{
    "transformaciones-lineales-algebra": [
        {
            "id": "tl-001",
            "topic": "proyecciones-proyeccion-xy",
            "question": "Determinar la matriz de transformación para la proyección de un vector en $R^3$ sobre el plano $xy$.",
            "type": "multiple-choice",
            "shuffle": true,
            "options": [
                "$\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix}$",
                "$\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
                "$\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
                "$\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}$"
            ],
            "correct": 0,
            "difficulty": "facil",
            "explanation": "La proyección sobre $xy$ toma $(x,y,z)$ y devuelve $(x,y,0)$.",
            "stepByStep": [
                "1. Definimos la transformación: $T(x,y,z) = (x, y, 0)$.",
                "2. Aplicamos a la base canónica:",
                "   $T(1,0,0) = (1,0,0)$",
                "   $T(0,1,0) = (0,1,0)$",
                "   $T(0,0,1) = (0,0,0)$",
                "3. Formamos la matriz con estos vectores como columnas: $\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix}$."
            ]
        },
        {
            "id": "tl-002",
            "topic": "definicion-transformacion",
            "question": "Hallar la fórmula general de $T: R^3 \\to R^2$ dado que $T(e_1)=(2,0)$, $T(e_2)=(0,2)$, $T(e_3)=(1,1)$.",
            "type": "multiple-choice",
            "shuffle": true,
            "options": [
                "$T(x,y,z) = (2x + z, 2y + z)$",
                "$T(x,y,z) = (2x, 2y + z)$",
                "$T(x,y,z) = (2x + 2z, 2y + z)$",
                "$T(x,y,z) = (x + 2z, y + 2z)$"
            ],
            "correct": 0,
            "difficulty": "intermedio",
            "explanation": "Por linealidad: $T(x,y,z) = xT(e_1) + yT(e_2) + zT(e_3)$.",
            "stepByStep": [
                "1. Expresamos el vector genérico como combinación lineal de la base: $(x,y,z) = xe_1 + ye_2 + ze_3$.",
                "2. Aplicamos T: $x(2,0) + y(0,2) + z(1,1)$.",
                "3. Sumamos componentes: $(2x + 0y + z, 0x + 2y + z) = (2x+z, 2y+z)$."
            ]
        },
        {
            "id": "tl-003",
            "topic": "definicion-transformacion",
            "question": "Comprobar si $T(x,y,z)=(x+y+z, y-x+2z)$ es una transformación lineal.",
            "type": "multiple-choice",
            "shuffle": true,
            "options": [
                "Sí, es lineal",
                "No, no cumple aditividad",
                "No, no cumple homogeneidad",
                "No, el término constante no es cero"
            ],
            "correct": 0,
            "difficulty": "intermedio",
            "explanation": "Cada componente es una combinación lineal de las variables de entrada sin términos constantes ni potencias.",
            "stepByStep": [
                "1. Verificamos que no haya productos de variables ($xy$), potencias ($x^2$) ni constantes solas (+5).",
                "2. Las ecuaciones son de la forma $ax+by+cz$, que son lineales.",
                "3. Por tanto, cumple $T(u+v)=T(u)+T(v)$ y $T(ku)=kT(u)$."
            ]
        },
        {
            "id": "tl-004",
            "topic": "nucleo-imagen",
            "question": "Dada $T: R^3 \\to R^3$ tal que $T(1,1,1)=(3,-1,4)$, $T(1,1,0)=(3,1,2)$, $T(1,0,0)=(1,0,1)$. Hallar $T(x,y,z)$.",
            "type": "multiple-choice",
            "shuffle": true,
            "options": [
                "$T(x,y,z) = (x + 2y, y - 2z, x + y + 2z)$",
                "$T(x,y,z) = (3x, -y, 4z)$",
                "$T(x,y,z) = (x + y + z, x - y, x)$",
                "$T(x,y,z) = (x - 2y, y + 2z, x - y - 2z)$"
            ],
            "correct": 0,
            "difficulty": "dificil",
            "explanation": "Se debe hallar primero $T(e_1), T(e_2), T(e_3)$ expresando la base canónica en términos de los vectores dados.",
            "stepByStep": [
                "1. Tenemos $v_3=(1,0,0)=e_1 \\Rightarrow T(e_1)=(1,0,1)$.",
                "2. $v_2=(1,1,0)=e_1+e_2 \\Rightarrow T(e_2) = T(v_2)-T(e_1) = (3,1,2)-(1,0,1)=(2,1,1)$.",
                "3. $v_1=(1,1,1)=e_1+e_2+e_3 \\Rightarrow T(e_3) = T(v_1)-T(v_2) = (3,-1,4)-(3,1,2)=(0,-2,2)$.",
                "4. $T(x,y,z) = x(1,0,1) + y(2,1,1) + z(0,-2,2) = (x+2y, y-2z, x+y+2z)$."
