{ "orden-reales": [ { "id": "or-001", "topic": "relaciones-orden", "question": "¿Cuál símbolo representa correctamente la relación '5 es menor que 8'?", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$5 < 8$", "$5 > 8$", "$5 \\leq 8$", "$8 < 5$" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": [ "< significa 'menor que'", "> significa 'mayor que'", "La punta del símbolo apunta al número menor" ], "stepByStep": [ "📚 **Símbolos de Orden**", "", "**Símbolos básicos:**", "* $<$ : menor que", "* $>$ : mayor que", "* $\\leq$ : menor o igual que", "* $\\geq$ : mayor o igual que", "* $=$ : igual a", "* $\\neq$ : diferente de", "", "**Truco para recordar:**", "La **punta** siempre apunta al número **más pequeño**", "La **abertura** siempre mira al número **más grande**", "", "**Ejemplos:**", "* $3 < 7$ (3 es menor que 7) ✓", "* $9 > 4$ (9 es mayor que 4) ✓", "* $5 \\leq 5$ (5 es menor o igual a 5) ✓", "* $-2 < 0$ (negativos son menores) ✓", "", "**Para el problema:**", "* '5 es menor que 8'", "* Se escribe: $5 < 8$", "* También se puede escribir: $8 > 5$ (8 es mayor que 5)", "", "✅ **Respuesta: $5 < 8$**" ], "explanation": "El símbolo < significa 'menor que', y 5 < 8 es la forma correcta de expresar que 5 es menor que 8." }, { "id": "or-002", "topic": "prop-tricotomia", "question": "Según la **propiedad de tricotomía**, dados dos números reales $a$ y $b$:", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "Exactamente UNA de estas es verdadera: $a < b$, $a = b$, o $a > b$", "Pueden cumplirse dos relaciones simultáneamente", "Siempre se cumple que $a = b$", "No se puede comparar números reales" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "'Tri-cotomía' = tres divisiones", "Solo UNA relación puede ser verdadera", "O es menor, o igual, o mayor (pero no dos a la vez)" ], "stepByStep": [ "📚 **Propiedad de Tricotomía**", "", "**Enunciado:**", "Para cualquier par de números reales $a, b \\in \\mathbb{R}$, **exactamente UNA** de estas tres relaciones es verdadera:", "", "1. $a < b$ (a es menor que b)", "2. $a = b$ (a es igual a b)", "3. $a > b$ (a es mayor que b)", "", "**Significado:**", "* Siempre podemos comparar dos números reales", "* Solo UNA de las tres opciones es verdadera", "* No pueden cumplirse dos simultáneamente", "", "**Ejemplos:**", "", "**Caso 1:** $a = 5$, $b = 8$", "* ¿$5 < 8$? ✓ **Verdadero**", "* ¿$5 = 8$? ✗ Falso", "* ¿$5 > 8$? ✗ Falso", "Solo la primera es verdadera", "", "**Caso 2:** $a = 7$, $b = 7$", "* ¿$7 < 7$? ✗ Falso", "* ¿$7 = 7$? ✓ **Verdadero**", "* ¿$7 > 7$? ✗ Falso", "Solo la segunda es verdadera", "", "**Caso 3:** $a = 10$, $b = 3$", "* ¿$10 < 3$? ✗ Falso", "* ¿$10 = 3$? ✗ Falso", "* ¿$10 > 3$? ✓ **Verdadero**", "Solo la tercera es verdadera", "", "**Aplicación:**", "Esta propiedad garantiza que los números reales están **totalmente ordenados**", "", "✅ **Exactamente UNA relación es verdadera**" ], "explanation": "La tricotomía establece que dos números solo pueden tener una relación: menor, igual o mayor, pero no dos a la vez." }, { "id": "or-003", "topic": "prop-transitividad", "question": "Si $a < b$ y $b < c$, ¿qué se puede concluir por la **propiedad transitiva**?", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$a < c$", "$a > c$", "$a = c$", "No se puede determinar" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Si