{
  "series-numericas": [
    {
      "id": "sn-001",
      "topic": "sucesiones-numericas",
      "question": "¿Cuál es la definición correcta de una **sucesión numérica**?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Una función que asigna a cada número natural un número real: $a_n = f(n)$",
        "Una suma infinita de términos",
        "Una función continua en los reales",
        "Un conjunto ordenado de números racionales"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Una sucesión es una lista ordenada: a₁, a₂, a₃, ...",
        "El dominio son los números naturales ℕ",
        "No confundir sucesión (lista) con serie (suma)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Definición de Sucesión**",
        "",
        "Una **sucesión numérica** es una función:",
        "$$f: \\mathbb{N} \\to \\mathbb{R}$$",
        "$$n \\mapsto a_n$$",
        "",
        "**Notación:**",
        "* Sucesión: $\\{a_n\\}_{n=1}^{\\infty}$ o simplemente $\\{a_n\\}$",
        "* Términos: $a_1, a_2, a_3, \\ldots, a_n, \\ldots$",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "* $\\{n\\} = 1, 2, 3, 4, \\ldots$",
        "* $\\left\\{\\frac{1}{n}\\right\\} = 1, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, \\frac{1}{4}, \\ldots$",
        "* $\\{(-1)^n\\} = -1, 1, -1, 1, \\ldots$",
        "",
        "✅ **Respuesta correcta**",
        "Una función $a_n = f(n)$ donde $n \\in \\mathbb{N}$"
      ],
      "explanation": "Una sucesión es una función que asigna a cada número natural un número real."
    },
    {
      "id": "sn-002",
      "topic": "sucesiones-numericas",
      "question": "Determina si la sucesión $\\left\\{\\frac{10}{\\sqrt{n+1}}\\right\\}$ converge. Si converge, ¿cuál es su límite?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Converge a 0",
        "Converge a 10",
        "Diverge a infinito",
        "Oscila sin límite"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Calcula $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{10}{\\sqrt{n+1}}$",
        "Cuando $n \\to \\infty$, ¿qué pasa con $\\sqrt{n+1}$?",
        "Si el denominador tiende a infinito, la fracción tiende a..."
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Problema 15 del libro**",
        "",
        "**Sucesión:** $a_n = \\frac{10}{\\sqrt{n+1}}$",
        "",
        "**Paso 1:** Calculamos el límite",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{10}{\\sqrt{n+1}}$$",
        "",
        "**Paso 2:** Analizamos el denominador",
        "Cuando $n \\to \\infty$:",
        "$$\\sqrt{n+1} \\to \\infty$$",
        "",
        "**Paso 3:** Evaluamos la fracción",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{10}{\\sqrt{n+1}} = \\frac{10}{\\infty} = 0$$",
        "",
        "**Verificación con valores:**",
        "* $n=1$: $a_1 = \\frac{10}{\\sqrt{2}} \\approx 7.07$",
        "* $n=10$: $a_{10} = \\frac{10}{\\sqrt{11}} \\approx 3.02$",
        "* $n=100$: $a_{100} = \\frac{10}{\\sqrt{101}} \\approx 0.995$",
        "",
        "✅ **Conclusión**",
        "La sucesión **converge a 0**"
      ],
      "explanation": "Como el denominador crece sin límite, la fracción tiende a 0."
    },
    {
      "id": "sn-003",
      "topic": "sucesiones-numericas",
      "question": "¿La sucesión $\\left\\{\\frac{1}{n^{3/2}}\\right\\}$ converge o diverge?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Converge a 0",
        "Converge a 1",
        "Diverge",
        "Oscila"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Problema 16: $n^{3/2} = n \\cdot \\sqrt{n}$",
        "Cuando $n \\to \\infty$, $n^{3/2} \\to \\infty$",
        "¿Qué pasa con $\\frac{1}{\\infty}$?"
      ],
      "stepByStep": [
        "📝 **Problema 16**",
        "",
        "**Sucesión:** $a_n = \\frac{1}{n^{3/2}}$",
        "",
        "**Recordemos:** $n^{3/2} = n^1 \\cdot n^{1/2} = n\\sqrt{n}$",
        "",
        "**Límite:**",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n^{3/2}} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n\\sqrt{n}}$$",
        "",
        "Como $n \\to \\infty$:",
        "$$n\\sqrt{n} \\to \\infty$$",
        "",
        "Por lo tanto:",
        "$$\\frac{1}{n\\sqrt{n}} \\to 0$$",
        "",
        "**Verificación:**",
        "* $n=1$: $a_1 = 1$",
        "* $n=4$: $a_4 = \\frac{1}{4\\sqrt{4}} = \\frac{1}{8} = 0.125$",
        "* $n=100$: $a_{100} = \\frac{1}{100\\sqrt{100}} = \\frac{1}{1000} = 0.001$",
        "",
        "✅ **La sucesión converge a 0**"
      ],
      "explanation": "Cualquier sucesión de la forma 1/n^p con p > 0 converge a 0."
    },
    {
      "id": "sn-004",
      "topic": "sucesiones-numericas",
      "question": "Encuentra el límite de $\\left\\{\\frac{3n-2}{6n+1}\\right\\}$",
      "type": "numeric",
      "correct": 0.5,
      "tolerance": 0.01,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Problema 19: Divide numerador y denominador por n",
        "Cuando $n \\to \\infty$, $\\frac{2}{n} \\to 0$ y $\\frac{1}{n} \\to 0$",
        "La respuesta es la razón de coeficientes principales"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Problema 19**",
        "",
        "**Sucesión:** $a_n = \\frac{3n-2}{6n+1}$",
        "",
        "**Técnica:** Dividir por la mayor potencia de $n$",
        "",
        "Dividimos numerador y denominador por $n$:",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{3n-2}{6n+1} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\frac{3n}{n} - \\frac{2}{n}}{\\frac{6n}{n} + \\frac{1}{n}}$$",
        "",
        "Simplificamos:",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{3 - \\frac{2}{n}}{6 + \\frac{1}{n}}$$",
        "",
        "Evaluamos el límite:",
        "* $\\frac{2}{n} \\to 0$ cuando $n \\to \\infty$",
        "* $\\frac{1}{n} \\to 0$ cuando $n \\to \\infty$",
        "",
        "$$= \\frac{3 - 0}{6 + 0} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2} = 0.5$$",
        "",
        "✅ **Respuesta: 0.5 o 1/2**"
      ],
      "explanation": "Para cocientes de polinomios, el límite es la razón de coeficientes principales."
    },
    {
      "id": "sn-005",
      "topic": "sucesiones-numericas",
      "question": "¿Qué sucesión es **monótona creciente**?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$\\left\\{\\frac{n}{n+1}\\right\\}$",
        "$\\left\\{\\frac{1}{n}\\right\\}$",
        "$\\{(-1)^n\\}$",
        "$\\left\\{\\cos(n)\\right\\}$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Creciente significa: $a_n \\leq a_{n+1}$ para todo $n$",
        "Verifica si $a_{n+1} - a_n \\geq 0$",
        "O compara $\\frac{a_{n+1}}{a_n} \\geq 1$ (si $a_n > 0$)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Sucesiones Monótonas**",
        "",
        "**Definición:** Una sucesión es **creciente** si:",
        "$$a_n \\leq a_{n+1}, \\ \\forall n \\geq 0$$",
        "",
        "**Analicemos cada opción:**",
        "",
        "**A) $a_n = \\frac{n}{n+1}$**",
        "* $a_1 = \\frac{1}{2} = 0.5$",
        "* $a_2 = \\frac{2}{3} \\approx 0.667$",
        "* $a_3 = \\frac{3}{4} = 0.75$",
        "* $a_4 = \\frac{4}{5} = 0.8$",
        "✓ **Creciente** (cada término es mayor que el anterior)",
        "",
        "**B) $a_n = \\frac{1}{n}$**",
        "* $1, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, \\frac{1}{4}, \\ldots$",
        "✗ **Decreciente**",
        "",
        "**C) $a_n = (-1)^n$**",
        "* $-1, 1, -1, 1, \\ldots$",
        "✗ **Oscilante** (no monótona)",
        "",
        "**D) $a_n = \\cos(n)$**",
        "✗ **Oscilante**",
        "",
        "✅ **Respuesta: A**"
      ],
      "explanation": "n/(n+1) crece hacia 1 conforme n aumenta."
