{ "precalculo": [ { "id": "pc-t1-b1", "topic": "factorizacion", "question": "¿Cuál es la factorización completa de $x^2-25$?", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$(x-5)(x+5)$", "$(x-5)^2$", "$(x+5)^2$", "$(x-25)(x+1)$" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": ["Es una diferencia de cuadrados.", "La fórmula es $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$."], "explanation": "La expresión $x^2-25$ es una diferencia de cuadrados, donde $a=x$ y $b=5$. Por lo tanto, $x^2-25=(x-5)(x+5)$." }, { "id": "pc-t1-i1", "topic": "factorizacion", "question": "¿Cuál es la factorización de $x^2+5x+6$?", "type": "multiple-choice","shuffle": true, "options": [ "$(x+2)(x+3)$", "$(x-2)(x-3)$", "$(x+1)(x+6)$", "$(x-1)(x-6)$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": ["Busca dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5.", "Los números son 2 y 3."], "stepByStep": [ "### 📚 **Factorización de trinomios**", "", "**Objetivo:** Encontrar dos números que sumen 5 y multipliquen 6.", "", "**Paso 1:** Identificar los coeficientes del trinomio $ax^2+bx+c$: ", "- $a=1$, $b=5$, $c=6$.", "", "**Paso 2:** Buscar dos números $p$ y $q$ tales que $p+q=b$ y $p\\cdot q=c$.", "- En este caso, $p+q=5$ y $p\\cdot q=6$.", "", "**Paso 3:** Los números son 2 y 3, ya que $2+3=5$ y $2\\cdot 3=6$.", "", "### ✅ **Respuesta**", "La factorización es $(x+2)(x+3)$." ], "explanation": "Para factorizar $x^2+5x+6$, buscamos dos números que sumados den 5 y multiplicados den 6. Esos números son 2 y 3. Así, la factorización es $(x+2)(x+3)$." }, { "id": "pc-t1-a1", "topic": "factorizacion", "question": "Uno de los factores del polinomio $x^3-6x^2+11x-6$ es $(x-1)$. ¿Cuáles son los otros dos factores?", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$(x-2)(x-3)$", "$(x+2)(x+3)$", "$(x-2)(x+3)$", "$(x+2)(x-3)$" ], "correct": 0, "difficulty": "avanzado", "hints": ["Usa división sintética con la raíz $x=1$.", "Luego factoriza el trinomio cuadrático resultante."], "stepByStep": [ "### 📚 **Factorización usando el Teorema del Factor**", "", "**Función:** $P(x) = x^3-6x^2+11x-6$.", "**Factor dado:** $(x-1)$, lo que implica que $x=1$ es una raíz.", "", "### 📝 **Paso a paso**", "", "**Paso 1:** Realizar división sintética con $x=1$.", "```", "1 | 1 -6 11 -6", " | 1 -5 6", " ----------------", " 1 -5 6 0", "```", "", "**Paso 2:** El cociente es el polinomio $x^2-5x+6$.", "", "**Paso 3:** Factorizar el trinomio cuadrático $x^2-5x+6$.", "- Buscamos dos números que sumen -5 y multipliquen 6. Esos números son -2 y -3.", "- Así, $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$.", "", "### ✅ **Respuesta**", "Los otros dos factores son $(x-2)$ y $(x-3)$." ], "explanation": "Dado que $(x-1)$ es un factor, realizamos división sintética con $x=1$. El cociente resultante es $x^2-5x+6$, que se factoriza como $(x-2)(x-3)$. Por lo tanto, los otros dos factores son $(x-2)(x-3)$." }, { "id": "pc-t1-d1", "topic": "factorizacion", "question": "Factoriza el polinomio $x^3+2x^2-x-2$ usando el método de agrupación.", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$(x+2)(x-1)(x+1)$", "$(x-2)(x-1)(x+1)$", "$(x+2)(x^2+1)$", "$(x-2)(x^2-1)$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Agrupa los primeros dos términos y los últimos dos términos.", "$(x^3+2x^2) - (x+2)$", "Saca el factor común de cada grupo." ], "stepByStep": [ "### 📚 **Factorización por Agrupación**", "", "**Polinomio:** $x^3+2x^2-x-2$", "", "**Paso 1:** Agrupar los términos.", "$(x^3+2x^2) + (-x-2)$", "", "**Paso 2:** Sacar el factor común de cada grupo.", "$x^2(x+2) - 1(x+2)$", "", "**Paso 3:** Sacar el factor común binomial $(x+2)$.", "$(x+2)(x^2-1)$", "", "**Paso 4:** Factorizar la diferencia de cuadrados $x^2-1$.", "$(x^2-1) = (x-1)(x+1)$", "", "### ✅ **Respuesta**", "La factorización completa es $(x+2)(x-1)(x+1)$." ], "explanation": "Agrupando términos: $(x^3+2x^2)-(x+2) = x^2(x+2)-1(x+2) = (x^2-1)(x+2)$. Luego, factorizando la diferencia de cuadrados $x^2-1$, obtenemos $(x-1)(x+1)(x+2)$." }, { "id": "pc-t1-d2", "topic": "factorizacion", "question": "Arrastra cada POLINOMIO a su FORMA FACTORIZADA correcta.", "description": "Las cajas de la izquierda son los polinomios originales. Las de la derecha son sus factorizaciones. Conecta cada uno con su par.", "type": "drag-drop", "items": [ "$x^2-81$", "$x^3+27$", "$2x^2+4x$", "$x^2-x-12$" ], "categories": [ "$(x-9)(x+9)$", "$(x+3)(x^2-3x+9)$", "$2x(x+2)$", "$(x-4)(x+3)$" ], "correctMapping": [0, 1, 2, 3], "difficulty": "medio", "hints": [ "Busca diferencias de cuadrados.", "Recuerda la fórmula de la suma de cubos.", "No olvides buscar el factor común primero." ], "stepByStep": [ "### 📚 **Revisión de Técnicas de Factorización**", "", "**1. $x^2-81$:**", "- Es una diferencia de cuadrados ($a^2-b^2$).", "- $a=x$, $b=9$.", "- Factorización: $(x-9)(x+9)$.", "", "**2. $x^3+27$:**", "- Es una suma de cubos ($a^3+b^3$).", "- $a=x$, $b=3$.", "- Fórmula: $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.", "- Factorización: $(x+3)(x^2-3x+9)$.", "", "**3. $2x^2+4x$:**", "- Tiene un factor común: $2x$.", "- Factorización: $2x(x+2)$.", "", "**4. $x^2-x-12$:**", "- Es un trinomio. Buscamos dos números que sumen -1 y multipliquen -12.", "- Los números son -4 y 3.", "- Factorización: $(x-4)(x+3)$." ], "explanation": "Cada polinomio requiere una técnica de factorización diferente: diferencia de cuadrados para $x^2-81$, suma de cubos para $x^3+27$, factor común para $2x^2+4x$, y factorización de trinomio para $x^2-x-12$." }, { "id": "pc-t2-b1", "topic": "racionales", "question": "¿Cuál es la forma simplificada de $\\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1}$? (Asume el dominio permitido)", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$\\dfrac{x+1}{x-1}$", "$\\dfrac{x-1}{x+1}$", "$\\dfrac{x+1}{x}$", "$1$" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": ["Factoriza el numerador como diferencia de cuadrados.", "Factoriza el denominador como un trinomio cuadrado perfecto."], "stepByStep": [ "### 📚 **Simplificación de Expresiones Racionales**", "", "**Expresión:** $\\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1}$", "", "### 📝 **Paso a paso**", "", "**Paso 1:** Factorizar el numerador ($x^2-1$).", "- Es una diferencia de cuadrados: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.", "", "**Paso 2:** Factorizar el denominador ($x^2-2x+1$).", "- Es un trinomio cuadrado perfecto: $x^2-2x+1 = (x-1)^2 = (x-1)(x-1)$.", "", "**Paso 3:** Reescribir la expresión con los factores y simplificar.", "- $\\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-1)}$", "- Cancelar un factor $(x-1)$ del numerador y del denominador (válido para $x \\neq 1$).", "", "### ✅ **Respuesta**", "La expresión simplificada es $\\dfrac{x+1}{x-1}$." ], "explanation": "El numerador $x^2-1$ factoriza como $(x-1)(x+1)$ (diferencia de cuadrados). El denominador $x^2-2x+1$ factoriza como $(x-1)^2$ (trinomio cuadrado perfecto). Cancelando un $(x-1)$ común, obtenemos $\\dfrac{x+1}{x-1}$." }, { "id": "pc-t2-i1", "topic": "racionales", "question": "¿Cuál es el resultado de la suma $\\dfrac{3}{x+1}+\\dfrac{2}{x-1}$?", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$\\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-1)}$", "$\\dfrac{5x+1}{(x+1)(x-1)}$", "$\\dfrac{5x}{(x+1)(x-1)}$", "$\\dfrac{5}{2}$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": ["Encuentra el mínimo común denominador.", "El MCD es $(x+1)(x-1)$."], "stepByStep": [ "### 📚 **Suma de Fracciones Algebraicas**", "", "**Expresión:** $\\dfrac{3}{x+1}+\\dfrac{2}{x-1}$", "", "### 📝 **Paso a paso**", "", "**Paso 1:** Encontrar el Mínimo Común Denominador (MCD).", "- El MCD