{ "valores-vectores-propios": [ { "id": "vvp-t1-dd1", "topic": "definiciones", "question": "Clasifica cada afirmación sobre valores y vectores propios.", "type": "drag-drop", "items": [ "0 puede ser autovalor", "El vector nulo puede ser autovector", "Una matriz n×n tiene exactamente n autovalores", "TodoAutovector tiene norma 1" ], "categories": [ "Verdadero", "Falso" ], "correctMapping": [ 0, 1, 1, 1 ], "difficulty": "facil", "hints": [ "Matrices singulares tienen λ=0", "Los autovectores deben ser no nulos por definición", "Considera multiplicidad algebraica vs geométrica" ], "explanation": "**λ=0: VERDADERO** (matrices singulares)\\n**v⃗=0⃗ autovector: FALSO** (por definición, autovectores ≠ 0⃗)\\n**n autovalores: FALSO** (puede tener repetidos/complejos)\\n**Norma 1: FALSO** (cualquier múltiplo de autovector es autovector)" }, { "id": "vvp-t2-n1", "topic": "polinomio-caracteristico", "question": "Calcula el autovalor de la matriz diagonal $A = \\begin{bmatrix} 5 & 0 \\\\ 0 & 5 \\end{bmatrix}$ (ingresa el valor que se repite).", "type": "numeric", "answer": 5, "tolerance": 0.01, "difficulty": "facil", "hints": [ "Para matrices diagonales, los autovalores son los elementos de la diagonal", "Esta matriz es λI con λ=5" ], "explanation": "Para una **matriz diagonal**, los autovalores son los elementos de la diagonal. En este caso, ambos son **5** (con multiplicidad 2)." }, { "id": "vvp-t2-mn1", "topic": "polinomio-caracteristico", "question": "Encuentra los autovalores de $A = \\begin{bmatrix} 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \\end{bmatrix}$ (matriz triangular superior).", "type": "multiple-numeric", "fields": [ { "label": "$\\lambda_1 =$", "answer": 3, "tolerance": 0.01 }, { "label": "$\\lambda_2 =$", "answer": 2, "tolerance": 0.01 } ], "difficulty": "medio", "hints": [ "Para matrices triangulares, los autovalores son los elementos de la diagonal", "No necesitas calcular det(A-λI)" ], "explanation": "Para una **matriz triangular** (superior o inferior), los autovalores son los **elementos de la diagonal**:\\n$$\\lambda_1 = 3, \\quad \\lambda_2 = 2$$" }, { "id": "vvp-t3-dd2", "topic": "diagonalizacion", "question": "Clasifica las afirmaciones sobre diagonalización.", "type": "drag-drop", "items": [ "Toda matriz diagonal es diagonalizable", "Si A es diagonalizable, todos sus autovalores son distintos", "Si todos los autovalores son distintos, A es diagonalizable", "Toda matriz simétrica es diagonalizable" ], "categories": [ "Verdadero", "Falso" ], "correctMapping": [ 0, 1, 0, 0 ], "difficulty": "medio", "hints": [ "Una matriz diagonal ya ES diagonal", "Contraejemplo para (2): matriz identidad" ], "explanation": "**Diagonal → diagonalizable: VERDADERO** (ya está diagonal)\\n**Diag → distintos: FALSO** (ej: identidad)\\n**Distintos → diag: VERDADERO** (teorema)\\n**Simétrica → diag: VERDADERO** (teorema espectral)" }, { "id": "vvp-t3-cat1", "topic": "diagonalizacion", "question": "Clasifica cada matriz según su diagonalizabilidad.", "type": "categorize", "items": [ "$\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 2 \\end{bmatrix}$", "$\\begin{bmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix}$", "$\\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{bmatrix}$" ], "categories": { "diagonalizable": "Diagonalizable", "no-diagonalizable": "No Diagonalizable" }, "correctCategories": { "$\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 2 \\end{bmatrix}$": "diagonalizable", "$\\begin{bmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix}$": "no-diagonalizable", "$\\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{bmatrix}$": "diagonalizable" }, "difficulty": "avanzado", "hints": [ "Primera: ya es diagonal", "Segunda: λ=1 con multiplicidad 2, pero espacio propio tiene dim=1", "Tercera: es simétrica" ], "explanation": "**Primera:** Ya diagonal → Diagonalizable\\n**Segunda:** λ=1 doble, pero 1 autovector l.i. → **NO** diagonalizable\\n**Tercera:** Simétrica → Diagonalizable (teorema)" }, { "id": "vvp-t3-or1", "topic": "diagonalizacion", "question": "Ordena los pasos para diagonalizar una matriz.", "type": "ordering", "items": [ "Calcular el polinomio característico det(A-λI)", "Encontrar las raíces (autovalores λᵢ)", "Para cada λᵢ, encontrar base del espacio propio", "Verificar que hay n autovectores l.i. (si no, no es diagonalizable)", "Formar P con autovectores como columnas y D con autovalores en diagonal" ], "correctOrder": [ 0, 1, 2, 3, 4 ], "difficulty": "avanzado", "hints": [ "El proceso sigue el orden lógico matemático", "Primero autovalores, luego autovectores" ], "explanation": "**Proceso de diagonalización:**\\n1. Polinomio característico\\n2. Resolver para λ\\n3. Espacios propios\\n4. Verificar n vectores l.i.\\n5. Construir P y D con $A = PDP^{-1}$" }, { "id": "vvp-t4-mi1", "topic": "espacios-propios", "question": "Encuentra un autovector asociado al autovalor λ=2 de $A=\\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \\end{bmatrix}$.", "type": "matrix-input", "matrix": { "rows": 2, "cols": 1, "correctAnswer": [ [ 1 ], [ 0 ] ] }, "difficulty": "medio", "hints": [ "Resuelve $(A - 2I)\\vec{v} = \\vec{0}$", "Para matriz diagonal, los autovectores canónicos funcionan" ], "explanation": "$(A - 2I) = \\begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix}$\\n\\nResolviendo $(A-2I)\\vec{v} = \\vec{0}$: la segunda componente debe ser 0, la primera es libre.\\n\\nAutovector: $\\vec{v} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}$ (o cualquier múltiplo no nulo)" }, { "id": "vvp-t2-mc1", "topic": "polinomio-caracteristico", "question": "¿Cuál es el grado del polinomio característico de una matriz 5×5?", "type": "multiple-choice", "shuffle": true, "options": [ "3", "4", "5", "25", "10" ], "correct": 2, "difficulty": "facil", "hints": [ "El grado es igual al orden de la matriz" ], "explanation": "El polinomio característico $p(\\lambda) = \\det(A - \\lambda I)$ de una matriz $n \\times n$ tiene grado **n**. Por tanto, para una matriz $5 \\times 5$, el grado es **5**." } ] }