    },
    {
      "id": "sn-006",
      "topic": "convergencia-sucesiones",
      "question": "Según el **Teorema 1.1**, si $f(n) = a_n$ y $\\lim_{x \\to \\infty} f(x) = L$, entonces:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$\\lim_{n \\to \\infty} a_n = L$",
        "$\\lim_{n \\to \\infty} a_n = \\infty$",
        "$\\lim_{n \\to \\infty} a_n$ no existe",
        "$a_n$ diverge siempre"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Si la función continua f(x) tiene límite L...",
        "Entonces la sucesión a_n = f(n) también converge a L",
        "Esto permite usar técnicas de límites de funciones"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.1 - Límites de Funciones vs Sucesiones**",
        "",
        "**Enunciado:**",
        "Si $f$ es una función y $\\{a_n\\}_{n=p}$ es una sucesión tal que:",
        "$$f(n) = a_n, \\ \\forall n \\geq p$$",
        "",
        "Entonces:",
        "$$\\lim_{x \\to \\infty} f(x) = L \\implies \\lim_{n \\to \\infty} a_n = L$$",
        "",
        "**Utilidad:**",
        "Podemos usar técnicas de límites de funciones (como L'Hôpital) para calcular límites de sucesiones.",
        "",
        "**Ejemplo:**",
        "Para $a_n = \\frac{n^2}{e^n}$:",
        "* Definimos $f(x) = \\frac{x^2}{e^x}$",
        "* Calculamos $\\lim_{x \\to \\infty} f(x)$ con L'Hôpital",
        "* El resultado es el límite de la sucesión",
        "",
        "✅ **Si $\\lim_{x \\to \\infty} f(x) = L$ entonces $\\lim_{n \\to \\infty} a_n = L$**"
      ],
      "explanation": "El límite de la sucesión coincide con el límite de la función continua asociada."
    },
    {
      "id": "sn-007",
      "topic": "convergencia-sucesiones",
      "question": "Según el **Teorema del Sandwich** (Teorema 1.3), si $a_n \\leq b_n \\leq c_n$ y $\\lim a_n = \\lim c_n = L$, entonces:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$\\lim b_n = L$",
        "$\\lim b_n = 0$",
        "$b_n$ diverge",
        "No se puede determinar"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Si b_n está 'atrapada' entre a_n y c_n...",
        "Y ambas convergen al mismo límite L...",
        "Entonces b_n también debe converger a L"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.3 - Teorema del Sandwich (Squeeze Theorem)**",
        "",
        "**Hipótesis:**",
        "* $a_n \\leq b_n \\leq c_n$ para todo $n \\geq N$",
        "* $\\lim_{n \\to \\infty} a_n = L$",
        "* $\\lim_{n \\to \\infty} c_n = L$",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} b_n = L$$",
        "",
        "**Visualización:**",
        "```",
        "c_n ────────→ L  (límite superior)",
        "b_n ─────→ ?    (atrapada en medio)",
        "a_n ────────→ L  (límite inferior)",
        "```",
        "",
        "Como $b_n$ está atrapada entre dos sucesiones que convergen a $L$, no tiene otra opción que también converger a $L$.",
        "",
        "**Ejemplo clásico:**",
        "$$-\\frac{1}{n} \\leq \\frac{\\sin(n)}{n} \\leq \\frac{1}{n}$$",
        "",
        "Como $\\lim \\frac{1}{n} = 0$ y $\\lim -\\frac{1}{n} = 0$:",
        "$$\\lim \\frac{\\sin(n)}{n} = 0$$",
        "",
        "✅ **b_n converge a L**"
      ],
      "explanation": "El Teorema del Sandwich atrapa b_n entre dos sucesiones con el mismo límite."
    },
    {
      "id": "sn-008",
      "topic": "series-numericas-intro",
      "question": "¿Qué es una **serie numérica**?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "La suma de los términos de una sucesión: $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$",
        "Una sucesión infinita de números",
        "El límite de una función",
        "Un conjunto ordenado de números"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Serie = SUMA infinita",
        "Sucesión = LISTA infinita",
        "Notación con símbolo de sumatoria Σ"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Series Infinitas - Definición**",
        "",
        "**Una serie es la suma de los términos de una sucesión:**",
        "$$a_1 + a_2 + a_3 + \\cdots + a_n + \\cdots = \\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$$",
        "",
        "**Ejemplo de las imágenes:**",
        "$$0.3333\\ldots = \\frac{3}{10} + \\frac{3}{10^2} + \\frac{3}{10^3} + \\cdots = \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{3}{10^k}$$",
        "",
        "**Diferencia clave:**",
        "* **Sucesión** $\\{a_n\\}$: Lista de números $a_1, a_2, a_3, \\ldots$",
        "* **Serie** $\\sum a_n$: Suma de esos números $a_1 + a_2 + a_3 + \\cdots$",
        "",
        "**Notación:**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n \\quad \\text{o} \\quad \\sum_{k=1}^{\\infty} a_k$$",
        "",
        "✅ **Una serie es una suma infinita**"
      ],
      "explanation": "Una serie es la suma de todos los términos de una sucesión infinita."
    },
    {
      "id": "sn-009",
      "topic": "series-numericas-intro",
      "question": "La **sucesión de sumas parciales** de una serie $\\sum_{k=1}^{\\infty} a_k$ se define como:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$S_n = \\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \\cdots + a_n$",
        "$S_n = a_n$",
        "$S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2}$",
        "$S_n = n \\cdot a_n$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "S_n es la suma de los primeros n términos",
        "Es una suma FINITA, no infinita",
        "S_n nos ayuda a determinar si la serie converge"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Definición 9.3.1 - Serie Convergente**",
        "",
        "**Sucesión de Sumas Parciales:**",
        "$$S_n = \\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \\cdots + a_n$$",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "* $S_1 = a_1$",
        "* $S_2 = a_1 + a_2$",
        "* $S_3 = a_1 + a_2 + a_3$",
        "* $S_n = a_1 + a_2 + \\cdots + a_n$",
        "",
        "**Convergencia de la Serie:**",
        "La serie $\\sum_{k=1}^{\\infty} a_k$ es **convergente** si:",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} S_n = S \\quad \\text{(existe y es finito)}$$",
        "",
        "El número $S$ se llama la **suma de la serie**:",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} S_n = \\lim_{n \\to \\infty} \\sum_{k=1}^{n} a_k = S$$",
        "",
        "Si $\\lim_{n \\to \\infty} S_n$ no existe, la serie es **divergente**.",
        "",
        "✅ **$S_n$ es la suma de los primeros $n$ términos**"
      ],
      "explanation": "Las sumas parciales S_n permiten analizar la convergencia sumando términos finitos."
    },
    {
      "id": "sn-010",
      "topic": "criterio-divergencia",
      "question": "**Criterio de Divergencia (Teorema 1.5):** Si $\\lim_{n \\to \\infty} a_n \\neq 0$, entonces la serie $\\sum a_n$:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Diverge",
        "Converge",
        "Puede converger o diverger",
        "Converge a 0"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Si los términos NO tienden a cero...",
        "La suma infinita NO puede converger",
        "⚠️ OJO: Si a_n → 0, NO garantiza convergencia"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.5 - Criterio de Divergencia (Test de Divergencia)**",
        "",
        "**Enunciado:**",
        "Si $\\lim_{n \\to \\infty} a_n \\neq 0$ (o no existe), entonces:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n \\quad \\text{DIVERGE}$$",
        "",
        "**Contrapositivo (más útil):**",
        "Si $\\sum a_n$ converge, entonces necesariamente:",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} a_n = 0$$",
        "",
        "**⚠️ ADVERTENCIA IMPORTANTE:**",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} a_n = 0 \\quad \\text{NO GARANTIZA} \\quad \\sum a_n \\text{ converge}$$",
        "",
        "**Ejemplo de divergencia:**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n}{n+1}$$",
        "* $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{n}{n+1} = 1 \\neq 0$",
        "* Por el criterio de divergencia: **la serie DIVERGE**",
        "",
        "**Ejemplo importante (serie armónica):**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n}$$",
        "* $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} = 0$ ✓",
        "* Pero la serie **DIVERGE** (necesitamos otros criterios para probarlo)",
        "",
        "✅ **Si $a_n \\not\\to 0$, entonces $\\sum a_n$ DIVERGE**"
      ],
      "explanation": "Condición necesaria: los términos deben tender a 0 para que la serie tenga posibilidad de converger."