de $(x+1)$ y $(x-1)$ es $(x+1)(x-1)$.", "", "**Paso 2:** Reescribir cada fracción con el MCD.", "- $\\dfrac{3}{x+1} = \\dfrac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}$", "- $\\dfrac{2}{x-1} = \\dfrac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}$", "", "**Paso 3:** Sumar los numeradores y mantener el denominador común.", "- $\\dfrac{3(x-1) + 2(x+1)}{(x+1)(x-1)}$", "- $\\dfrac{3x-3 + 2x+2}{(x+1)(x-1)}$", "- $\\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-1)}$", "", "### ✅ **Respuesta**", "La suma es $\\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-1)}$." ], "explanation": "Para sumar las fracciones, encontramos el MCD que es $(x+1)(x-1)$. Reescribimos cada fracción con este denominador: $\\dfrac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \\dfrac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}$. Sumando los numeradores obtenemos $\\dfrac{3x-3+2x+2}{(x+1)(x-1)} = \\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-1)}$." }, { "id": "pc-t2-d1", "topic": "racionales", "question": "Realiza la siguiente división y simplifica: $\\dfrac{x^2+2x}{x^2-4} \\div \\dfrac{x}{x-2}$", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$1$", "$\\dfrac{x+2}{x-2}$", "$\\dfrac{x}{x+2}$", "$x$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "Para dividir fracciones, multiplica por el recíproco.", "Factoriza todos los numeradores y denominadores antes de cancelar." ], "stepByStep": [ "### 📚 **División de Expresiones Racionales**", "", "**Paso 1:** Convertir la división en multiplicación por el recíproco.", "$\\dfrac{x^2+2x}{x^2-4} \\cdot \\dfrac{x-2}{x}$", "", "**Paso 2:** Factorizar cada expresión.", "- $x^2+2x = x(x+2)$", "- $x^2-4 = (x-2)(x+2)$", "", "**Paso 3:** Reescribir la expresión con los factores.", "$\\dfrac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} \\cdot \\dfrac{x-2}{x}$", "", "**Paso 4:** Cancelar los factores comunes: $x$, $(x+2)$, y $(x-2)$.", "$\\dfrac{\\cancel{x}(\\cancel{x+2})}{(\\cancel{x-2})(\\cancel{x+2})} \\cdot \\dfrac{\\cancel{x-2}}{\\cancel{x}}$", "", "### ✅ **Respuesta**", "Después de cancelar todos los factores, el resultado es 1 (asumiendo que $x \\neq 0, 2, -2$)." ], "explanation": "Convertimos la división en una multiplicación por el recíproco. Luego, factorizamos todas las expresiones: $\\dfrac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} \\cdot \\dfrac{x-2}{x}$. Al cancelar los factores comunes $(x)$, $(x+2)$ y $(x-2)$, el resultado es 1." }, { "id": "pc-t2-d2", "topic": "racionales", "question": "El dominio de la expresión racional $\\dfrac{x-5}{x^2-9}$ excluye dos valores. ¿Cuáles son?", "type": "fill-blank", "blanks": ["-3", "3"], "distractors": ["5", "-5", "9", "-9"], "template": "El dominio excluye los valores _____ y _____.", "difficulty": "facil", "hints": [ "El dominio se restringe por los valores que hacen cero el denominador.", "Iguala el denominador $x^2-9$ a cero y resuelve para $x$." ], "explanation": "Para encontrar las exclusiones del dominio, igualamos el denominador a cero: $x^2-9=0$. Esto nos da $(x-3)(x+3)=0$, por lo que las soluciones son $x=3$ y $x=-3$. Estos son los valores que se excluyen del dominio." }, { "id": "pc-t3-b1", "topic": "ecuaciones", "question": "¿Cuál es el valor de $x$ que satisface la ecuación $2x+3=11$?", "type": "numeric", "correct": 4, "tolerance": 0.001, "difficulty": "facil", "hints": ["Resta 3 a ambos lados de la ecuación.", "Divide por 2."], "explanation": "Para resolver $2x+3=11$, restamos 3 a ambos lados: $2x=8$. Luego, dividimos por 2: $x=4$." }, { "id": "pc-t3-i1", "topic": "ecuaciones", "question": "Resuelve la ecuación $\\dfrac{2}{x-1}+\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{3}{x-1}$.", "type": "numeric", "correct": 3, "tolerance": 0.001, "difficulty": "intermedio", "hints": ["Aísla el término con $x-1$ en un