{
  "propiedades-operaciones": [
    {
      "id": "po-001",
      "topic": "prop-conmutativa",
      "question": "La **propiedad conmutativa** de la suma establece que:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$a + b = b + a$ para todo $a, b \\in \\mathbb{R}$",
        "$a + (b + c) = (a + b) + c$",
        "$a \\cdot (b + c) = a \\cdot b + a \\cdot c$",
        "$a + 0 = a$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "'Conmutar' significa cambiar el orden",
        "El orden de los sumandos no altera la suma",
        "Ejemplo: 3 + 5 = 5 + 3"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Propiedad Conmutativa**",
        "",
        "**Para la SUMA:**",
        "$$a + b = b + a, \\quad \\forall a, b \\in \\mathbb{R}$$",
        "",
        "**Significa:** El orden de los sumandos no altera la suma",
        "",
        "**Ejemplos numéricos:**",
        "* $3 + 5 = 5 + 3 = 8$",
        "* $(-2) + 7 = 7 + (-2) = 5$",
        "* $\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} = \\frac{1}{3} + \\frac{1}{2} = \\frac{5}{6}$",
        "",
        "**Para la MULTIPLICACIÓN:**",
        "$$a \\cdot b = b \\cdot a$$",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "* $4 \\times 6 = 6 \\times 4 = 24$",
        "* $(-3) \\times 5 = 5 \\times (-3) = -15$",
        "",
        "⚠️ **Nota:** La resta y división NO son conmutativas",
        "* $5 - 3 = 2$ pero $3 - 5 = -2$ (diferente)",
        "* $6 \\div 2 = 3$ pero $2 \\div 6 = 0.333...$ (diferente)",
        "",
        "✅ **Respuesta: $a + b = b + a$**"
      ],
      "explanation": "La propiedad conmutativa permite cambiar el orden de los términos sin afectar el resultado."
    },
    {
      "id": "po-002",
      "topic": "prop-asociativa",
      "question": "¿Cuál expresión demuestra la **propiedad asociativa** de la multiplicación?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$(2 \\times 3) \\times 4 = 2 \\times (3 \\times 4) = 24$",
        "$2 \\times 3 = 3 \\times 2$",
        "$2 \\times (3 + 4) = 2 \\times 3 + 2 \\times 4$",
        "$2 \\times 1 = 2$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "'Asociativa' se refiere a cómo agrupamos con paréntesis",
        "Podemos cambiar la agrupación sin cambiar el resultado",
        "(a·b)·c = a·(b·c)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Propiedad Asociativa**",
        "",
        "**Para la SUMA:**",
        "$$(a + b) + c = a + (b + c)$$",
        "",
        "**Ejemplo:**",
        "$(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$",
        "$2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$ ✓",
        "",
        "**Para la MULTIPLICACIÓN:**",
        "$$(a \\cdot b) \\cdot c = a \\cdot (b \\cdot c)$$",
        "",
        "**Ejemplo:**",
        "$(2 \\times 3) \\times 4 = 6 \\times 4 = 24$",
        "$2 \\times (3 \\times 4) = 2 \\times 12 = 24$ ✓",
        "",
        "**Significado:** Podemos cambiar cómo agrupamos las operaciones",
        "",
        "⚠️ **Resto y división NO son asociativas:**",
        "* $(8 - 4) - 2 = 2$ pero $8 - (4 - 2) = 6$",
        "* $(16 \\div 4) \\div 2 = 2$ pero $16 \\div (4 \\div 2) = 8$",
        "",
        "✅ **$(2 \\times 3) \\times 4 = 2 \\times (3 \\times 4)$**"
      ],
      "explanation": "La propiedad asociativa permite reagrupar operaciones sin cambiar el resultado."
    },
    {
      "id": "po-003",
      "topic": "prop-distributiva",
      "question": "Aplica la **propiedad distributiva**: $3(x + 5) = ?$",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$3x + 15$",
        "$3x + 5$",
        "$x + 15$",
        "$3x \\cdot 15$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Multiplica 3 por CADA término dentro del paréntesis",
        "a(b + c) = ab + ac",
        "3 × x = 3x, y 3 × 5 = 15"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Propiedad Distributiva**",
        "",
        "**Fórmula general:**",
        "$$a(b + c) = ab + ac$$",
        "",
        "**Significado:** La multiplicación se distribuye sobre la suma",
        "",
        "**Aplicación al problema:**",
        "$$3(x + 5)$$",
        "",
        "**Paso 1:** Multiplica 3 por el primer término",
        "$$3 \\times x = 3x$$",
        "",
        "**Paso 2:** Multiplica 3 por el segundo término",
        "$$3 \\times 5 = 15$$",
        "",
        "**Paso 3:** Suma los resultados",
        "$$3(x + 5) = 3x + 15$$",
        "",
        "**Verificación numérica** (con x = 2):",
        "* Lado izquierdo: $3(2 + 5) = 3(7) = 21$",
        "* Lado derecho: $3(2) + 15 = 6 + 15 = 21$ ✓",
        "",
        "**Otros ejemplos:**",
        "* $2(a + 3) = 2a + 6$",
        "* $-5(x - 4) = -5x + 20$",
        "* $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$",
        "",
        "✅ **Respuesta: $3x + 15$**"
      ],
      "explanation": "Se distribuye el 3 multiplicándolo por cada término dentro del paréntesis."