    },
    {
      "id": "sn-011",
      "topic": "criterio-divergencia",
      "question": "¿La serie $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{2n+1}{3n+2}$ converge o diverge?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Diverge por el criterio de divergencia",
        "Converge",
        "No se puede determinar",
        "Converge a 2/3"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Calcula $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2n+1}{3n+2}$",
        "Divide numerador y denominador por n",
        "Si el límite NO es 0, aplica el criterio de divergencia"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Aplicando el Criterio de Divergencia**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{2n+1}{3n+2}$",
        "",
        "**Paso 1:** Calculamos $\\lim_{n \\to \\infty} a_n$",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2n+1}{3n+2}$$",
        "",
        "Dividimos numerador y denominador por $n$:",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2 + \\frac{1}{n}}{3 + \\frac{2}{n}} = \\frac{2+0}{3+0} = \\frac{2}{3}$$",
        "",
        "**Paso 2:** Aplicamos el criterio",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} a_n = \\frac{2}{3} \\neq 0$$",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "Por el **Teorema 1.5 (Criterio de Divergencia)**:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{2n+1}{3n+2} \\quad \\text{DIVERGE}$$",
        "",
        "**Intuición:**",
        "Estamos sumando términos que se acercan a 2/3:",
        "$$\\frac{2}{3} + \\frac{2}{3} + \\frac{2}{3} + \\cdots \\to \\infty$$",
        "",
        "✅ **La serie DIVERGE**"
      ],
      "explanation": "Como el límite de los términos es 2/3 ≠ 0, la serie diverge."
    },
    {
      "id": "sn-012",
      "topic": "serie-p",
      "question": "**Serie p:** La serie $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^p}$ converge si y solo si:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$p > 1$",
        "$p \\geq 1$",
        "$p < 1$",
        "$p = 1$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Teorema 1.9 - Criterio de la p-serie",
        "Si p ≤ 1 la serie diverge",
        "Si p > 1 la serie converge"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.9 - Criterio de la p-Serie**",
        "",
        "**Definición:** Una **serie p** tiene la forma:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^p}$$",
        "",
        "**Teorema de Convergencia:**",
        "* Si $p > 1$: La serie **CONVERGE** ✓",
        "* Si $p \\leq 1$: La serie **DIVERGE** ✗",
        "",
        "**Casos importantes:**",
        "",
        "**1. Serie armónica** ($p = 1$):",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} + \\cdots \\quad \\text{DIVERGE}$$",
        "",
        "**2. p = 2:**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2} = \\frac{\\pi^2}{6} \\approx 1.645 \\quad \\text{CONVERGE}$$",
        "",
        "**3. p = 1/2:**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\quad \\text{DIVERGE}$$",
        "",
        "**4. p = 3:**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^3} \\approx 1.202 \\quad \\text{CONVERGE}$$",
        "",
        "**Frontera crítica:** $p = 1$",
        "* $p > 1$: ✓ Converge",
        "* $p \\leq 1$: ✗ Diverge",
        "",
        "✅ **Converge si y solo si $p > 1$**"
      ],
      "explanation": "El criterio de la p-serie es fundamental: converge cuando p > 1."
    },
    {
      "id": "sn-013",
      "topic": "serie-p",
      "question": "¿La serie $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{3/2}}$ converge o diverge?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Converge (p = 3/2 > 1)",
        "Diverge (p = 3/2 < 2)",
        "Diverge (p = 3/2 ≤ 1)",
        "No se puede determinar"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Es una serie p con p = 3/2",
        "¿Es 3/2 mayor que 1?",
        "Si p > 1, la serie converge"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Aplicando el Criterio de la p-Serie**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{3/2}}$",
        "",
        "**Paso 1:** Identificamos el tipo",
        "Esta es una **serie p** con:",
        "$$p = \\frac{3}{2} = 1.5$$",
        "",
        "**Paso 2:** Comparamos con 1",
        "$$p = \\frac{3}{2} = 1.5 > 1 \\quad ✓$$",
        "",
        "**Paso 3:** Aplicamos el Teorema 1.9",
        "Como $p > 1$, la serie **CONVERGE**",
        "",
        "**Verificación numérica:**",
        "$$S_5 = 1 + \\frac{1}{2^{3/2}} + \\frac{1}{3^{3/2}} + \\frac{1}{4^{3/2}} + \\frac{1}{5^{3/2}}$$",
        "$$\\approx 1 + 0.354 + 0.192 + 0.125 + 0.089 = 1.76$$",
        "",
        "La serie converge a un valor aproximado de 2.612.",
        "",
        "✅ **CONVERGE porque p = 3/2 > 1**"
      ],
      "explanation": "Serie p con p = 3/2 > 1, por lo tanto converge."
    },
    {
      "id": "sn-014",
      "topic": "serie-geometrica",
      "question": "**Serie Geométrica:** La serie $\\sum_{n=0}^{\\infty} ar^n$ converge si y solo si:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$|r| < 1$, y converge a $\\frac{a}{1-r}$",
        "$|r| \\leq 1$",
        "$r > 0$",
        "$a \\neq 0$"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "r es la razón común",
        "Si |r| ≥ 1, los términos no tienden a 0",
        "Fórmula: suma = a/(1-r) cuando |r| < 1"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.6 - Serie Geométrica**",
        "",
        "**Forma general:**",
        "$$\\sum_{n=0}^{\\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \\cdots$$",
        "",
        "* $a$ = primer término",
        "* $r$ = razón común",
        "",
        "**Criterio de Convergencia:**",
        "",
        "**Si $|r| < 1$:**",
        "* La serie **CONVERGE** ✓",
        "* Suma: $S = \\frac{a}{1-r}$",
        "",
        "**Si $|r| \\geq 1$:**",
        "* La serie **DIVERGE** ✗",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "",
        "**1. Converge:**",
        "$$\\sum_{n=0}^{\\infty} 5 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^n = \\frac{5}{1-\\frac{1}{2}} = \\frac{5}{\\frac{1}{2}} = 10$$",
        "$r = \\frac{1}{2}$, $|r| = 0.5 < 1$ ✓",
        "",
        "**2. Diverge:**",
        "$$\\sum_{n=0}^{\\infty} 3 \\cdot 2^n = 3 + 6 + 12 + 24 + \\cdots \\to \\infty$$",
        "$r = 2$, $|r| = 2 > 1$ ✗",
        "",
        "**3. De las imágenes:**",
        "$$0.3333\\ldots = \\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{3}{10^k} = \\sum_{k=1}^{\\infty} 3 \\cdot \\left(\\frac{1}{10}\\right)^k$$",
        "$a = \\frac{3}{10}$, $r = \\frac{1}{10}$",
        "$$S = \\frac{\\frac{3}{10}}{1-\\frac{1}{10}} = \\frac{\\frac{3}{10}}{\\frac{9}{10}} = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}$$",
        "",
        "✅ **Converge si $|r| < 1$ a la suma $\\frac{a}{1-r}$**"
      ],
      "explanation": "La serie geométrica converge cuando la razón común tiene valor absoluto menor que 1."