lado.", "Ten cuidado con el dominio de la ecuación."], "stepByStep": [ "### 📚 **Resolución de Ecuaciones Fraccionarias**", "", "**Ecuación:** $\\dfrac{2}{x-1}+\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{3}{x-1}$", "", "**Paso 1:** Restar $\\dfrac{2}{x-1}$ a ambos lados para agrupar términos similares.", "- $\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{x-1} - \\dfrac{2}{x-1}$", "- $\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{1}{x-1}$", "", "**Paso 2:** Multiplicar en cruz o tomar recíprocos.", "- $1 \\cdot (x-1) = 2 \\cdot 1$", "- $x-1 = 2$", "", "**Paso 3:** Despejar $x$.", "- $x = 2+1$", "- $x = 3$", "", "**Paso 4:** Verificar la solución en el dominio original. El denominador $x-1$ no debe ser cero, entonces $x \\neq 1$. Nuestra solución $x=3$ es válida.", "", "### ✅ **Respuesta**", "La solución es $x=3$." ], "explanation": "Primero, agrupamos los términos con $x-1$: $\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{x-1} - \\dfrac{2}{x-1}$, lo que simplifica a $\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{1}{x-1}$. Al multiplicar en cruz, obtenemos $x-1=2$, y despejando $x$, resulta $x=3$. Esta solución es válida ya que $x \\neq 1$." }, { "id": "pc-t3-a2", "topic": "ecuaciones", "question": "Resuelve la ecuación con valor absoluto $|3x-2|=5$. (Introduce las soluciones separadas por comas, de menor a mayor)", "type": "fill-blank", "blanks": ["-1", "7/3"], "distractors": ["1", "5/3", "-7/3", "-5"], "template": "Las soluciones son _____ y _____.", "difficulty": "avanzado", "hints": ["Considera dos casos para el valor absoluto.", "Caso 1: $3x-2=5$. Caso 2: $3x-2=-5$."], "stepByStep": [ "### 📚 **Resolución de Ecuaciones con Valor Absoluto**", "", "**Ecuación:** $|3x-2|=5$", "", "El valor absoluto significa que la expresión dentro puede ser igual a 5 o a -5.", "", "### 📝 **Paso a paso**", "", "**Caso 1:** $3x-2 = 5$", "- $3x = 5+2$", "- $3x = 7$", "- $x = \\dfrac{7}{3}$", "", "**Caso 2:** $3x-2 = -5$", "- $3x = -5+2$", "- $3x = -3$", "- $x = \\dfrac{-3}{3}$", "- $x = -1$", "", "### ✅ **Respuesta**", "Las soluciones son $x=-1$ y $x=\\dfrac{7}{3}$." ], "explanation": "Para $|3x-2|=5$, consideramos dos casos: $3x-2=5$ o $3x-2=-5$. Del primer caso, $3x=7$, dando $x=7/3$. Del segundo caso, $3x=-3$, dando $x=-1$. Las soluciones son $-1$ y $7/3$." }, { "id": "pc-t3-d1", "topic": "ecuaciones", "question": "Encuentra la única solución válida para la ecuación radical $\\sqrt{x+7} = x-5$.", "type": "numeric", "correct": 9, "tolerance": 0.001, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "Eleva al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz.", "Resuelve la ecuación cuadrática resultante.", "Verifica ambas soluciones en la ecuación original para descartar soluciones extrañas." ], "stepByStep": [ "### 📚 **Resolución de Ecuaciones Radicales**", "", "**Ecuación:** $\\sqrt{x+7} = x-5$", "", "**Paso 1:** Elevar al cuadrado ambos lados.", "$(\\sqrt{x+7})^2 = (x-5)^2$", "$x+7 = x^2 - 10x + 25$", "", "**Paso 2:** Reorganizar en una ecuación cuadrática igual a cero.", "$0 = x^2 - 11x + 18$", "", "**Paso 3:** Factorizar la ecuación cuadrática.", "$0 = (x-9)(x-2)$", "Las posibles soluciones son $x=9$ y $x=2$.", "", "**Paso 4:** Verificar las soluciones en la ecuación original.", "- **Prueba con $x=9$:** $\\sqrt{9+7} = 9-5 \\Rightarrow \\sqrt{16} = 4 \\Rightarrow 4=4$. (Válida)", "- **Prueba con $x=2$:** $\\sqrt{2+7} = 2-5 \\Rightarrow \\sqrt{9} = -3 \\Rightarrow 3=-3$. (Inválida/Extraña)", "", "### ✅ **Respuesta**", "La única solución válida es $x=9$." ], "explanation": "Al elevar al cuadrado, obtenemos la ecuación cuadrática $x^2-11x+18=0$, cuyas soluciones son $x=9$ y $x=2$. Debemos verificar estas soluciones en la ecuación original. Para $x=9$, $\\sqrt{16}=4$, que es correcto. Para $x=2$, $\\sqrt{9}= -3$, lo cual es falso. Por lo