a es menor que b, y b es menor que c...", "Entonces a debe ser menor que c", "Es como una cadena: a < b < c" ], "stepByStep": [ "📚 **Propiedad Transitiva del Orden**", "", "**Enunciado:**", "Si $a < b$ y $b < c$, entonces $a < c$", "", "**En general:**", "* Si $a < b$ y $b < c$ → entonces $a < c$", "* Si $a \\leq b$ y $b \\leq c$ → entonces $a \\leq c$", "* Si $a > b$ y $b > c$ → entonces $a > c$", "* Si $a \\geq b$ y $b \\geq c$ → entonces $a \\geq c$", "", "**Visualización:**", "```", "a -------- b -------- c", " menor menor", "```", "Si a está a la izquierda de b, y b a la izquierda de c,", "entonces a está a la izquierda de c", "", "**Ejemplo numérico:**", "* Sabemos: $2 < 5$ ✓", "* Sabemos: $5 < 9$ ✓", "* Por transitividad: $2 < 9$ ✓", "", "**Otro ejemplo:**", "* $-3 < 0$ y $0 < 4$", "* Entonces: $-3 < 4$ ✓", "", "**Ejemplo con variables:**", "* Si $x < y$ y $y < 10$", "* Entonces: $x < 10$", "", "**Aplicación práctica:**", "Esta propiedad permite construir cadenas de desigualdades:", "$$-5 < -2 < 0 < 3 < 7 < 10$$", "", "De aquí podemos concluir directamente:", "* $-5 < 10$ (primero con último)", "* $-2 < 7$ (segundo con penúltimo)", "* Cualquier par donde el primero esté a la izquierda", "", "✅ **Si $a < b$ y $b < c$, entonces $a < c$**" ], "explanation": "La propiedad transitiva permite encadenar desigualdades: si a b + 3$ (se invierte el orden)", "$a + 3 = b + 3$ (se vuelven iguales)", "No se puede determinar" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Sumar lo mismo a ambos lados NO cambia el orden", "Si 2 < 5, entonces 2+3 < 5+3", "La desigualdad se preserva" ], "stepByStep": [ "📚 **Propiedad de Monotonía**", "", "**Para la SUMA:**", "Si $a < b$, entonces $a + c < b + c$ para cualquier $c \\in \\mathbb{R}$", "", "**Significado:** Sumar (o restar) el mismo número a ambos lados **mantiene** el orden", "", "**Ejemplo numérico:**", "* Partimos de: $2 < 5$", "* Sumamos 3 a ambos lados:", " * $2 + 3 = 5$", " * $5 + 3 = 8$", "* Resultado: $5 < 8$ ✓ (orden se mantiene)", "", "**Ejemplo con resta:**", "* Partimos de: $7 < 10$", "* Restamos 4 a ambos lados:", " * $7 - 4 = 3$", " * $10 - 4 = 6$", "* Resultado: $3 < 6$ ✓ (orden se mantiene)", "", "**Para la MULTIPLICACIÓN:**", "", "**Caso 1: Multiplicar por positivo**", "Si $a < b$ y $c > 0$, entonces $ac < bc$", "", "Ejemplo: $2 < 5$ y multiplicamos por 3", "* $2 \\times 3 = 6$", "* $5 \\times 3 = 15$", "* $6 < 15$ ✓ (orden se mantiene)", "", "**Caso 2: Multiplicar por NEGATIVO** ⚠️", "Si $a < b$ y $c < 0$, entonces $ac > bc$ (orden se **INVIERTE**)", "", "Ejemplo: $2 < 5$ y multiplicamos por $-1$", "* $2 \\times (-1) = -2$", "* $5 \\times (-1) = -5$", "* $-2 > -5$ ✓ (orden se **invirtió**)", "", "**Resumen:**", "* Suma/resta: orden se mantiene", "* Multiplicar/dividir por positivo: orden se mantiene", "* Multiplicar/dividir por negativo: orden se **invierte**", "", "✅ **$a + 3 < b + 3$ (orden se mantiene)**" ], "explanation": "Al sumar el mismo número a ambos lados, el orden se preserva por la propiedad de monotonía." }, { "id": "or-005", "topic": "comparacion-numeros", "question": "¿Cuál afirmación es **verdadera**?", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$-5 < -2$ (entre negativos, el más cercano a cero es mayor)", "$-5 > -2$", "$0 < -1$", "$-10 > 0$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "En la recta numérica, los negativos están a la izquierda", "-5 está más lejos del cero que -2", "Entre negativos, el más cercano a cero es el mayor" ], "stepByStep": [ "🔍 **Comparar Números Negativos**", "", "**Regla fundamental:**", "En la recta numérica, si un número está más a la **izquierda**, es **menor**", "", "**Recta numérica:**", "```", "... -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...", " ←------------------|---------------→", " MENOR | MAYOR", "```", "", "**Analicemos cada opción:**", "", "**A) $-5 < -2$**", "* $-5$ está a la izquierda de $-2$ en la recta", "* $-5$ está más lejos de cero (valor absoluto mayor)", "* ✓ **VERDADERO**", "", "**B) $-5 > -2$**", "* Sería decir que $-5$ es mayor que $-2$", "* ✗ FALSO (está a la izquierda, es menor)", "", "**C) $0 < -1$**", "* Cero está a la derecha de $-1$", "* $0 > -1$ (cero es mayor que cualquier negativo)", "* ✗ FALSO", "", "**D) $-10 > 0$**", "* Todos los negativos son menores que cero", "* ✗ FALSO", "", "**Regla práctica para negativos:**", "Entre dos números negativos:", "* El que tiene **mayor valor absoluto** es el **menor**", "* $|-5| = 5 > 2 = |-2|$", "* Por lo tanto: $-5 < -2$", "", "**Más ejemplos:**", "* $-100 < -50$ (100 > 50, pero con signo negativo se invierte)", "* $-3 < -1 < 0 < 1 < 3$", "* $-\\frac{1}{2} > -1$ (más cercano a cero)", "", "✅ **Respuesta: $-5 < -2$**" ], "explanation": "Entre números negativos, el que está más cercano a cero es el mayor. -2 es mayor que -5." }, { "id": "or-006", "topic": "orden-valor-absoluto", "question": "Si $|a| < |b|$, ¿qué podemos concluir sobre $a$ y $b$?", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$a$ está más cerca del cero que $b$ en la recta numérica", "$a < b$ siempre", "$a > b$ siempre", "$a$ y $b$ tienen el mismo signo" ], "correct": 0, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "|a| es la distancia de a al cero", "Si |a| < |b|, entonces a está más cerca de 0", "No sabemos los signos de a y b" ], "stepByStep": [ "📚 **Orden y Valor Absoluto**", "", "**Recordatorio:** $|x|$ es la **distancia** de $x$ al cero", "", "**Si $|a| < |b|$:**", "Significa que $a$ está **más cerca del origen** que $b$", "", "**Visualización:**", "```", " -b -a 0 a b", " ----●------●-----|-----●------●----", " |<---->| | |<---->|", " |b| | |a|", "```", "", "**Casos posibles:**", "", "**Ejemplo 1:** $a = 2$, $b = 5$", "* $|2| = 2$, $|5| = 5$", "* $2 < 5$ ✓", "* $a < b$ en este caso", "", "**Ejemplo 2:** $a = 2$, $b = -5$", "* $|2| = 2$, $|-5| = 5$", "* $2 < 5$ ✓", "* Pero $2 > -5$ (¡a es mayor que b!)", "", "**Ejemplo 3:** $a = -2$, $b = 5$", "* $|-2| = 2$, $|5| = 5$", "* $2 < 5$ ✓", "* $-2 < 5$ (a es menor que b)", "", "**Ejemplo 4:** $a = -2$, $b = -5$", "* $|-2| = 2$, $|-5| = 5$", "* $2 < 5$ ✓", "* $-2 > -5$ (¡a es mayor que b!)", "", "**Conclusión:**", "* **NO** podemos concluir $a < b$ o $a > b$ sin conocer los signos", "* Lo único seguro es que $a$ está **más cerca del cero**", "", "**Propiedad importante:**", "$$|a| < |b| \\Leftrightarrow -|b| < a < |b|$$", "", "✅ **$a$ está más cerca del cero que $b$**" ], "explanation": "El valor absoluto mide distancia al origen. Si |a|<|b|, entonces a está más cerca de cero, independientemente de los signos." } ] }