    },
    {
      "id": "sn-015",
      "topic": "serie-geometrica",
      "question": "Calcula la suma de la serie: $\\sum_{n=0}^{\\infty} 6 \\cdot \\left(\\frac{2}{3}\\right)^n$",
      "type": "numeric",
      "correct": 18,
      "tolerance": 0.1,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Es una serie geométrica con a = 6 y r = 2/3",
        "Verifica que |r| < 1",
        "Usa la fórmula: S = a/(1-r)"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Serie Geométrica - Cálculo de Suma**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=0}^{\\infty} 6 \\cdot \\left(\\frac{2}{3}\\right)^n$",
        "",
        "**Paso 1:** Identificamos los parámetros",
        "* Primer término: $a = 6$",
        "* Razón común: $r = \\frac{2}{3}$",
        "",
        "**Paso 2:** Verificamos convergencia",
        "$$|r| = \\left|\\frac{2}{3}\\right| = \\frac{2}{3} \\approx 0.667 < 1 \\quad ✓$$",
        "",
        "Como $|r| < 1$, la serie **CONVERGE**.",
        "",
        "**Paso 3:** Aplicamos la fórmula",
        "$$S = \\frac{a}{1-r} = \\frac{6}{1-\\frac{2}{3}}$$",
        "",
        "Simplificamos el denominador:",
        "$$1 - \\frac{2}{3} = \\frac{3}{3} - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}$$",
        "",
        "Por lo tanto:",
        "$$S = \\frac{6}{\\frac{1}{3}} = 6 \\cdot \\frac{3}{1} = 18$$",
        "",
        "**Verificación con sumas parciales:**",
        "* $S_0 = 6$",
        "* $S_1 = 6 + 4 = 10$",
        "* $S_2 = 10 + 2.667 = 12.667$",
        "* $S_3 = 12.667 + 1.778 = 14.445$",
        "* $S_5 \\approx 16.46$ → tiende a 18 ✓",
        "",
        "✅ **Respuesta: 18**"
      ],
      "explanation": "Serie geométrica: S = a/(1-r) = 6/(1-2/3) = 6/(1/3) = 18"
    },
    {
      "id": "sn-016",
      "topic": "serie-telescopica",
      "question": "Una **serie telescópica** es aquella donde:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Los términos se cancelan entre sí, quedando solo algunos términos: $a_n = b_n - b_{n+1}$",
        "Todos los términos son iguales",
        "Los términos alternan de signo",
        "Es una serie geométrica"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Los términos intermedios se cancelan como telescopio que se colapsa",
        "Se puede escribir como diferencia: b_n - b_{n+1}",
        "La suma parcial es: S_n = b_1 - b_{n+1}"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Series Telescópicas**",
        "",
        "**Definición:**",
        "Una serie es **telescópica** si se puede escribir como:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} (b_n - b_{n+1})$$",
        "",
        "**Suma Parcial:**",
        "$$S_n = (b_1 - b_2) + (b_2 - b_3) + (b_3 - b_4) + \\cdots + (b_n - b_{n+1})$$",
        "",
        "**Cancelación (lo que hace \"telescópico\"):**",
        "$$S_n = b_1 - \\cancel{b_2} + \\cancel{b_2} - \\cancel{b_3} + \\cancel{b_3} - \\cancel{b_4} + \\cdots + \\cancel{b_n} - b_{n+1}$$",
        "$$S_n = b_1 - b_{n+1}$$",
        "",
        "**Convergencia:**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} (b_n - b_{n+1}) = \\lim_{n \\to \\infty} S_n = \\lim_{n \\to \\infty} (b_1 - b_{n+1})$$",
        "",
        "* Si $\\lim_{n \\to \\infty} b_{n+1} = L$ existe: **CONVERGE a $b_1 - L$**",
        "* Si el límite no existe: **DIVERGE**",
        "",
        "**Ejemplo de las imágenes:**",
        "$$\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{(k+4)(k+5)}$$",
        "",
        "Usando **fracciones parciales**:",
        "$$\\frac{1}{(k+4)(k+5)} = \\frac{1}{k+4} - \\frac{1}{k+5}$$",
        "",
        "Esta es telescópica porque se cancela.",
        "",
        "✅ **Series donde los términos intermedios se cancelan**"
      ],
      "explanation": "Las series telescópicas se colapsan dejando solo el primer y último término tras cancelaciones."
    },
    {
      "id": "sn-017",
      "topic": "serie-telescopica",
      "question": "Calcula la suma de: $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left(\\frac{1}{n} - \\frac{1}{n+1}\\right)$",
      "type": "numeric",
      "correct": 1,
      "tolerance": 0.01,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Es una serie telescópica directa",
        "Escribe las sumas parciales: S_1, S_2, S_3...",
        "¿Qué términos sobreviven después de las cancelaciones?"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Serie Telescópica - Ejemplo Clásico**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left(\\frac{1}{n} - \\frac{1}{n+1}\\right)$",
        "",
        "**Paso 1:** Escribimos la suma parcial $S_n$",
        "$$S_n = \\sum_{k=1}^{n} \\left(\\frac{1}{k} - \\frac{1}{k+1}\\right)$$",
        "",
        "**Paso 2:** Expandimos los primeros términos",
        "$$S_n = \\left(\\frac{1}{1} - \\frac{1}{2}\\right) + \\left(\\frac{1}{2} - \\frac{1}{3}\\right) + \\left(\\frac{1}{3} - \\frac{1}{4}\\right) + \\cdots + \\left(\\frac{1}{n} - \\frac{1}{n+1}\\right)$$",
        "",
        "**Paso 3:** Cancelamos términos",
        "$$S_n = \\frac{1}{1} - \\cancel{\\frac{1}{2}} + \\cancel{\\frac{1}{2}} - \\cancel{\\frac{1}{3}} + \\cancel{\\frac{1}{3}} - \\cancel{\\frac{1}{4}} + \\cdots + \\cancel{\\frac{1}{n}} - \\frac{1}{n+1}$$",
        "",
        "Solo sobreviven el primer y último término:",
        "$$S_n = 1 - \\frac{1}{n+1}$$",
        "",
        "**Paso 4:** Calculamos el límite",
        "$$S = \\lim_{n \\to \\infty} S_n = \\lim_{n \\to \\infty} \\left(1 - \\frac{1}{n+1}\\right)$$",
        "$$= 1 - 0 = 1$$",
        "",
        "**Verificación:**",
        "* $S_1 = 1 - \\frac{1}{2} = 0.5$",
        "* $S_2 = 1 - \\frac{1}{3} \\approx 0.667$",
        "* $S_5 = 1 - \\frac{1}{6} \\approx 0.833$",
        "* $S_{10} = 1 - \\frac{1}{11} \\approx 0.909$",
        "* $S_{100} = 1 - \\frac{1}{101} \\approx 0.990$ → tiende a 1 ✓",
        "",
        "✅ **Respuesta: 1**"
      ],
      "explanation": "Serie telescópica: todos los términos se cancelan excepto 1 - 0 = 1"
    },
    {
      "id": "sn-018",
      "topic": "criterio-integral",
      "question": "**Criterio de la Integral (Teorema 1.8):** Si $f$ es continua, positiva y decreciente en $[1, \\infty)$ y $a_n = f(n)$, entonces:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$\\sum a_n$ y $\\int_1^{\\infty} f(x)dx$ convergen o divergen juntas",
        "$\\sum a_n$ siempre converge",
        "$\\sum a_n$ converge si la integral diverge",
        "No hay relación entre la serie y la integral"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "La serie y la integral tienen el mismo comportamiento",
        "Si la integral converge, la serie converge",
        "Si la integral diverge, la serie diverge"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.8 - Criterio de la Integral**",
        "",
        "**Hipótesis:**",
        "Sea $f(x)$ una función tal que:",
        "* $f$ es **continua** en $[1, \\infty)$",
        "* $f$ es **positiva**: $f(x) > 0$",
        "* $f$ es **decreciente**: $f'(x) \\leq 0$",
        "* $a_n = f(n)$ para todo $n \\geq 1$",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "La serie $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$ y la integral $\\int_1^{\\infty} f(x)dx$ **convergen o divergen juntas**:",
        "",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n \\text{ converge} \\iff \\int_1^{\\infty} f(x)dx \\text{ converge}$$",
        "",
        "**Ejemplo 1: Serie p con p = 2**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$$",
        "",
        "$f(x) = \\frac{1}{x^2}$ es continua, positiva y decreciente.",
        "",
        "Calculamos:",
        "$$\\int_1^{\\infty} \\frac{1}{x^2}dx = \\lim_{t \\to \\infty} \\left[-\\frac{1}{x}\\right]_1^t = \\lim_{t \\to \\infty} \\left(-\\frac{1}{t} + 1\\right) = 1$$",
        "",
        "La integral **CONVERGE**, por lo tanto la serie **CONVERGE**.",
        "",
        "**Ejemplo 2: Serie armónica**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n}$$",
        "",
        "$f(x) = \\frac{1}{x}$",
        "",
        "$$\\int_1^{\\infty} \\frac{1}{x}dx = \\lim_{t \\to \\infty} [\\ln x]_1^t = \\lim_{t \\to \\infty} (\\ln t - 0) = \\infty$$",
        "",
        "La integral **DIVERGE**, por lo tanto la serie **DIVERGE**.",
        "",
        "✅ **Serie e integral tienen el mismo comportamiento**"
      ],
      "explanation": "El criterio de la integral relaciona la convergencia de series con integrales impropias."