tanto, $x=2$ es una solución extraña y la única respuesta válida es $x=9$." }, { "id": "pc-t3-d2", "topic": "ecuaciones", "question": "Clasifica cada ecuación según su tipo principal.", "description": "Arrastra cada ecuación a la categoría que mejor describe el método principal necesario para resolverla.", "type": "categorize", "items": [ "$3x - 5 = 2(x+1)$", "$x^2 - 5x + 6 = 0$", "$\\sqrt{x-1} = 4$", "$\\dfrac{3}{x} + 2 = 5$" ], "categories": { "lineal": "Lineal", "cuadratica": "Cuadrática", "radical": "Radical", "racional": "Racional" }, "correctCategories": { "$3x - 5 = 2(x+1)$": "lineal", "$x^2 - 5x + 6 = 0$": "cuadratica", "$\\sqrt{x-1} = 4$": "radical", "$\\dfrac{3}{x} + 2 = 5$": "racional" }, "difficulty": "facil", "explanation": "Cada ecuación se clasifica por su característica principal: la ecuación lineal tiene la variable con exponente 1; la cuadrática tiene un término $x^2$; la radical contiene una raíz cuadrada; y la racional tiene la variable en el denominador." }, { "id": "pc-t4-b1", "topic": "inecuaciones", "question": "¿Cuál es la solución de la inecuación $x-4>1$ en notación de intervalo?", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$(5, \\infty)$", "$(-\\infty, 5)$", "$[5, \\infty)$", "$(-\\infty, 5]$" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": ["Suma 4 a ambos lados de la inecuación.", "Recuerda cómo se representa el 'mayor que' en intervalos."], "explanation": "Para resolver $x-4>1$, sumamos 4 a ambos lados: $x>5$. En notación de intervalo, esto se representa como $(5, \\infty)$." }, { "id": "pc-t4-i1", "topic": "inecuaciones", "question": "Resuelve la inecuación $(x-2)(x+1) \\le 0$. (Representa la solución en notación de intervalo)", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$[-1, 2]$", "$(-\\infty, -1] \\cup [2, \\infty)$", "$(-\\infty, -1) \\cup (2, \\infty)$", "$(-1, 2)$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": ["Encuentra los puntos críticos (donde los factores son cero).", "Usa una tabla de signos o prueba puntos en los intervalos."], "stepByStep": [ "### 📚 **Resolución de Inecuaciones Polinomiales**", "", "**Inecuación:** $(x-2)(x+1) \\le 0$", "", "### 📝 **Paso a paso**", "", "**Paso 1:** Encontrar los puntos críticos.", "- Los factores son $(x-2)$ y $(x+1)$.", "- $(x-2)=0 \\Rightarrow x=2$", "- $(x+1)=0 \\Rightarrow x=-1$", "- Los puntos críticos son $-1$ y $2$.", "", "**Paso 2:** Dividir la recta numérica en intervalos usando los puntos críticos.", "- Intervalo 1: $(-\\infty, -1)$", "- Intervalo 2: $(-1, 2)$", "- Intervalo 3: $(2, \\infty)$", "", "**Paso 3:** Analizar el signo de $(x-2)(x+1)$ en cada intervalo.", "| Intervalo | Valor de prueba | $x-2$ | $x+1$ | $(x-2)(x+1)$ | ¿Cumple $\\le 0$? |", "|-------------------|-----------------|-------|-------|--------------|-------------------|", "| $(-\\infty, -1)$ | $x=-2$ | $-$ | $-$ | $+$ | No |", "| $(-1, 2)$ | $x=0$ | $-$ | $+$ | $-$ | Sí |", "| $(2, \\infty)$ | $x=3$ | $+$ | $+$ | $+$ | No |", "", "**Paso 4:** Incluir los puntos críticos donde la desigualdad es $\\le 0$ (si es $\\ge 0$ o $\\le 0$).", "- Como es $\\le 0$, los puntos $-1$ y $2$ se incluyen.", "", "### ✅ **Respuesta**", "La solución en notación de intervalo es $[-1, 2]$." ], "explanation": "Los puntos críticos son $x=2$ y $x=-1$. Evaluando el signo de $(x-2)(x+1)$ en los intervalos $(-\\infty, -1)$, $(-1, 2)$ y $(2, \\infty)$, encontramos que la expresión es negativa o cero en el intervalo $[-1, 2]$. Por lo tanto, la solución es $[-1, 2]$." }, { "id": "pc-t4-a2", "topic": "inecuaciones", "question": "Resuelve la inecuación $|2x-5| \\le 3$. (Representa la solución en notación de intervalo)", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$[1, 4]$", "$(-\\infty, 1] \\cup [4, \\infty)$", "$(-1, 4)$", "$(1, 4)$" ], "correct": 0, "difficulty": "avanzado", "hints": ["Una inecuación de