    },
    {
      "id": "po-004",
      "topic": "elemento-neutro",
      "question": "¿Cuál es el **elemento neutro** de la multiplicación en ℝ?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "1 (porque $a \\cdot 1 = a$)",
        "0 (porque $a + 0 = a$)",
        "-1 (porque es el opuesto de 1)",
        "No existe elemento neutro"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "El neutro es el elemento que NO cambia al otro",
        "Para suma es 0, para multiplicación es...",
        "¿Qué número multiplicado por cualquier a da a?"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Elementos Neutros**",
        "",
        "**Definición:** Es el elemento que al operar con cualquier otro número, NO lo cambia",
        "",
        "**Para la SUMA:** El neutro es **0**",
        "$$a + 0 = 0 + a = a$$",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "* $5 + 0 = 5$",
        "* $-3 + 0 = -3$",
        "* $\\frac{1}{2} + 0 = \\frac{1}{2}$",
        "",
        "**Para la MULTIPLICACIÓN:** El neutro es **1**",
        "$$a \\cdot 1 = 1 \\cdot a = a$$",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "* $7 \\times 1 = 7$",
        "* $-4 \\times 1 = -4$",
        "* $\\frac{2}{3} \\times 1 = \\frac{2}{3}$",
        "",
        "**¿Por qué no es 0?**",
        "Si 0 fuera neutro de la multiplicación:",
        "$$a \\times 0 = a$$",
        "Pero sabemos que $a \\times 0 = 0$ (siempre), no $a$",
        "",
        "**Propiedades de los neutros:**",
        "* Son únicos (solo hay uno para cada operación)",
        "* Son conmutativos: $a + 0 = 0 + a$, $a \\cdot 1 = 1 \\cdot a$",
        "",
        "✅ **El neutro multiplicativo es 1**"
      ],
      "explanation": "El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque a·1 = a para todo número real a."
    },
    {
      "id": "po-005",
      "topic": "elemento-inverso",
      "question": "¿Cuál es el **inverso aditivo** de -7?",
      "type": "numeric",
      "correct": 7,
      "tolerance": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "El inverso aditivo es el opuesto",
        "a + (-a) = 0",
        "¿Qué número sumado a -7 da 0?"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Elemento Inverso**",
        "",
        "**INVERSO ADITIVO (opuesto)**",
        "",
        "**Definición:** Es el número que sumado al original da el neutro (0)",
        "$$a + (-a) = 0$$",
        "",
        "**Para el problema:** Encontrar inverso de -7",
        "",
        "**Planteamos:**",
        "$$-7 + x = 0$$",
        "",
        "**Despejamos:**",
        "$$x = 0 - (-7) = 0 + 7 = 7$$",
        "",
        "**Verificación:**",
        "$$-7 + 7 = 0$$ ✓",
        "",
        "**Regla práctica:** El inverso aditivo cambia el signo",
        "* Inverso de $5$ es $-5$",
        "* Inverso de $-3$ es $3$",
        "* Inverso de $\\frac{2}{3}$ es $-\\frac{2}{3}$",
        "* Inverso de $0$ es $0$ (único que es su propio inverso)",
        "",
        "**INVERSO MULTIPLICATIVO (recíproco)**",
        "",
        "**Definición:** Número que multiplicado da 1",
        "$$a \\cdot \\frac{1}{a} = 1$$",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "* Inverso multiplicativo de $5$ es $\\frac{1}{5}$",
        "* Inverso de $\\frac{2}{3}$ es $\\frac{3}{2}$",
        "* $0$ **NO** tiene inverso multiplicativo",
        "",
        "✅ **El inverso aditivo de -7 es 7**"
      ],
      "explanation": "El inverso aditivo (opuesto) de -7 es 7, porque -7 + 7 = 0."
    },
    {
      "id": "po-006",
      "topic": "aplicaciones-propiedades",
      "question": "Simplifica usando propiedades: $2(3x + 4) + 5x$",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$11x + 8$",
        "$10x + 9$",
        "$16x + 4$",
        "$6x + 13$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Primero aplica distributiva: 2(3x + 4)",
        "Luego agrupa términos semejantes",
        "6x + 8 + 5x = ?"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Simplificación con Propiedades**",
        "",
        "**Expresión original:**",
        "$$2(3x + 4) + 5x$$",
        "",
        "**Paso 1: Propiedad Distributiva**",
        "$$2(3x + 4) = 2 \\cdot 3x + 2 \\cdot 4 = 6x + 8$$",
        "",
        "**Paso 2: Sustituir**",
        "$$6x + 8 + 5x$$",
        "",
        "**Paso 3: Propiedad Conmutativa** (reorganizar)",
        "$$6x + 5x + 8$$",
        "",
        "**Paso 4: Combinar términos semejantes**",
        "$$6x + 5x = (6 + 5)x = 11x$$",
        "(usando propiedad distributiva al revés)",
        "",
        "**Resultado final:**",
        "$$11x + 8$$",
        "",
        "**Verificación** (con x = 1):",
        "* Original: $2(3(1) + 4) + 5(1) = 2(7) + 5 = 19$",
        "* Simplificado: $11(1) + 8 = 19$ ✓",
        "",
        "✅ **Respuesta: $11x + 8$**"
      ],
      "explanation": "Aplicamos distributiva 2(3x+4)=6x+8, luego sumamos términos semejantes: 6x+5x=11x."
    }
  ]
}