    },
    {
      "id": "sn-019",
      "topic": "criterio-comparacion-directa",
      "question": "**Criterio de Comparación Directa (Teorema 1.10):** Si $0 \\leq a_n \\leq b_n$ para todo $n \\geq N$, entonces:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Si $\\sum b_n$ converge, entonces $\\sum a_n$ converge. Si $\\sum a_n$ diverge, entonces $\\sum b_n$ diverge",
        "Ambas series convergen",
        "Ambas series divergen",
        "No se puede determinar"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Comparamos con una serie conocida",
        "Si la serie MÁS GRANDE converge, la más pequeña también",
        "Si la serie MÁS PEQUEÑA diverge, la más grande también"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.10 - Criterio de Comparación Directa**",
        "",
        "**Hipótesis:**",
        "Sean $\\sum a_n$ y $\\sum b_n$ series con términos positivos tales que:",
        "$$0 \\leq a_n \\leq b_n, \\quad \\forall n \\geq N$$",
        "",
        "**Conclusiones:**",
        "",
        "**1. Convergencia hacia abajo:**",
        "$$\\sum b_n \\text{ converge} \\implies \\sum a_n \\text{ converge}$$",
        "\"Si la serie GRANDE converge, la pequeña también\"",
        "",
        "**2. Divergencia hacia arriba:**",
        "$$\\sum a_n \\text{ diverge} \\implies \\sum b_n \\text{ diverge}$$",
        "\"Si la serie PEQUEÑA diverge, la grande también\"",
        "",
        "**Estrategia de uso:**",
        "* Para probar **CONVERGENCIA**: Compara con serie más grande que converge",
        "* Para probar **DIVERGENCIA**: Compara con serie más pequeña que diverge",
        "",
        "**Ejemplo 1: Convergencia**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2 + 1}$$",
        "",
        "Comparamos con $\\sum \\frac{1}{n^2}$ (que converge):",
        "$$0 < \\frac{1}{n^2 + 1} < \\frac{1}{n^2}$$",
        "",
        "Como $\\sum \\frac{1}{n^2}$ converge (p-serie con p=2 > 1):",
        "$$\\sum \\frac{1}{n^2 + 1} \\text{ CONVERGE}$$",
        "",
        "**Ejemplo 2: Divergencia**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n}{n^2 + 1}$$",
        "",
        "Para $n$ grande: $\\frac{n}{n^2+1} \\approx \\frac{n}{n^2} = \\frac{1}{n}$",
        "",
        "Comparamos con $\\sum \\frac{1}{2n}$ (que diverge):",
        "$$\\frac{1}{2n} < \\frac{n}{n^2 + 1}$$",
        "",
        "Como $\\sum \\frac{1}{2n}$ diverge:",
        "$$\\sum \\frac{n}{n^2 + 1} \\text{ DIVERGE}$$",
        "",
        "✅ **Si $\\sum b_n$ converge → $\\sum a_n$ converge (cuando $a_n \\leq b_n$)**"
      ],
      "explanation": "Comparamos con series conocidas: si la mayor converge, la menor también."
    },
    {
      "id": "sn-020",
      "topic": "criterio-comparacion-directa",
      "question": "Determina si $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{2^n + n}$ converge o diverge usando comparación directa:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Converge (comparando con $\\sum \\frac{1}{2^n}$)",
        "Diverge (comparando con $\\sum \\frac{1}{n}$)",
        "No se puede determinar",
        "Oscila"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Para n grande, 2^n domina sobre n",
        "Compara con la serie geométrica $\\sum \\frac{1}{2^n}$",
        "Nota que $2^n + n > 2^n$, entonces $\\frac{1}{2^n + n} < \\frac{1}{2^n}$"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Comparación Directa - Ejemplo**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{2^n + n}$",
        "",
        "**Paso 1:** Buscamos una serie para comparar",
        "Para $n$ grande: $2^n \\gg n$, entonces:",
        "$$2^n + n > 2^n$$",
        "",
        "Por lo tanto:",
        "$$\\frac{1}{2^n + n} < \\frac{1}{2^n}$$",
        "",
        "**Paso 2:** Analizamos la serie de comparación",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{2^n}$$",
        "",
        "Esta es una serie geométrica con $r = \\frac{1}{2}$:",
        "$$|r| = \\frac{1}{2} < 1$$",
        "",
        "Por lo tanto **CONVERGE** a:",
        "$$S = \\frac{\\frac{1}{2}}{1-\\frac{1}{2}} = \\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{1}{2}} = 1$$",
        "",
        "**Paso 3:** Aplicamos el criterio",
        "Tenemos:",
        "$$0 < \\frac{1}{2^n + n} < \\frac{1}{2^n}$$",
        "",
        "Como $\\sum \\frac{1}{2^n}$ **CONVERGE**:",
        "",
        "Por el **Criterio de Comparación Directa**:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{2^n + n} \\quad \\text{CONVERGE}$$",
        "",
        "✅ **CONVERGE por comparación con serie geométrica**"
      ],
      "explanation": "Como los términos son menores que 1/2^n (que converge), la serie converge."
    },
    {
      "id": "sn-021",
      "topic": "criterio-comparacion-limite",
      "question": "**Criterio de Comparación por Límite (Teorema 1.11):** Si $a_n, b_n > 0$ y $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{a_n}{b_n} = L$ donde $0 < L < \\infty$, entonces:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$\\sum a_n$ y $\\sum b_n$ convergen o divergen juntas",
        "$\\sum a_n$ converge siempre",
        "$\\sum a_n$ diverge siempre",
        "No hay relación entre las series"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Si el límite es positivo y finito...",
        "Las series tienen el mismo comportamiento",
        "Más fácil que comparación directa (no necesitas desigualdades)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.11 - Criterio de Comparación por Límite**",
        "",
        "**Hipótesis:**",
        "Sean $\\sum a_n$ y $\\sum b_n$ series con términos positivos.",
        "",
        "Si:",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{a_n}{b_n} = L$$",
        "",
        "donde $L$ es un número positivo finito ($0 < L < \\infty$), entonces:",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "$$\\sum a_n \\text{ converge} \\iff \\sum b_n \\text{ converge}$$",
        "$$\\sum a_n \\text{ diverge} \\iff \\sum b_n \\text{ diverge}$$",
        "",
        "**Interpretación:**",
        "* Si $L > 0$ y $L < \\infty$: Las series se comportan igual",
        "* Los términos $a_n$ y $b_n$ son \"asintóticamente equivalentes\"",
        "",
        "**Casos especiales:**",
        "",
        "**Si $L = 0$:**",
        "* $\\sum b_n$ converge $\\implies$ $\\sum a_n$ converge",
        "* (pero si $\\sum b_n$ diverge, no podemos concluir nada)",
        "",
        "**Si $L = \\infty$:**",
        "* $\\sum b_n$ diverge $\\implies$ $\\sum a_n$ diverge",
        "* (pero si $\\sum b_n$ converge, no podemos concluir nada)",
        "",
        "**Ventaja sobre comparación directa:**",
        "* No necesitas probar desigualdades",
        "* Solo calcular un límite",
        "",
        "**Ejemplo:**",
        "$$\\sum \\frac{3n^2 + 5}{2n^4 + n^2 + 1}$$",
        "",
        "Comparamos con $\\sum \\frac{1}{n^2}$ (p-serie que converge):",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\frac{3n^2+5}{2n^4+n^2+1}}{\\frac{1}{n^2}} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{3n^2+5}{2n^4+n^2+1} \\cdot n^2$$",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{3n^4+5n^2}{2n^4+n^2+1} = \\frac{3}{2}$$",
        "",
        "Como $L = \\frac{3}{2} > 0$ y $\\sum \\frac{1}{n^2}$ converge:",
        "$$\\sum \\frac{3n^2+5}{2n^4+n^2+1} \\text{ CONVERGE}$$",
        "",
        "✅ **Ambas series tienen el mismo comportamiento**"
      ],
      "explanation": "Si el límite del cociente es positivo y finito, las series se comportan igual."