valor absoluto $|A| \\le k$ se traduce a $-k \\le A \\le k$."], "stepByStep": [ "### 📚 **Resolución de Inecuaciones con Valor Absoluto**", "", "**Inecuación:** $|2x-5| \\le 3$", "", "### 📝 **Paso a paso**", "", "**Paso 1:** Transformar la inecuación de valor absoluto en una inecuación compuesta.", "- Si $|A| \\le k$, entonces $-k \\le A \\le k$.", "- En nuestro caso: $-3 \\le 2x-5 \\le 3$.", "", "**Paso 2:** Sumar 5 a todas las partes de la inecuación.", "- $-3 + 5 \\le 2x-5 + 5 \\le 3 + 5$", "- $2 \\le 2x \\le 8$", "", "**Paso 3:** Dividir todas las partes por 2.", "- $\\dfrac{2}{2} \\le \\dfrac{2x}{2} \\le \\dfrac{8}{2}$", "- $1 \\le x \\le 4$", "", "### ✅ **Respuesta**", "La solución en notación de intervalo es $[1, 4]$." ], "explanation": "La inecuación $|2x-5| \\le 3$ se puede reescribir como una inecuación compuesta: $-3 \\le 2x-5 \\le 3$. Sumando 5 a todas las partes, obtenemos $2 \\le 2x \\le 8$. Finalmente, dividiendo por 2, la solución es $1 \\le x \\le 4$, que en notación de intervalo es $[1, 4]$." }, { "id": "pc-t4-d1", "topic": "inecuaciones", "question": "Encuentra el conjunto solución para la inecuación racional $\\dfrac{x+3}{x-1} \\ge 0$.", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$(-\\infty, -3] \\cup (1, \\infty)$", "$[-3, 1)$", "$(-\\infty, -3] \\cup [1, \\infty)$", "$(-\\infty, 1) \\cup (1, \\infty)$" ], "correct": 0, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "Los puntos críticos son los ceros del numerador y del denominador.", "El cero del denominador siempre se excluye de la solución (intervalo abierto).", "Usa una tabla de signos." ], "stepByStep": [ "### 📚 **Resolución de Inecuaciones Racionales**", "", "**Inecuación:** $\\dfrac{x+3}{x-1} \\ge 0$", "", "**Paso 1:** Encontrar los puntos críticos.", "- Numerador: $x+3=0 \\Rightarrow x=-3$", "- Denominador: $x-1=0 \\Rightarrow x=1$", "", "**Paso 2:** Crear la tabla de signos con los intervalos $(-\\infty, -3)$, $(-3, 1)$, y $(1, \\infty)$.", "| Intervalo | $x+3$ | $x-1$ | $\\frac{x+3}{x-1}$ | ¿Cumple $\\ge 0$? |", "|-------------------|-------|-------|-------------------|-------------------|", "| $(-\\infty, -3)$ | $-$ | $-$ | $+$ | Sí |", "| $(-3, 1)$ | $+$ | $-$ | $-$ | No |", "| $(1, \\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ | Sí |", "", "**Paso 3:** Analizar los puntos críticos.", "- En $x=-3$, la expresión es 0. Como la inecuación es $\\ge 0$, se incluye (corchete).", "- En $x=1$, la expresión no está definida. Siempre se excluye (paréntesis).", "", "### ✅ **Respuesta**", "La solución es la unión de los intervalos donde la expresión es positiva o cero: $(-\\infty, -3] \\cup (1, \\infty)$." ], "explanation": "Los puntos críticos son $x=-3$ (del numerador) y $x=1$ (del denominador). Analizando los signos en los intervalos, la fracción es positiva en $(-\\infty, -3)$ y en $(1, \\infty)$. Como la inecuación permite la igualdad a cero, incluimos $x=-3$, pero excluimos $x=1$ porque anula el denominador. La solución es $(-\\infty, -3] \\cup (1, \\infty)$." }, { "id": "pc-t5-b1", "topic": "racionalizacion", "question": "Racionaliza el denominador de $\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}$.", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}$", "$\\sqrt{3}$", "$\\dfrac{1}{3}$", "$\\dfrac{3}{\\sqrt{3}}$" ], "correct": 0, "difficulty": "facil", "hints": ["Multiplica el numerador y el denominador por $\\sqrt{3}$."], "explanation": "Para racionalizar $\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}$, multiplicamos el numerador y el denominador por $\\sqrt{3}$: $\\dfrac{1}{\\sqrt{3}} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}$." }, { "id": "pc-t5-a1", "topic": "racionalizacion", "question": "Racionaliza el denominador de $\\dfrac{\\sqrt{5}+\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}-\\sqrt{2}}$.", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$\\dfrac{7+2\\sqrt{10}}{3}$", "$\\dfrac{7-2\\sqrt{10}}{3}$", "$\\dfrac{3+2\\sqrt{10}}{7}$", "$\\dfrac{3-2\\sqrt{10}}{7}$" ], "correct": 0, "difficulty": "avanzado", "hints": ["Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.", "El conjugado de $\\sqrt{5}-\\sqrt{2}$ es $\\sqrt{5}+\\sqrt{2}$."], "stepByStep": [ "### 📚 **Racionalización con Binomios con Raíces**", "", "**Expresión:** $\\dfrac{\\sqrt{5}+\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}-\\sqrt{2}}$", "", "### 📝 **Paso a paso**", "", "**Paso 1:** Identificar el conjugado del denominador.", "- El denominador es $\\sqrt{5}-\\sqrt{2}$.", "- Su conjugado es $\\sqrt{5}+\\sqrt{2}$.", "", "**Paso 2:** Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado.", "- $\\dfrac{\\sqrt{5}+\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}-\\sqrt{2}} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{5}+\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}+\\sqrt{2}}$", "", "**Paso 3:** Realizar las multiplicaciones.", "- **Denominador:** $(\\sqrt{5}-\\sqrt{2})(\\sqrt{5}+\\sqrt{2}) = (\\sqrt{5})^2 - (\\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$.", "- **Numerador:** $(\\sqrt{5}+\\sqrt{2})^2 = (\\sqrt{5})^2 + 2(\\sqrt{5})(\\sqrt{2}) + (\\sqrt{2})^2 = 5 + 2\\sqrt{10} + 2 = 7+2\\sqrt{10}$.", "", "**Paso 4:** Combinar los resultados.", "- $\\dfrac{7+2\\sqrt{10}}{3}$", "", "### ✅ **Respuesta**", "La expresión racionalizada es $\\dfrac{7+2\\sqrt{10}}{3}$." ], "explanation": "Para racionalizar, multiplicamos por el conjugado del denominador, que es $\\sqrt{5}+\\sqrt{2}$. En el denominador obtenemos $(\\sqrt{5})^2-(\\sqrt{2})^2 = 5-2=3$. En el numerador obtenemos $(\\sqrt{5}+\\sqrt{2})^2 = 5+2\\sqrt{10}+2 = 7+2\\sqrt{10}$. Así, la expresión racionalizada es $\\dfrac{7+2\\sqrt{10}}{3}$." }, { "id": "pc-t5-d1", "topic": "racionalizacion", "question": "Racionaliza el denominador de $\\dfrac{6}{2+\\sqrt{2}}$", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "$6-3\\sqrt{2}$", "$6+3\\sqrt{2}$", "$3+\\sqrt{2}$", "$3-\\sqrt{2}$" ], "correct": 0, "difficulty": "medio", "hints": [ "El conjugado de $2+\\sqrt{2}$ es $2-\\sqrt{2}$.", "Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado." ], "stepByStep": [ "### 📚 **Racionalización de Denominadores**", "", "**Expresión:** $\\dfrac{6}{2+\\sqrt{2}}$", "", "**Paso 1:** Multiplicar por el conjugado del denominador, que es $2-\\sqrt{2}$.", "$\\dfrac{6}{2+\\sqrt{2}} \\cdot \\dfrac{2-\\sqrt{2}}{2-\\sqrt{2}}$", "", "**Paso 2:** Calcular el nuevo denominador.", "$(2+\\sqrt{2})(2-\\sqrt{2}) = 2^2 - (\\sqrt{2})^2 = 4-2=2$.", "", "**Paso 3:** Calcular el nuevo numerador.", "$6(2-\\sqrt{2}) = 12 - 6\\sqrt{2}$.", "", "**Paso 4:** Escribir la fracción simplificada.", "$\\dfrac{12 - 6\\sqrt{2}}{2} = \\dfrac{12}{2} - \\dfrac{6\\sqrt{2}}{2} = 6-3\\sqrt{2}$", "", "### ✅ **Respuesta**", "La expresión racionalizada es $6-3\\sqrt{2}$." ], "explanation": "Multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado $2-\\sqrt{2}$. El denominador se convierte en $4-2=2$. El numerador se convierte en $6(2-\\sqrt{2}) = 12-6\\sqrt{2}$. La fracción es $\\frac{12-6\\sqrt{2}}{2}$, que se simplifica a $6-3\\sqrt{2}$." }, { "id": "pc-t6-b1", "topic": "problemas-aplicados", "question": "La suma de dos números es 18 y uno es 4 mayor que el otro. Si el número menor es $x$, ¿cuál es el valor de $x$?", "type": "numeric", "correct": 7, "tolerance": 0.001, "difficulty": "facil", "hints": ["Si el menor es $x$, ¿cómo expresas el mayor?", "Plantea una ecuación con la suma de los dos números."], "stepByStep": [ "### 📚 **Resolución de Problemas con Ecuaciones Lineales**", "", "**Problema:** La suma de dos números es 18 y uno es 4 mayor que el otro. Encuentre el número menor.", "", "### 📝 **Paso a paso**", "", "**Paso 1:** Definir las variables.", "- Sea $x$ el número