\\det(A)$?", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "0", "15", "360", "-15", "1" ], "correct": 0, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "En un cuadrado mágico, todas las filas suman lo mismo", "Si puedes expresar una fila como combinación de otras, det=0" ], "explanation": "En un cuadrado mágico, todas las filas suman 15. Esto significa que las filas son **linealmente dependientes**: si sumamos todas las filas, obtenemos $[15, 15, 15]$, pero cada fila individual también suma 15. Por tanto, existe una combinación lineal no trivial de las filas que da cero, así que $\\det(A) = 0$." }, { "id": "md-t3-mi1", "topic": "matriz-inversa", "question": "Encuentra la matriz inversa de $A = \\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \\end{bmatrix}$ (matriz diagonal).", "type": "matrix-input", "matrix": { "rows": 2, "cols": 2, "correctAnswer": [ [ 0.5, 0 ], [ 0, 0.333333 ] ] ], "difficulty": "medio", "hints": [ "Para matriz diagonal, invierte cada elemento de la diagonal", "$A^{-1}$ también es diagonal con elementos $1/a_{ii}$" ], "explanation": "Para una matriz diagonal, la inversa es otra matriz diagonal con los recíprocos:\\n\\n$$A^{-1} = \\begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\\\ 0 & 1/3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\\\ 0 & 0.\\overline{3} \\end{bmatrix}$$" }, { "id": "md-t4-fb2", "topic": "propiedades-matrices", "question": "Los vectores $(1,9,2)$, $(8,0,-1)$, $(2,2,a)$ son linealmente independientes cuando $a \\neq$ _____.", "type": "fill-blank", "blanks": [ "0" ], "distractors": [ "1", "2", "-1", "9", "8" ], "template": "a ≠ _____", "difficulty": "avanzado", "hints": [ "Calcula el determinante de la matriz formada por los vectores", "Los vectores son l.i. cuando det ≠ 0" ], "explanation": "Formamos $A = \\begin{bmatrix} 1 & 8 & 2 \\\\ 9 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & a \\end{bmatrix}$ y calculamos $\\det(A)$ en términos de $a$. Después de desarrollar, encontramos que $\\det(A) = k \\cdot a$ para algún $k \\neq 0$, así que $\\det(A) = 0$ cuando $a = 0$. Por tanto, son l.i. cuando $a \\neq 0$." } ] }