    },
    {
      "id": "sn-022",
      "topic": "criterio-comparacion-limite",
      "question": "Determina si $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{2n + 3}{n^2 + 5n}$ converge usando comparación por límite:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Diverge (comparando con $\\sum \\frac{1}{n}$)",
        "Converge (comparando con $\\sum \\frac{1}{n^2}$)",
        "Diverge (comparando con $\\sum \\frac{1}{n^2}$)",
        "No se puede determinar"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Simplifica: $\\frac{2n+3}{n^2+5n} \\approx \\frac{2n}{n^2} = \\frac{2}{n}$",
        "Compara con la serie armónica $\\sum \\frac{1}{n}$",
        "Calcula el límite del cociente"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Comparación por Límite - Ejemplo**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{2n + 3}{n^2 + 5n}$",
        "",
        "**Paso 1:** Análisis asintótico",
        "Para $n$ grande:",
        "$$\\frac{2n + 3}{n^2 + 5n} \\approx \\frac{2n}{n^2} = \\frac{2}{n}$$",
        "",
        "**Paso 2:** Elegimos serie de comparación",
        "Comparamos con $b_n = \\frac{1}{n}$ (serie armónica que **DIVERGE**)",
        "",
        "**Paso 3:** Calculamos el límite",
        "$$L = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{a_n}{b_n} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\frac{2n+3}{n^2+5n}}{\\frac{1}{n}}$$",
        "",
        "Simplificamos:",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2n+3}{n^2+5n} \\cdot n = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2n^2+3n}{n^2+5n}$$",
        "",
        "Dividimos numerador y denominador por $n^2$:",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2 + \\frac{3}{n}}{1 + \\frac{5}{n}} = \\frac{2+0}{1+0} = 2$$",
        "",
        "**Paso 4:** Aplicamos el criterio",
        "* $L = 2$ (positivo y finito) ✓",
        "* $\\sum \\frac{1}{n}$ **DIVERGE** (serie armónica)",
        "",
        "Por el **Criterio de Comparación por Límite**:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{2n+3}{n^2+5n} \\quad \\text{DIVERGE}$$",
        "",
        "✅ **DIVERGE (comportamiento similar a 2/n)**"
      ],
      "explanation": "Los términos se comportan como 2/n, que diverge (serie armónica)."
    },
    {
      "id": "sn-023",
      "topic": "criterio-cociente",
      "question": "**Criterio del Cociente (Teorema 1.12):** Sea $\\sum a_n$ con $a_n > 0$ y $L = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Entonces:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Si $L < 1$ converge, si $L > 1$ diverge, si $L = 1$ el criterio no decide",
        "Si $L < 1$ diverge",
        "Si $L = 1$ converge",
        "Siempre converge si L existe"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "L < 1: los términos decrecen rápido → CONVERGE",
        "L > 1: los términos crecen → DIVERGE",
        "L = 1: criterio INCONCLUSO (necesitas otro método)"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.12 - Criterio del Cociente (Ratio Test)**",
        "",
        "**Hipótesis:**",
        "Sea $\\sum a_n$ una serie con términos positivos ($a_n > 0$).",
        "",
        "Definimos:",
        "$$L = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n}$$",
        "",
        "**Conclusiones:**",
        "",
        "**1. Si $L < 1$:**",
        "* La serie **CONVERGE ABSOLUTAMENTE** ✓",
        "",
        "**2. Si $L > 1$ (o $L = \\infty$):**",
        "* La serie **DIVERGE** ✗",
        "",
        "**3. Si $L = 1$:**",
        "* El criterio **NO DECIDE** ⚠️",
        "* Necesitas usar otro criterio",
        "",
        "**Cuándo usar este criterio:**",
        "* Series con **factoriales** ($n!$)",
        "* Series con **exponenciales** ($a^n$)",
        "* Series con **potencias de n** en el exponente",
        "",
        "**Ejemplo 1: Converge**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n!}{n^n}$$",
        "",
        "$$L = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\\frac{n!}{n^n}} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{(n+1)! \\cdot n^n}{n! \\cdot (n+1)^{n+1}}$$",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{(n+1) \\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{n^n}{(n+1)^n}$$",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\left(\\frac{n}{n+1}\\right)^n = \\frac{1}{e} \\approx 0.368 < 1$$",
        "",
        "**CONVERGE** ✓",
        "",
        "**Ejemplo 2: Diverge**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^n}{n!}$$",
        "",
        "$$L = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{(n+1)^{n+1} \\cdot n!}{n^n \\cdot (n+1)!}$$",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{(n+1)^n}{n^n} = \\lim_{n \\to \\infty} \\left(\\frac{n+1}{n}\\right)^n = e \\approx 2.718 > 1$$",
        "",
        "**DIVERGE** ✗",
        "",
        "**Ejemplo 3: Inconcluso**",
        "$$\\sum \\frac{1}{n^2}: L = 1 \\quad (\\text{pero converge por p-serie})$$",
        "$$\\sum \\frac{1}{n}: L = 1 \\quad (\\text{pero diverge por serie armónica})$$",
        "",
        "✅ **L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 inconcluso**"
      ],
      "explanation": "El criterio del cociente es excelente para series con factoriales o exponenciales."
    },
    {
      "id": "sn-024",
      "topic": "criterio-cociente",
      "question": "Determina si $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{2^n}{n!}$ converge usando el criterio del cociente:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Converge (L = 0 < 1)",
        "Diverge (L > 1)",
        "Inconcluso (L = 1)",
        "No se puede aplicar"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Calcula $\\lim \\frac{a_{n+1}}{a_n}$",
        "a_{n+1} = 2^{n+1}/(n+1)!",
        "Simplifica: (n+1)! = (n+1)·n!"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Criterio del Cociente - Ejemplo con Factorial**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{2^n}{n!}$",
        "",
        "**Paso 1:** Identificamos $a_n$ y $a_{n+1}$",
        "$$a_n = \\frac{2^n}{n!}$$",
        "$$a_{n+1} = \\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$$",
        "",
        "**Paso 2:** Formamos el cociente",
        "$$\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{\\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\\frac{2^n}{n!}}$$",
        "",
        "Simplificamos:",
        "$$= \\frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \\cdot \\frac{n!}{2^n}$$",
        "$$= \\frac{2^{n+1}}{2^n} \\cdot \\frac{n!}{(n+1)!}$$",
        "$$= 2 \\cdot \\frac{n!}{(n+1) \\cdot n!}$$",
        "$$= \\frac{2}{n+1}$$",
        "",
        "**Paso 3:** Calculamos el límite",
        "$$L = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2}{n+1} = 0$$",
        "",
        "**Paso 4:** Aplicamos el criterio",
        "$$L = 0 < 1$$",
        "",
        "Por el **Criterio del Cociente**:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{2^n}{n!} \\quad \\text{CONVERGE}$$",
        "",
        "**Nota:** Esta serie converge a $e^2 - 1 \\approx 6.389$",
        "",
        "✅ **CONVERGE porque L = 0 < 1**"
      ],
      "explanation": "El factorial crece más rápido que 2^n, haciendo L = 0 < 1."
    },
    {
      "id": "sn-025",
      "topic": "criterio-raiz",
      "question": "**Criterio de la Raíz (Teorema 1.13):** Sea $\\sum a_n$ con $a_n \\geq 0$ y $L = \\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{a_n}$. Entonces:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Si $L < 1$ converge, si $L > 1$ diverge, si $L = 1$ el criterio no decide",
        "Si $L < 1$ diverge",
        "Si $L = 1$ converge",
        "Siempre converge"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Similar al criterio del cociente pero con raíz n-ésima",
        "Útil cuando a_n tiene potencias de n",
        "L < 1 → CONVERGE, L > 1 → DIVERGE, L = 1 → INCONCLUSO"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.13 - Criterio de la Raíz (Root Test)**",
        "",
        "**Hipótesis:**",
        "Sea $\\sum a_n$ una serie con términos no negativos ($a_n \\geq 0$).",
        "",
        "Definimos:",
        "$$L = \\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{a_n} = \\lim_{n \\to \\infty} (a_n)^{1/n}$$",
        "",
        "**Conclusiones:**",
        "",
        "**1. Si $L < 1$:**",
        "* La serie **CONVERGE** ✓",
        "",
        "**2. Si $L > 1$ (o $L = \\infty$):**",
        "* La serie **DIVERGE** ✗",
        "",
        "**3. Si $L = 1$:**",
        "* El criterio **NO DECIDE** ⚠️",
        "",
        "**Cuándo usar este criterio:**",
        "* Series con **potencias de n**: $(\\text{algo})^n$",
        "* Series donde aparece $n$ en el exponente",
        "* Cuando el criterio del cociente es complicado",
        "",
        "**Ejemplo 1: Converge**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left(\\frac{n}{2n+1}\\right)^n$$",
        "",
        "$$L = \\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{\\left(\\frac{n}{2n+1}\\right)^n} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{n}{2n+1}$$",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{2 + \\frac{1}{n}} = \\frac{1}{2} < 1$$",
        "",
        "**CONVERGE** ✓",
        "",
        "**Ejemplo 2: Diverge**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left(\\frac{2n+1}{n}\\right)^n$$",
        "",
        "$$L = \\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{\\left(\\frac{2n+1}{n}\\right)^n} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2n+1}{n}$$",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\left(2 + \\frac{1}{n}\\right) = 2 > 1$$",
        "",
        "**DIVERGE** ✗",
        "",
        "**Relación con criterio del cociente:**",
        "* Si existe $\\lim \\frac{a_{n+1}}{a_n} = L$, entonces $\\lim \\sqrt[n]{a_n} = L$",
        "* El criterio de la raíz es más general",
        "* Pero el del cociente suele ser más fácil de calcular",
        "",
        "✅ **L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 inconcluso**"
      ],
      "explanation": "El criterio de la raíz es ideal para series con potencias de n en el exponente."