menor.", "- El número mayor es $x+4$ (ya que es 4 mayor que el menor).", "", "**Paso 2:** Formular la ecuación basada en la suma de los números.", "- La suma de los dos números es 18: $x + (x+4) = 18$.", "", "**Paso 3:** Resolver la ecuación.", "- $2x + 4 = 18$", "- $2x = 18 - 4$", "- $2x = 14$", "- $x = \\dfrac{14}{2}$", "- $x = 7$", "", "**Paso 4:** Verificar la solución.", "- Si el número menor es 7, el número mayor es $7+4=11$.", "- La suma es $7+11=18$, lo cual es correcto.", "", "### ✅ **Respuesta**", "El número menor es 7." ], "explanation": "Si el número menor es $x$, entonces el número mayor es $x+4$. La suma es $x + (x+4) = 18$. Esto simplifica a $2x+4=18$, luego $2x=14$, por lo tanto $x=7$." }, { "id": "pc-t6-i1", "topic": "problemas-aplicados", "question": "Un tanque se llena con dos mangueras. La manguera A lo llena en 3 horas y la manguera B en 6 horas. Si ambas trabajan juntas, ¿cuántas horas tardarán en llenar el tanque? (Redondea a dos decimales si es necesario)", "type": "numeric", "correct": 2, "tolerance": 0.01, "unit": "horas", "difficulty": "intermedio", "hints": ["Considera la fracción del tanque que cada manguera llena por hora.", "Si A llena en 3 horas, llena 1/3 del tanque por hora."], "stepByStep": [ "### 📚 **Problemas de Trabajo y Tasas**", "", "**Problema:** Manguera A llena en 3h, Manguera B en 6h. Juntas, ¿cuánto tardan?", "", "### 📝 **Paso a paso**", "", "**Paso 1:** Calcular la tasa de trabajo de cada manguera.", "- Manguera A: Llena $\\dfrac{1}{3}$ del tanque por hora.", "- Manguera B: Llena $\\dfrac{1}{6}$ del tanque por hora.", "", "**Paso 2:** Sumar las tasas de trabajo para encontrar la tasa conjunta.", "- Tasa conjunta: $\\dfrac{1}{3} + \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{2}{6} + \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$ del tanque por hora.", "", "**Paso 3:** Calcular el tiempo total para llenar el tanque.", "- Si juntas llenan $\\dfrac{1}{2}$ del tanque por hora, tardarán $\\dfrac{1}{\\dfrac{1}{2}}=2$ horas en llenar el tanque.", "", "### ✅ **Respuesta**", "Juntas, las mangueras tardan 2 horas en llenar el tanque." ], "explanation": "Manguera A llena $1/3$ del tanque por hora y manguera B llena $1/6$ del tanque por hora. Juntas, llenan $1/3 + 1/6 = 1/2$ del tanque por hora. Por lo tanto, tardan $1/(1/2) = 2$ horas en llenar el tanque." }, { "id": "pc-t6-d1", "topic": "problemas-aplicados", "question": "El largo de un rectángulo es 5 metros más que su ancho. Si el área del rectángulo es 36 metros cuadrados, ¿cuál es el ancho del rectángulo?", "type": "numeric", "correct": 4, "tolerance": 0.001, "unit": "metros", "difficulty": "avanzado", "hints": [ "Define el ancho como 'w' y el largo como 'w+5'.", "La fórmula del área es Largo × Ancho.", "Resuelve la ecuación cuadrática resultante." ], "stepByStep": [ "### 📚 **Problemas Geométricos con Ecuaciones Cuadráticas**", "", "**Paso 1:** Definir las variables.", "- Ancho = $w$", "- Largo = $w+5$", "", "**Paso 2:** Plantear la ecuación del área.", "- Área = Largo × Ancho", "- $36 = (w+5)w$", "", "**Paso 3:** Expandir y reorganizar en una ecuación cuadrática estándar.", "- $36 = w^2 + 5w$", "- $0 = w^2 + 5w - 36$", "", "**Paso 4:** Factorizar la ecuación cuadrática.", "- Buscamos dos números que multipliquen -36 y sumen 5. Son 9 y -4.", "- $0 = (w+9)(w-4)$", "- Las soluciones son $w=-9$ y $w=4$.", "", "**Paso 5:** Descartar la solución no válida.", "- El ancho no puede ser negativo, así que $w=-9$ se descarta.", "", "### ✅ **Respuesta**", "El ancho del rectángulo es 4 metros." ], "explanation": "Sea 'w' el ancho. El largo es 'w+5'. El área es $w(w+5)=36$, lo que lleva a la ecuación cuadrática $w^2+5w-36=0$. Al factorizarla, obtenemos $(w+9)(w-4)=0$. Las soluciones son $w=4$ y $w=-9$. Como el ancho debe ser positivo, la única solución válida es 4 metros." } ] }