            ]
        },
        {
            "id": "tl-005",
            "topic": "definicion-transformacion",
            "question": "Comprobar si $T(x,y,z)=(7z, -7y, x+y+z)$ es una transformación lineal.",
            "type": "multiple-choice",
            "shuffle": true,
            "options": [
                "Sí, es lineal",
                "No, no cumple homogeneidad",
                "No, no cumple aditividad",
                "Depende del valor de z"
            ],
            "correct": 0,
            "difficulty": "facil",
            "explanation": "Es lineal porque cada componente es lineal en las variables de entrada.",
            "stepByStep": [
                "1. $T(u+v) = (7(z_u+z_v), -7(y_u+y_v), (x_u+x_v)+(y_u+y_v)+(z_u+z_v))$.",
                "2. Esto es igual a $T(u) + T(v)$.",
                "3. $T(ku) = (7kz, -7ky, kx+ky+kz) = kT(u)$. Cumple ambas propiedades."
            ]
        },
        {
            "id": "tl-006",
            "topic": "matriz-asociada",
            "question": "Hallar la fórmula general de $T: R^3 \\to R^3$ dado que $[T]_B = \\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\\\ -1 & 0 & -1 \\\\ 2 & 0 & 0 \\end{pmatrix}$ en la base $B = \\{(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)\\}$.",
            "type": "multiple-choice",
            "shuffle": true,
            "options": [
                "$T(x,y,z) = (x, y-z, x+z)$",
                "$T(x,y,z) = (-z, -x-z, 2x)$",
                "$T(x,y,z) = (y, -y-z, 2x+2z)$",
                "$T(x,y,z) = (z, z-y, x-z)$"
            ],
            "correct": 0,
            "difficulty": "dificil",
            "explanation": "Usamos la matriz de cambio de base $P$ (formada por los vectores de $B$) y calculamos $A = PDP^{-1}$ o similar en coordenadas.",
            "stepByStep": [
                "1. $[T(v)]_B = [T]_B [v]_B$.",
                "2. Si $v=(x,y,z)$, hallamos sus coordenadas en $B$.",
                "3. Multiplicamos por la matriz dada para obtener coordenadas de la imagen.",
                "4. Reconstruimos el vector imagen usando la base $B$."
            ]
        },
        {
            "id": "tl-007",
            "topic": "nucleo-imagen",
            "question": "Dada $T: R^3 \\to R^2$ con $T(x, y, z) = (-x + y - z, x - y)$, determine una base del núcleo.",
            "type": "multiple-choice",
            "shuffle": true,
            "options": [
                "$Base = \\{(1, 1, 0)\\}$",
                "$Base = \\{(1, 0, -1)\\}$",
                "$Base = \\{(0, 1, 1)\\}$",
                "$Base = \\{(1, -1, 0)\\}$"
            ],
            "correct": 0,
            "difficulty": "intermedio",
            "explanation": "El núcleo es el conjunto de vectores tal que $T(v) = 0$.",
            "stepByStep": [
                "1. Igualamos a cero: $-x + y - z = 0$ y $x - y = 0$.",
                "2. De la segunda ec: $x = y$.",
                "3. Sustituyendo en la primera: $-y + y - z = 0 \\Rightarrow z = 0$.",
                "4. Variable libre: $y$. Solución general: $(y, y, 0) = y(1, 1, 0)$."
            ]
        },
        {
            "id": "tl-008",
            "topic": "definicion-transformacion",
            "question": "Dada la transformación $T(1,1,1)=(2,0,4)$, $T(0,-1,1)=(-1,-1,-1)$, $T(0,0,-1)=(0,1,-1)$, calcule $T(x,y,z)$.",
            "type": "multiple-choice",
            "shuffle": true,
            "options": [
                "$T(x, y, z) = (x + y, x - z, x + 2y + z)$",
                "$T(x, y, z) = (2x, -y, 4z)$",
                "$T(x, y, z) = (x - y, x + z, y + z)$",
                "$T(x, y, z) = (x, y, z)$"
            ],
            "correct": 0,
            "difficulty": "avanzado",
            "explanation": "Expresamos la base canónica en términos de la base dada y aplicamos linealidad.",
            "stepByStep": [
                "1. $v_3=(0,0,-1) \\Rightarrow e_3 = -v_3$. $T(e_3) = -T(v_3) = -(0,1,-1) = (0,-1,1)$.",
                "2. $v_2=(0,-1,1)=-e_2+e_3 \\Rightarrow e_2 = e_3 - v_2$. $T(e_2) = T(e_3) - T(v_2) = (0,-1,1) - (-1,-1,-1) = (1,0,2)$.",
                "3. $v_1=(1,1,1)=e_1+e_2+e_3 \\Rightarrow e_1 = v_1 - e_2 - e_3$. $T(e_1) = (2,0,4) - (1,0,2) - (0,-1,1) = (1,1,1)$.",
                "4. $T(x,y,z) = x(1,1,1) + y(1,0,2) + z(0,-1,1) = (x+y, x-z, x+2y+z)$."
            ]
        }
    ]
}