    },
    {
      "id": "sn-026",
      "topic": "criterio-raiz",
      "question": "Determina si $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left(\\frac{3n}{4n+5}\\right)^n$ converge usando el criterio de la raíz:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Converge (L = 3/4 < 1)",
        "Diverge (L > 1)",
        "Inconcluso (L = 1)",
        "No se puede aplicar"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "a_n = (3n/(4n+5))^n",
        "Calcula $\\sqrt[n]{a_n} = \\frac{3n}{4n+5}$",
        "Encuentra el límite cuando n → ∞"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Criterio de la Raíz - Ejemplo**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left(\\frac{3n}{4n+5}\\right)^n$",
        "",
        "**Paso 1:** Identificamos $a_n$",
        "$$a_n = \\left(\\frac{3n}{4n+5}\\right)^n$$",
        "",
        "**Paso 2:** Calculamos $\\sqrt[n]{a_n}$",
        "$$\\sqrt[n]{a_n} = \\sqrt[n]{\\left(\\frac{3n}{4n+5}\\right)^n} = \\frac{3n}{4n+5}$$",
        "",
        "**Paso 3:** Calculamos el límite",
        "$$L = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{3n}{4n+5}$$",
        "",
        "Dividimos numerador y denominador por $n$:",
        "$$= \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{3}{4 + \\frac{5}{n}} = \\frac{3}{4+0} = \\frac{3}{4} = 0.75$$",
        "",
        "**Paso 4:** Aplicamos el criterio",
        "$$L = \\frac{3}{4} < 1$$",
        "",
        "Por el **Criterio de la Raíz**:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left(\\frac{3n}{4n+5}\\right)^n \\quad \\text{CONVERGE}$$",
        "",
        "**Verificación numérica:**",
        "* $a_1 = \\left(\\frac{3}{9}\\right)^1 = 0.333$",
        "* $a_2 = \\left(\\frac{6}{13}\\right)^2 \\approx 0.213$",
        "* $a_5 = \\left(\\frac{15}{25}\\right)^5 = (0.6)^5 \\approx 0.078$",
        "* $a_{10} = \\left(\\frac{30}{45}\\right)^{10} \\approx 0.0173$",
        "",
        "Los términos decrecen rápidamente. ✓",
        "",
        "✅ **CONVERGE porque L = 3/4 < 1**"
      ],
      "explanation": "La raíz n-ésima converge a 3/4, que es menor que 1."
    },
    {
      "id": "sn-027",
      "topic": "series-alternantes",
      "question": "Una **serie alternante** tiene la forma:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^n b_n$ o $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} b_n$ con $b_n > 0$",
        "$\\sum_{n=1}^{\\infty} b_n$ con todos los términos positivos",
        "$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$",
        "Una serie geométrica"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "facil",
      "hints": [
        "Los términos cambian de signo: +, -, +, -, ...",
        "El factor (-1)^n causa la alternancia",
        "b_n son términos positivos"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Series Alternantes - Definición**",
        "",
        "**Forma general:**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^n b_n \\quad \\text{o} \\quad \\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} b_n$$",
        "",
        "donde $b_n > 0$ para todo $n$.",
        "",
        "**Características:**",
        "* Los términos **alternan de signo**",
        "* $(-1)^n$: da $+1, -1, +1, -1, \\ldots$ (empieza positivo si n=0, negativo si n=1)",
        "* $(-1)^{n+1}$: da $+1, -1, +1, -1, \\ldots$ (empieza positivo si n=1)",
        "",
        "**Ejemplos:**",
        "",
        "**1. Serie armónica alternante:**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} - \\cdots$$",
        "$b_n = \\frac{1}{n}$",
        "",
        "**2. Serie alternante con problema 21:**",
        "$$\\sum_{n=0}^{\\infty} 20(-1)^{n+1} = 20 - 20 + 20 - 20 + \\cdots$$",
        "$b_n = 20$",
        "",
        "**3. Serie del problema 22:**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left(-\\frac{1}{3}\\right)^n = -\\frac{1}{3} + \\frac{1}{9} - \\frac{1}{27} + \\frac{1}{81} - \\cdots$$",
        "",
        "**Visualización:**",
        "```",
        "+b₁  →  -b₂  →  +b₃  →  -b₄  →  +b₅ → ...",
        " ↑       ↓       ↑       ↓       ↑",
        "```",
        "",
        "Las sumas parciales oscilan alrededor del valor límite.",
        "",
        "✅ **Series con términos que alternan entre positivos y negativos**"
      ],
      "explanation": "Series alternantes tienen el factor (-1)^n que cambia el signo de los términos."
    },
    {
      "id": "sn-028",
      "topic": "criterio-series-alternantes",
      "question": "**Criterio de Leibniz** (Teorema 1.14) para series alternantes: $\\sum (-1)^n b_n$ converge si:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$b_n$ es decreciente y $\\lim_{n \\to \\infty} b_n = 0$",
        "$b_n$ es creciente",
        "$\\lim b_n = \\infty$",
        "$b_n > 0$ solamente"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Dos condiciones: b_n decreciente Y límite = 0",
        "Los términos deben hacerse cada vez más pequeños",
        "Los términos deben tender a cero"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Teorema 1.14 - Criterio de Series Alternantes (Leibniz)**",
        "",
        "**Enunciado:**",
        "La serie alternante:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \\cdots$$",
        "",
        "**CONVERGE** si se cumplen **DOS condiciones**:",
        "",
        "**1. Términos decrecientes:**",
        "$$b_{n+1} \\leq b_n, \\quad \\forall n \\geq N$$",
        "(eventual decrecimiento)",
        "",
        "**2. Límite cero:**",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} b_n = 0$$",
        "",
        "**Ejemplo 1: Serie armónica alternante**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} + \\cdots$$",
        "",
        "Verificamos:",
        "* $b_n = \\frac{1}{n}$",
        "* ¿Es decreciente? $\\frac{1}{n+1} < \\frac{1}{n}$ ✓",
        "* ¿Límite cero? $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} = 0$ ✓",
        "",
        "**CONVERGE** a $\\ln(2) \\approx 0.693$",
        "",
        "**Ejemplo 2: NO converge**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n n}{n+1}$$",
        "",
        "* $b_n = \\frac{n}{n+1}$",
        "* $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{n}{n+1} = 1 \\neq 0$ ✗",
        "",
        "**NO CUMPLE** la condición 2, por tanto **DIVERGE** (por criterio de divergencia).",
        "",
        "**Estimación del error:**",
        "Si truncamos en $n$ términos:",
        "$$|\\text{Error}| \\leq b_{n+1}$$",
        "",
        "El error es menor que el primer término omitido.",
        "",
        "✅ **Converge si b_n ↓ y b_n → 0**"
      ],
      "explanation": "El criterio de Leibniz requiere que los términos decrezcan a cero."
    },
    {
      "id": "sn-029",
      "topic": "criterio-series-alternantes",
      "question": "¿La serie $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}}{\\sqrt{n}}$ converge?",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Sí, por el criterio de series alternantes",
        "No, porque diverge",
        "No se puede determinar",
        "Sí, por el criterio de la p-serie"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Es una serie alternante con b_n = 1/√n",
        "Verifica las dos condiciones de Leibniz",
        "¿Es 1/√n decreciente? ¿Tiende a 0?"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Criterio de Series Alternantes - Ejemplo**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}}{\\sqrt{n}}$",
        "",
        "**Paso 1:** Identificamos la forma alternante",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} b_n \\quad \\text{donde} \\quad b_n = \\frac{1}{\\sqrt{n}}$$",
        "",
        "**Paso 2:** Verificamos condición 1 (decreciente)",
        "¿Es $b_{n+1} \\leq b_n$?",
        "$$\\frac{1}{\\sqrt{n+1}} \\leq \\frac{1}{\\sqrt{n}}$$",
        "",
        "Como $\\sqrt{n+1} > \\sqrt{n}$:",
        "$$\\frac{1}{\\sqrt{n+1}} < \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\quad ✓$$",
        "",
        "La sucesión $\\{b_n\\}$ es **DECRECIENTE**.",
        "",
        "**Paso 3:** Verificamos condición 2 (límite cero)",
        "$$\\lim_{n \\to \\infty} b_n = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}} = 0 \\quad ✓$$",
        "",
        "**Paso 4:** Aplicamos el criterio",
        "Como se cumplen **ambas condiciones**:",
        "",
        "Por el **Criterio de Leibniz**:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}}{\\sqrt{n}} \\quad \\text{CONVERGE}$$",
        "",
        "**Nota importante:**",
        "La serie SIN alternar:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}} = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{1/2}}$$",
        "",
        "es una p-serie con $p = \\frac{1}{2} < 1$, que **DIVERGE**.",
        "",
        "La alternancia de signos hace que la serie converja.",
        "",
        "✅ **CONVERGE por criterio de Leibniz**"
      ],
      "explanation": "Cumple ambas condiciones: 1/√n decrece a 0, por tanto converge."
    },
    {
      "id": "sn-030",
      "topic": "convergencia-absoluta",
      "question": "Una serie $\\sum a_n$ es **absolutamente convergente** si:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "$\\sum |a_n|$ converge",
        "$\\sum a_n$ converge",
        "$a_n \\to 0$",
        "$a_n > 0$ para todo n"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Absolutamente convergente = la serie de valores absolutos converge",
        "Si Σ|a_n| converge, entonces Σa_n también converge",
        "Es una condición MÁS FUERTE que convergencia simple"
      ],
      "stepByStep": [
        "📚 **Definición - Convergencia Absoluta**",
        "",
        "**Definición:**",
        "La serie $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$ es **absolutamente convergente** si:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} |a_n| \\quad \\text{converge}$$",
        "",
        "**Teorema 1.15 - Convergencia Absoluta implica Convergencia:**",
        "$$\\sum |a_n| \\text{ converge} \\implies \\sum a_n \\text{ converge}$$",
        "",
        "**Tres categorías de series:**",
        "",
        "**1. Absolutamente convergente:**",
        "* $\\sum a_n$ converge",
        "* $\\sum |a_n|$ converge ✓",
        "* Es la convergencia \"más fuerte\"",
        "",
        "**2. Condicionalmente convergente:**",
        "* $\\sum a_n$ converge ✓",
        "* $\\sum |a_n|$ diverge ✗",
        "* Converge solo por la alternancia de signos",
        "",
        "**3. Divergente:**",
        "* $\\sum a_n$ diverge ✗",
        "* $\\sum |a_n|$ diverge ✗",
        "",
        "**Ejemplo 1: Absolutamente convergente**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$$",
        "",
        "Serie de valores absolutos:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left|\\frac{(-1)^n}{n^2}\\right| = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$$",
        "",
        "Esta es una p-serie con $p = 2 > 1$: **CONVERGE** ✓",
        "",
        "Por tanto, la serie original es **ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE**.",
        "",
        "**Ejemplo 2: Condicionalmente convergente**",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}}{n}$$",
        "",
        "Serie de valores absolutos:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left|\\frac{(-1)^{n+1}}{n}\\right| = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n}$$",
        "",
        "Serie armónica: **DIVERGE** ✗",
        "",
        "Pero la serie original converge (por criterio de Leibniz): **CONVERGENCIA CONDICIONAL**.",
        "",
        "✅ **Absolutamente convergente si Σ|a_n| converge**"
      ],
      "explanation": "Convergencia absoluta significa que la serie de valores absolutos converge."
    },
    {
      "id": "sn-031",
      "topic": "convergencia-absoluta-condicional",
      "question": "Clasifica la serie $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^3}$:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Absolutamente convergente",
        "Condicionalmente convergente",
        "Divergente",
        "No se puede determinar"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "Analiza primero Σ|a_n| = Σ(1/n³)",
        "¿Es 1/n³ una p-serie convergente?",
        "Si Σ|a_n| converge, la serie es absolutamente convergente"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Clasificación: Absoluta vs Condicional**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^3}$",
        "",
        "**Paso 1:** Analizamos convergencia absoluta",
        "Consideramos la serie de valores absolutos:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left|\\frac{(-1)^n}{n^3}\\right| = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^3}$$",
        "",
        "**Paso 2:** Identificamos el tipo",
        "Esta es una **p-serie** con $p = 3$:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^p} \\quad \\text{con} \\quad p = 3 > 1$$",
        "",
        "**Paso 3:** Aplicamos criterio de p-serie",
        "Como $p = 3 > 1$:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^3} \\quad \\text{CONVERGE}$$",
        "",
        "**Paso 4:** Conclusión",
        "Como $\\sum |a_n|$ **CONVERGE**:",
        "",
        "La serie $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^3}$ es:",
        "**ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE** ✓✓",
        "",
        "**Por el Teorema 1.15:**",
        "Convergencia absoluta implica convergencia:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^3} \\quad \\text{también CONVERGE}$$",
        "",
        "**Resumen:**",
        "* Serie original: ✓ Converge",
        "* Serie de valores absolutos: ✓ Converge",
        "* Clasificación: **Absolutamente convergente**",
        "",
        "✅ **ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE**"
      ],
      "explanation": "Como Σ(1/n³) converge (p=3>1), la serie es absolutamente convergente."
    },
    {
      "id": "sn-032",
      "topic": "convergencia-absoluta-condicional",
      "question": "La serie armónica alternante $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} + \\cdots$ es:",
      "type": "multiple-choice",
      "shuffle": true,
      "options": [
        "Condicionalmente convergente",
        "Absolutamente convergente",
        "Divergente",
        "Oscilante sin límite"
      ],
      "correct": 0,
      "difficulty": "medio",
      "hints": [
        "La serie CON signos converge (criterio de Leibniz)",
        "La serie SIN signos (valores absolutos) es Σ(1/n) = serie armónica",
        "¿La serie armónica converge o diverge?"
      ],
      "stepByStep": [
        "🎯 **Ejemplo Clásico: Convergencia Condicional**",
        "",
        "**Serie:** $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}}{n}$",
        "",
        "$$= 1 - \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} - \\frac{1}{6} + \\cdots$$",
        "",
        "**Paso 1:** ¿Converge la serie original?",
        "Aplicamos el **criterio de Leibniz**:",
        "",
        "* $b_n = \\frac{1}{n}$ es decreciente: $\\frac{1}{n+1} < \\frac{1}{n}$ ✓",
        "* $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} = 0$ ✓",
        "",
        "Por tanto: **CONVERGE** (de hecho, converge a $\\ln(2) \\approx 0.693$) ✓",
        "",
        "**Paso 2:** ¿Converge absolutamente?",
        "Analizamos la serie de valores absolutos:",
        "$$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left|\\frac{(-1)^{n+1}}{n}\\right| = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n}$$",
        "",
        "Esta es la **serie armónica**, que sabemos **DIVERGE** ✗",
        "",
        "**Paso 3:** Clasificación",
        "* Serie original: ✓ Converge",
        "* Serie de valores absolutos: ✗ Diverge",
        "",
        "**Conclusión:**",
        "La serie es **CONDICIONALMENTE CONVERGENTE**",
        "",
        "**Interpretación:**",
        "La serie converge SOLAMENTE debido a la alternancia de signos. Si quitamos los signos alternantes, diverge.",
        "",
        "**Propiedad importante:**",
        "Las series condicionalmente convergentes se pueden reordenar para converger a cualquier valor (Teorema de Riemann).",
        "",
        "✅ **CONDICIONALMENTE CONVERGENTE**"
      ],
      "explanation": "Converge por Leibniz, pero Σ|a_n| = Σ(1/n) diverge. Es convergencia condicional."
    }
  ]
}